林海衛(wèi) 葉 林

(浙江省溫嶺市技工學(xué)校 317500)

向量之三角形的“四心”

林海衛(wèi) 葉 林

(浙江省溫嶺市技工學(xué)校 317500)

向量是既有大小，又有方向的量，具有雙重性，是不能比較大小.平面向量的代數(shù)性質(zhì)和幾何特點(diǎn)非常明顯，是連接幾何和代數(shù)的工具，是數(shù)形結(jié)合的典范.平面向量的題目變化多端，可單獨(dú)成題考查，也可結(jié)合不等式、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)考查.在學(xué)習(xí)時(shí)，我們要重概念，重基礎(chǔ)，充分利用它的數(shù)形特征，體現(xiàn)向量的“工具性”.

向量；三角形；四心

三角形的“四心”與平面向量有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，對(duì)這兩者進(jìn)行一定的探究，旨在探索題型規(guī)律，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.以三角形的“四心”為出發(fā)點(diǎn)，利用向量的相關(guān)知識(shí)，巧妙地解決了三角形“四心”所具備的一些特定的性質(zhì).

一、向量之三角形的重心

三角形的重心是三條中線(xiàn)的交點(diǎn)(它到三角形頂點(diǎn)距離與該點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)距離之比為2∶1).

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等邊三角形 D．鈍角三角形

二、向量之三角形的垂心

三角形的垂心是三條高線(xiàn)的交點(diǎn)(它與頂點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于對(duì)邊).

A. 內(nèi)心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心

在△ABC中，由正弦定理可得：|AB|sinB=|AC|sinC，記|AB|sinB=|AC|sinC=k，則

三、向量之三角形的外心

三角心的外心是三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)(外心就是三角形外接圓的圓心，它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等).

即cosBsinC+cosCsinB=m，從而m=sin(B+C)=sinA=sinθ.

四、向量之三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)(內(nèi)心就是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到三角形三邊的距離相等).

A. 內(nèi)心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心

同理：IB是∠ABC的平分線(xiàn)，IC是∠ACB的平分線(xiàn).故點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心.

通過(guò)以上題型，筆者發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)中以“向量為載體”對(duì)三角形的“四心”進(jìn)行考查，是一道靚麗的風(fēng)景線(xiàn)，需引起我們重視.

[1]連春興.借“向量”之石，攻“幾何”之玉[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2009(4)：14—16.

[2]彭燕偉. 高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材向量?jī)?nèi)容的比較研究[D].蘭州：西北師范大學(xué),2010.

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2017-07-01

林海衛(wèi)(1983.10-)，男,浙江省臺(tái)州人，本科,講師,從事數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)與研究.

葉林(1984.8-)， 女，浙江省臺(tái)州人， 研究生， 講師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.

楊惠民]