董建新，王 飛

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 長(zhǎng)治 046011）

Green公式的一個(gè)注記

董建新，王 飛

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 長(zhǎng)治 046011）

Green公式溝通了二重積分與第二類曲線積分的關(guān)系。文章介紹了利用Green公式將兩者相互轉(zhuǎn)化時(shí)的計(jì)算方法，使學(xué)生加深對(duì)Green公式的理解。

Green公式；輔助線；封閉曲線

1 預(yù)備知識(shí)

若函數(shù)P，Q在閉區(qū)域D上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有：

這里L(fēng)為區(qū)域D的邊界曲線，并取正方向，上述公式稱為格林（Green）公式[1]。

Green公式溝通了二重積分與第二類曲線積分的關(guān)系。由第二類曲線積分的定義，當(dāng)L是負(fù)方向時(shí)，僅需在格林公式的左邊或者右邊加負(fù)號(hào)。另外，使用Green公式將第二類曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分時(shí)需要滿足兩個(gè)條件：（1）曲線L封閉；（2）函數(shù)P，Q在D上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。在使用Green公式將二重積分轉(zhuǎn)化為曲線積分也要注意函數(shù)P，Q的表示方法。

2 主要結(jié)果

2.1 利用Green公式將第二類曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分

在計(jì)算第二類曲線積分時(shí)，如果題目滿足上述兩個(gè)條件，則可以直接使用Green公式將其轉(zhuǎn)化為二重積分；否則，分兩種情況討論。

2.1.1 條件（1）不成立，條件（2）成立

對(duì)于這種情況，重點(diǎn)是做輔助線使得曲線封閉，但需要注意方向。

例1 計(jì)算∫ABxdy，其中AB為圓心在原點(diǎn)，半徑為a的圓的第一象限部分，并取順時(shí)針。

分析 本題已知曲線的方程，按照第二類曲線積分的計(jì)算方法可以計(jì)算。如果用Green公式，顯然函數(shù)滿足條件（2），但不滿足條件（1）；作有向輔助線BO和OA，對(duì)閉曲線AB+BO+OA（負(fù)方向）按照Green公式將其轉(zhuǎn)化成二重積分計(jì)算。（作輔助直線BA亦可）

解：做BO和OA，由Green公式

2.1.2 條件（1）成立，條件（2）不成立

分析 題目雖沒(méi)有給出曲線L的方程，但曲線滿足條件（1），同時(shí)，函數(shù)P，Q不滿足連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的條件（2）。通過(guò)觀察函數(shù)特點(diǎn)，作有向輔助線L1：x2+y2=ε2并取順時(shí)針（做法不唯一）來(lái)剔除原點(diǎn)，記L與L1圍成的區(qū)域?yàn)镈1。此時(shí)，函數(shù)P，Q在D1上滿足了相應(yīng)的條件（2），且L與L1合起來(lái)是D1的邊界曲線且是D1的正方向。

解：作封閉曲線L1：x2+y2=ε2并取順時(shí)針，記L與L1圍成的區(qū)域?yàn)镈1，在D1上使用Green公式得：

幾個(gè)思考：

（1）從例2的可以看出，結(jié)論與L的表達(dá)式無(wú)關(guān)。例如：當(dāng)L的方程改為x2+y2=a2，|x|+|y|=a等封閉曲線，也可以用Green公式計(jì)算。

（2）若L改為不包含原點(diǎn)的任意逐段光滑的封閉曲線時(shí)，Green公式使用條件成立，直接代入公式可得

2.2 利用Green公式將二重積分轉(zhuǎn)化為曲線積分

在應(yīng)用中，Green公式一般是將第二類曲線積分轉(zhuǎn)化成二重積分來(lái)計(jì)算。對(duì)于積分區(qū)域?yàn)橛薪玳]區(qū)域的二重積分，一般化成兩種順序的累次積分計(jì)算，但有時(shí)計(jì)算困難；而利用Green公式將二重積分轉(zhuǎn)化為第二類曲線積分可以有效的避免這一情況。需要注意的是：將二重積分轉(zhuǎn)化為曲線積分時(shí)，要先計(jì)算出相應(yīng)的函數(shù)P和Q；其次是函數(shù)P和Q的表達(dá)式并不唯一，要根據(jù)實(shí)際情況而定。

例3[2]計(jì)算y=1，y=x所圍成的區(qū)域。

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2014.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京：高等教育出版，2010.

O17

A

1673-2014（2017）05-0027-02

長(zhǎng)治學(xué)院教研項(xiàng)目（JY201508）

2017—06—30

董建新(1978— )，男，山西陽(yáng)城人，講師，主要從事運(yùn)籌優(yōu)化與數(shù)值計(jì)算研究。

（責(zé)任編輯 趙巨濤）