孫暢岑　齊藝　田聰　袁野　孫喬

摘 要：為實現(xiàn)強諧波干擾和噪聲干擾等復雜應用場景下動態(tài)同步相量的精確測量，提出了一種新的相量測量算法。將兩個Kaiser窗相乘實現(xiàn)Kaiser自乘窗設計。將一段時間內的測量結果取滑動平均以提高噪聲抑制性能，并由此推導出等效加權卷積自乘窗函數(shù)用于相量測量。應用泰勒級數(shù)表示動態(tài)相量，應用最小二乘實現(xiàn)FIR濾波器的設計。靜態(tài)和動態(tài)測試結果表明，文章提出的新算法在靜態(tài)和動態(tài)條件下均具有很高的測算準確度，具備優(yōu)異的抗諧波和抗噪聲性能。

關鍵詞：動態(tài)同步相量；諧波；相量測量；最小二乘法；FIR濾波器

中圖分類號：TM933 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2018）32-0001-05

Abstract： A new phasor measurement algorithm is proposed to realize the accurate measurement of dynamic synchronized phasors in complex application scenarios such as strong harmonic interference and noise interference. The design of Kaiser self-multiplication window is realized by multiplying two Kaiser windows. Taking the measured results over a period of time as the moving average to improve the noise suppression performance， the equivalent weighted convolution self-multiplication window function is derived to be used in phasor measurement. The dynamic phasor is expressed by Taylor series， and the FIR filter is designed by least square method. The static and dynamic test results show that the new algorithm has high accuracy under both static and dynamic conditions， and has excellent anti-harmonic and anti-noise performance.

Keywords： dynamic synchronized phasor； harmonics； phasor measurement； least square method； FIR filter

引言

為實現(xiàn)電力系統(tǒng)的動態(tài)安全監(jiān)測，快速發(fā)現(xiàn)電力系統(tǒng)中可能存在的故障[1]，動態(tài)同步相量（Dynamic Synchrophasor）的測量起到了重要的作用[2-4]。電氣與電子工程師協(xié)會于2011年發(fā)布了修訂版的IEEE C37.118.1標準[5]。該標準對不同動態(tài)條件下相量測量單元（Phasor Measurement Unit， PMU）的測量準確度提出了明確的指標。

目前，PMU被大量應用在輸電網中。隨著大量新能源（如光伏設施和儲能裝置等）接入配電網中，配電網的潮流方向從原來的單向變成雙向。且這些新能源裝置使配電網呈現(xiàn)強烈的不確定性和動態(tài)性。為了能實現(xiàn)配電網的實時監(jiān)測，未來PMU也被考慮應用到配電網中。但由于大量電力電子裝置的使用，配電網中還含有豐富的諧波、間諧波分量。而且配電網受噪聲影響明顯。如何在諧波和噪聲含量豐富時，仍能準確地測量動態(tài)同步相量，成為一個亟須解決的問題。

文獻[6-10]通過對穩(wěn)態(tài)條件下的DFT及其改進算法測量相量的誤差產生機理進行分析，從而對測量得到的幅值和相位進行修正。該算法具有較高的準確度，但是在動態(tài)條件下，該算法并不適用。文獻[11]將動態(tài)同步相量用泰勒級數(shù)表示，并基于動態(tài)同步相量與信號之間的關系近似表示實際信號，最后通過最小二乘法求解得到同步相量。該算法原理清晰，但由于該算法在信號建模時，未考慮當信號中存在豐富的諧波和間諧波時，算法的準確度下降。針對這一問題，文獻[12]在對信號建模時，將其表示成動態(tài)同步相量和指定次諧波和間諧波的疊加，以此實現(xiàn)該次諧波和間諧波的陷波設計。但是該方法需要提前已知諧波、間諧波的幅值、頻率、相位等參數(shù)。然而，在實際情況下，這些參數(shù)均是未知的。文獻[13-15]應用泰勒級數(shù)表示動態(tài)同步相量，并對該動態(tài)同步相量以及原始信號作傅里葉變換，再應用不同時刻的結果聯(lián)立求解后得到同步相量。該算法在一定程度上提高了動態(tài)同步相量測量的準確度，但是該算法計算量大，且未考慮間諧波的影響。

1 Kaiser自乘窗

Kaiser窗具有良好的主瓣和旁瓣特性，適用于對動態(tài)信號進行處理[16，17]。Kaiser窗的窗函數(shù)表達式為：

其中，N為窗長，n=0，1，…，N-1。I0（·）代表第一類0階修正貝塞爾函數(shù)。？茁為窗函數(shù)的特征系數(shù)，該參數(shù)決定了窗函數(shù)的旁瓣特性，這里??？茁=4。當信號中含有豐富的諧波和間諧波分量時，其會影響動態(tài)同步相量測量的精度。因此，在設計FIR濾波器時，需要實現(xiàn)旁瓣的高度抑制。本文考慮通過構造Kaiser自乘窗實現(xiàn)上述特性。所謂Kaiser自乘窗，是將Kaiser窗與其自身相乘，得到一個新的窗函數(shù)。

其中，n=0，1，…，N-1。容易得到，Kaiser自乘窗的窗長仍為N。圖1給出了Kaiser窗和Kaiser自乘窗的幅頻響應對比圖。分析圖1可知，Kaiser自乘窗的旁瓣衰減要明顯優(yōu)于Kaiser窗，這將有助于構造間諧波和諧波強抑制特性的FIR濾波器。但從圖1也可以看出，Kaiser自乘窗的主瓣寬度比Kaiser窗大，從而使Kaiser自乘窗的頻率分辨率降低。

2 基于Kaiser自乘窗加權的FIR濾波器設計

2.1 濾波器設計原理

動態(tài)同步相量被定義為一個頻帶遠小于基波頻率的帶限信號x（t）[5]，其可以表示為

其中，n=-N，…，0，…，N，時間窗長度Nw=2N+1。這樣，就實現(xiàn)了動態(tài)同步相量的近似表示，即x≈xk=Ek？鬃k。接著，可用最小二乘法實現(xiàn)參考時刻（n=0）的同步相量估計。但是當信號中含有豐富的諧波和間諧波分量時，上述方法存在較大誤差。這里考慮采用Kaiser自乘窗加權的方法實現(xiàn)諧波和間諧波分量的抑制。即

其中，W=diag{w2（n）}。算子diag{·}表示矩陣的對角化運算。這樣，？鬃k矩陣的線性估計最優(yōu)解為其最小二乘估計，即

從而可得矩陣（EkHWHWEk）-1EkHWHW中，與同步相量？鬃0對應的行向量即為所設計的FIR濾波器。

2.2 增強噪聲抑制性能

實際應用中，信號中還可能存在噪聲。為了抑制噪聲干擾，考慮對一段時間內測量得到的結果進行加權平均，即

2.3 濾波器特性分析

圖2給出了矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器（Kaiser窗采用3階泰勒級數(shù)，長度為4周波，矩形窗長度為1周波）和矩形窗FIR濾波器（長度為5周波）的頻譜特性對比圖。從圖中可以看出，相對于未采用窗函數(shù)加權的FIR濾波器，矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器具有優(yōu)異的旁瓣衰減特性，這能在很大程度上實現(xiàn)諧波和間諧波的抑制，從而提高諧波和間諧波含量豐富時的動態(tài)同步相量測量準確度。另外，從圖中可以看出，上述濾波器在基波頻率附近呈現(xiàn)出一種平滑特性，即在一定的頻率范圍內，信號的增益均為1，這正是實現(xiàn)帶限信號動態(tài)同步相量測量的根本原理。以下將結合仿真實驗說明本算法的準確性和優(yōu)越性。

3 仿真測試

本文主要考察在靜態(tài)和動態(tài)條件下，信號中含有豐富的諧波和間諧波時，算法在測量同步相量的準確性。本文采用相關標準中建議的總測量誤差（Total Vector Error， TVE）[5]對算法的相量測量準確度進行評價。

3.1 頻率偏移測試

在信號中含有豐富的諧波和間諧波的情況下，對本文提出的算法的靜態(tài)性能進行測試，并與DFT算法和矩形窗FIR濾波器的性能加以比較?？紤]信號中含有3次、5次、7次和120Hz的諧波和間諧波，其諧波畸變率分別為：10%、10%、5%和5%。其具體表達式如式（15）所示。

圖3給出了基波頻偏（額定頻率為50Hz）分別為-5，-4，…，0，…，4，5Hz時，分別采用矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器、矩形窗FIR濾波器、DFT算法測算同步相量的最大TVE值（對40個周波的數(shù)據(jù)進行測算）。其中，信號每周波采樣點數(shù)為48，濾波器長度均為239，DFT算法所采用的時間窗為5周波。從圖3可以看出，在信號中含有豐富的諧波和間諧波的情況下，信號頻偏在[-5 5]Hz范圍內變化時，矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器算法測算同步相量的TVE值均小于矩形窗加權FIR濾波器算法和DFT算法。由此可以看出，即使在不同的頻率偏移條件下，本文提出的新算法具有優(yōu)異的抗諧波性能，而且性能遠超相關標準中的指標要求。

3.2 噪聲抑制性能測試

考慮對算法的噪聲抑制性能進行測試，對一個頻率為50Hz的正弦信號疊加信噪比分別為30、40、50、60和70dB的噪聲信號，分別用矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器、矩形窗FIR濾波器和DFT三種算法估計相量。表1給出了應用不同算法的最大TVE值。通過表1可知，應用不同算法的測量誤差均非常小，且?guī)缀跸嗟?。因此可認為三種算法的抗噪聲性能較為接近，均具有良好的抗噪聲性能。

3.3 動態(tài)性能測試

本文主要考察信號中含有豐富的諧波和間諧波時，基波和各次諧波的幅值和頻率（或相位）波動時算法的測算準確度。動態(tài)信號的表達式如式（16）所示，其中，a（t）=1+0.1cos（10πt），f0=50Hz，

圖4、圖5分別給出了不同時刻（共10個周波），采用矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器、矩形窗FIR濾波器、DFT算法測算得到的動態(tài)同步相量的幅值和相位（波動的頻率可折算成波動的相位）值，并分別與理論值比較。從圖4、圖5可以看出，應用矩形窗卷積Kaiser自乘窗濾波器測算得到動態(tài)同步相量幅值和相位值與理論值基本趨于一致，而應用矩形窗FIR濾波器測算的得到的結果在理論值附近波動，應用DFT算法測算得到的結果與理論值差別較大。

圖6給出了不同時刻（共10個周波），采用矩形窗卷積Kaiser自乘窗濾波器、矩形窗FIR濾波器、DFT算法測算動態(tài)同步相量時的TVE值。從圖6看出，相較于矩形窗FIR濾波器和DFT算法，采用矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器進行測算時，其TVE值最小，且?guī)缀鯙?。由此可以看出，本文提出的新算法在動態(tài)條件下仍具有優(yōu)異的抗諧波性能，而且其性能遠超相關標準中的指標要求。

4 結束語

本文針對實際應用復雜應用場景（如：豐富的諧波和間諧波分量），構造了一種加權卷積自乘窗，并設計了一種矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器。在靜態(tài)和動態(tài)條件下，分別對算法的性能進行測試發(fā)現(xiàn)，相較于矩形窗FIR濾波器和DFT算法，采用矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器測算動態(tài)同步相量的誤差最小，而且其性能遠超相關標準中的指標要求。本文提出的新算法在靜態(tài)和動態(tài)條件下均具有優(yōu)異的抗諧波性能，且具有良好的抗噪聲性能。

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