黃舟，黃海

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六自由度激勵(lì)臺(tái)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等效建模

黃舟1，黃海2

（1. 中國(guó)工程物理研究院 總體工程研究所，綿陽 621999；2. 北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100191）

六自由度激勵(lì)臺(tái)是多軸同步振動(dòng)環(huán)境模擬的重要地面設(shè)備，因其結(jié)構(gòu)復(fù)雜且具有多個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度，而難以構(gòu)建準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型。文章針對(duì)6-PSU構(gòu)型激勵(lì)臺(tái)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性，提出其參數(shù)型建模與模型修正方法。首先確定模型修正的對(duì)象為含軸承和導(dǎo)軌等接觸運(yùn)動(dòng)副的鉸鏈與作動(dòng)部件，提出采用剛度與質(zhì)量解耦的方法建立其含參等效動(dòng)力學(xué)有限元模型；然后以該等效模型為基礎(chǔ)，通過模態(tài)參數(shù)修正鉸鏈和作動(dòng)部件等效梁模型參數(shù)，再利用頻響函數(shù)修正模型中軸承和導(dǎo)軌的接觸剛度參數(shù)，得到了修正后的激勵(lì)臺(tái)等效結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型。修正后的有限元模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了建模方法的有效性。

六自由度激勵(lì)臺(tái)；結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)；有限元法；模型修正

0 引言

六自由度激勵(lì)臺(tái)作為空間微振動(dòng)環(huán)境模擬的重要設(shè)備[1]，與單軸激勵(lì)臺(tái)相比，由于可激勵(lì)自由度的增加，其最大負(fù)載水平和工作頻段均有所降低。隨著受試產(chǎn)品質(zhì)量的增大以及工作頻率等要求的提高，六自由度激勵(lì)臺(tái)在使用中可能出現(xiàn)過試驗(yàn)、欠試驗(yàn)以及大量級(jí)共振等問題[2]。而對(duì)激勵(lì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模與虛擬振動(dòng)試驗(yàn)仿真[3-4]，則可以起到預(yù)試驗(yàn)的作用，從而提高振動(dòng)試驗(yàn)的效率和成功率。

激勵(lì)臺(tái)的合理建模是虛擬振動(dòng)試驗(yàn)的基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[2, 5]在建模時(shí)將激勵(lì)臺(tái)簡(jiǎn)化為多體動(dòng)力學(xué)模型，未考慮激勵(lì)臺(tái)中動(dòng)圈和靜圈等結(jié)構(gòu)的柔性。文獻(xiàn)[3, 6]中指出可通過模態(tài)綜合的方法，把復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行自由度縮聚，從而提高計(jì)算效率。文獻(xiàn)[4]通過建立激勵(lì)臺(tái)三維有限元模型進(jìn)行仿真分析，但六自由度激勵(lì)臺(tái)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，建立其詳細(xì)有限元模型會(huì)使計(jì)算代價(jià)巨大。為在保證虛擬振動(dòng)試驗(yàn)仿真精度的同時(shí)縮減自由度，可采用等效動(dòng)力學(xué)建模[7]的方法對(duì)有限元模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，主要關(guān)注工作頻段內(nèi)激勵(lì)臺(tái)的低階結(jié)構(gòu)模態(tài)，進(jìn)而將簡(jiǎn)化模型用于高效的振動(dòng)模擬。因此，建立符合激勵(lì)臺(tái)結(jié)構(gòu)特性的等效動(dòng)力學(xué)模型，并基于振動(dòng)試驗(yàn)對(duì)其進(jìn)行合理修正[8]具有重要意義。

根據(jù)6-PSU（移動(dòng)副-球副-虎克鉸）構(gòu)型六自由度激勵(lì)臺(tái)的結(jié)構(gòu)特性，本文提出其等效動(dòng)力學(xué)建模方法，并對(duì)該等效模型進(jìn)行參數(shù)型修正與試驗(yàn)驗(yàn)證。首先采用解耦的方法對(duì)激勵(lì)臺(tái)中的鉸鏈與作動(dòng)部件建立含參等效動(dòng)力學(xué)模型；然后利用模態(tài)參數(shù)修正鉸鏈、作動(dòng)桿中除軸承和導(dǎo)軌等接觸運(yùn)動(dòng)副外的等效梁模型參數(shù)，進(jìn)而利用頻響函數(shù)修正軸承和導(dǎo)軌的接觸剛度參數(shù)；以期得到與試驗(yàn)結(jié)果匹配的激勵(lì)臺(tái)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)修正模型。

1 激勵(lì)臺(tái)結(jié)構(gòu)特性

1.1 激勵(lì)臺(tái)結(jié)構(gòu)布局

六自由度激勵(lì)臺(tái)結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要包括臺(tái)面、基座和6個(gè)作動(dòng)桿。其中，臺(tái)面用來安裝負(fù)載和傳感器等部件，與6個(gè)作動(dòng)桿中的鉸鏈相連；每個(gè)作動(dòng)桿包含鉸鏈和作動(dòng)部件，通過控制器驅(qū)動(dòng)作動(dòng)部件中直線音圈電機(jī)進(jìn)行伸縮運(yùn)動(dòng)，作動(dòng)部件中的內(nèi)筒組件在導(dǎo)軌的支撐下作軸向運(yùn)動(dòng)，通過鉸鏈帶動(dòng)臺(tái)面實(shí)現(xiàn)多軸振動(dòng)。

圖1 基于6-PSU構(gòu)型的六自由度激勵(lì)臺(tái)

1.2 頻率響應(yīng)特性

圖2 激勵(lì)臺(tái)的幅頻曲線

2 作動(dòng)桿等效動(dòng)力學(xué)建模

采用有限元方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模時(shí)，若對(duì)作動(dòng)桿進(jìn)行全尺寸、完整幾何體建模，則模型修正的計(jì)算規(guī)模會(huì)非常龐大，不利于虛擬振動(dòng)試驗(yàn)仿真。為降低作動(dòng)桿模型的分析自由度，同時(shí)保留對(duì)動(dòng)力學(xué)特性占主要貢獻(xiàn)量的模態(tài)，可建立其等效動(dòng)力學(xué)模型。等效動(dòng)力學(xué)建模對(duì)象為作動(dòng)桿（鉸鏈和作動(dòng)部件），包括軸承、導(dǎo)軌等具有相對(duì)運(yùn)動(dòng)自由度的部件，分別通過梁?jiǎn)卧蛷椈蓡卧獊砟M作動(dòng)桿結(jié)構(gòu)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)部件的接觸剛度。

2.1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等效建模方法

2.1.1 等效梁建模

在Nastran中CBAR歐拉梁?jiǎn)卧腜BAR屬性卡片如圖3所示，卡片中包含了截面積，主慣性矩1、2和極慣性矩等4個(gè)梁截面參數(shù)。在MAT1材料卡片中包含了密度和彈性模量等2個(gè)輸入?yún)?shù)。PBAR歐拉梁模型在修改截面參數(shù)時(shí)，質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)隨著變化，而等效梁模型是在PBAR歐拉梁模型的基礎(chǔ)上，將剛度和質(zhì)量解耦分離，并與PBAR梁模型的剛度與質(zhì)量等效。

圖3 Nastran中的PBAR卡片

、1、2與分別為梁的軸向剛度、2個(gè)方向的彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度，這4個(gè)剛度構(gòu)成了等效梁?jiǎn)卧膭偠染仃?。再將原CBAR梁?jiǎn)卧馁|(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量通過集中質(zhì)量單元CONM2平均分配到梁?jiǎn)卧?個(gè)節(jié)點(diǎn)上，即可形成等效梁?jiǎn)卧募匈|(zhì)量矩陣。此時(shí)，將MAT1材料參數(shù)中的密度賦值為可視作0的小數(shù)值，從而不僅使等效梁模型與PBAR梁模型的質(zhì)量等效，且在修正等效梁截面參數(shù)時(shí)不會(huì)改變質(zhì)量矩陣，實(shí)現(xiàn)剛度與質(zhì)量的等效與解耦。

該等效梁建模方法可通過一維梁模型的數(shù)值算例[10]來驗(yàn)證，對(duì)圖4所示兩端簡(jiǎn)支鋁制梁建立等效梁模型進(jìn)行模態(tài)分析，計(jì)算結(jié)果（將對(duì)稱的彎曲模態(tài)視為同一階模態(tài)）如表1所示。等效梁模型與歐拉梁解析解的前幾階固有頻率的相對(duì)偏差很小，在數(shù)值上證明了等效梁模型的精度和有效性。

圖4 簡(jiǎn)支梁的等效梁模型

表1 梁模型的固有頻率計(jì)算結(jié)果

2.1.2 接觸剛度建模

Nastran中的六維廣義彈簧單元CBUSH常用于模擬復(fù)雜裝配結(jié)構(gòu)結(jié)合面處的動(dòng)力學(xué)特征[11]，其單元屬性卡片PBUSH包含了如圖5所示3個(gè)平動(dòng)自由度和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的剛度值。在鉸鏈點(diǎn)與導(dǎo)軌位置的相鄰等效梁節(jié)點(diǎn)間建立CBUSH單元，再通過調(diào)節(jié)PBUSH中相應(yīng)的剛度值，即可模擬鉸鏈和導(dǎo)軌的接觸剛度。

圖5 Nastran中的PBUSH卡片

本文提出的等效建模方法與直接對(duì)三維模型縮聚自由度的方法[6]相比，等效梁模型包含了梁截面參數(shù)和接觸部件剛度參數(shù)，參數(shù)的物理意義明確，便于后續(xù)分析和模型參數(shù)的修正，可更簡(jiǎn)單有效地組裝形成激勵(lì)臺(tái)有限元模型。

2.2 鉸鏈等效動(dòng)力學(xué)模型

鉸鏈的等效模型如圖6所示，該模型分為下節(jié)叉梁、連接軸梁、連接座梁和上節(jié)叉梁4部分，采用等效梁模型進(jìn)行建模。由于等效梁模型中梁?jiǎn)卧總€(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)自由度，為模擬相鄰梁之間在鉸鏈點(diǎn)處的轉(zhuǎn)動(dòng)副，需要釋放對(duì)應(yīng)梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)沿單元坐標(biāo)系相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，如在連接軸梁下鉸點(diǎn)處需釋放R和R兩個(gè)自由度。各段鉸鏈梁截面的4個(gè)輸入?yún)?shù)即是待修正的量。

圖6 鉸鏈的等效模型示意

在鉸鏈的上、下節(jié)叉和連接軸處共有3處軸承接觸部位，但上、下鉸點(diǎn)間的連接梁可認(rèn)為是二力桿，鉸鏈間的受力與相對(duì)變形為沿著鉸鏈連線方向，因此可將3處軸承接觸和螺栓連接等結(jié)合面的剛度折合到中鉸點(diǎn)處。此時(shí)，在連接軸梁中鉸點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)位置上串聯(lián)一個(gè)CBUSH彈簧單元以模擬軸承的接觸剛性。軸承接觸傳遞的是U方向載荷，因此該CBUSH單元將除沿U方向外的剛度值設(shè)為一個(gè)大數(shù)，將U方向的接觸剛度作為待修正值。

2.3 作動(dòng)部件等效動(dòng)力學(xué)模型

作動(dòng)部件可分為內(nèi)筒組件、外筒組件和導(dǎo)軌3部分，內(nèi)筒和外筒組件均采用等效梁模型來建模，各部段模型如圖7所示。內(nèi)外筒之間的導(dǎo)軌通過CBUSH彈簧單元模擬，由于導(dǎo)軌可以沿著U方向運(yùn)動(dòng)，所以將U方向剛度值設(shè)為0。

3 等效動(dòng)力學(xué)模型的參數(shù)修正

模型修正遵循“自下而上”的基本原則：先修正零件再修正裝配體；先修正結(jié)構(gòu)件再修正連接件。因此首先通過模態(tài)置信度準(zhǔn)則MAC對(duì)鉸鏈、作動(dòng)部件進(jìn)行修正，此時(shí)僅修正作動(dòng)桿中的梁模型，將鉸鏈中的彈簧模型設(shè)為絕對(duì)剛硬；再在全臺(tái)模型修正中，通過頻率響應(yīng)函數(shù)置信度準(zhǔn)則FRAC來修正彈簧模型的剛度值。

模態(tài)置信度準(zhǔn)則MAC和頻率響應(yīng)函數(shù)置信度準(zhǔn)則FRAC分別為[3]

3.1 基于模態(tài)參數(shù)的作動(dòng)桿模型修正

3.1.1 鉸鏈模型的等效梁截面參數(shù)修正

在修正鉸鏈模型中梁截面參數(shù)時(shí)，可采用全尺寸的三維有限元模型（見圖8）來構(gòu)建參考模型或試驗(yàn)?zāi)Ｐ停S模型中軸承的接觸剛度視為無限大，采用RJOINT剛性鉸鏈單元建模。該三維有限元模型在進(jìn)行模態(tài)分析后，提取出各階固有頻率以及與線框模型對(duì)應(yīng)位置節(jié)點(diǎn)的振型，以得到與2.1節(jié)中等效模型節(jié)點(diǎn)自由度相匹配的參考模型。此時(shí)無須再進(jìn)行模型縮聚或振型擴(kuò)展[12]，2個(gè)模型的自由度數(shù)相同，邊界條件均為下節(jié)叉底部固定。

圖8 鉸鏈有限元模型

鉸鏈參數(shù)型模型修正可轉(zhuǎn)換為優(yōu)化問題[13]，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

首先利用Nastran進(jìn)行靈敏度分析，再通過Virtual Lab的SPQ序列二次規(guī)劃法[14]進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，可得到各設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化解。由于各設(shè)計(jì)變量選取方法相同，本文僅以連接軸梁截面參數(shù)修正為例，修正結(jié)果見表2、表3和圖9。

表2 連接軸梁修正前后的參數(shù)值

表3 鉸鏈修正前后的固有頻率

圖9 鉸鏈修正后的MAC值

修正后的鉸鏈等效模型與參考模型相比，前5階非剛體模態(tài)的頻率相對(duì)誤差較小，MAC矩陣數(shù)值接近單位陣，主對(duì)角線上的MAC值在0.95以上，表明頻率和振型均符合得很好。這不僅驗(yàn)證了等效簡(jiǎn)化模型的合理性，且說明該模型可直接用于激勵(lì)臺(tái)有限元模型修正。

3.1.2 作動(dòng)部件模型的等效梁截面參數(shù)修正

作動(dòng)部件的修正方法和鉸鏈類似，修正時(shí)僅考慮各個(gè)方向的1階模態(tài)。圖10為內(nèi)筒組件的有限元模型，以內(nèi)筒連接梁截面參數(shù)修正為例，修正結(jié)果見表4、表5和圖11。由于內(nèi)筒為局部開口結(jié)構(gòu)，其一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)振型相關(guān)性較差，對(duì)應(yīng)的MAC值為0.745。考慮到內(nèi)筒通過軸向伸縮傳遞電機(jī)力，與軸向模態(tài)相比，其扭轉(zhuǎn)模態(tài)對(duì)激勵(lì)臺(tái)臺(tái)面響應(yīng)的影響較小，因此該修正結(jié)果工程上可以接受。

圖10 內(nèi)筒組件的有限元模型

表4 內(nèi)筒連接梁修正前后的參數(shù)值

表5 內(nèi)筒組件修正前后的固有頻率

圖11 作動(dòng)部件修正后的MAC值

3.2 基于頻響函數(shù)的激勵(lì)臺(tái)模型修正

作動(dòng)桿中梁截面參數(shù)修正完成后，可通過計(jì)算仿真模型與試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭蓄l率響應(yīng)函數(shù)的相關(guān)性來進(jìn)行激勵(lì)臺(tái)系統(tǒng)的模型修正。激勵(lì)臺(tái)參數(shù)型模型修正的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：設(shè)計(jì)變量={1,2,…,x}T為軸承和導(dǎo)軌的接觸剛度，相關(guān)接觸剛度的初始值可查閱文獻(xiàn)[15]得到；()為目標(biāo)函數(shù)，該加權(quán)函數(shù)通過各組輸入輸出點(diǎn)處的頻率響應(yīng)函數(shù)置信度準(zhǔn)則FRAC與1的差值來構(gòu)造，F(xiàn)RAC選取修正的頻率范圍為40～400Hz，加權(quán)系數(shù)α取為1；為了優(yōu)化計(jì)算快速收斂，選擇1號(hào)腿作為輸入、1號(hào)和2號(hào)加速度計(jì)響應(yīng)作為輸出的頻響進(jìn)行修正，即取為2。

激勵(lì)臺(tái)有限元模型如圖12所示，模型的邊界條件為6個(gè)作動(dòng)桿的外筒底部固定，采用模態(tài)疊加法計(jì)算以電機(jī)控制電壓為輸入、加速度計(jì)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)加速度為輸出的頻率響應(yīng)。建模時(shí)激勵(lì)力使用DAREA力載荷卡片，卡片中的比例因子（scale factor）設(shè)為電機(jī)的力電常數(shù)，激勵(lì)沿著各作動(dòng)桿的軸線方向，模型中的阻尼為3%阻尼比的模態(tài)阻尼。經(jīng)過17步迭代計(jì)算后，1號(hào)和2號(hào)加速度計(jì)的頻響曲線FRAC值分別達(dá)到0.791和0.783，修正結(jié)果見圖13和表6，可以看到修正后模型的頻響曲線與試驗(yàn)結(jié)果符合得較好，模型修正的結(jié)果理想，表明該模型具有較高的模擬精度。

圖12 激勵(lì)臺(tái)模型修正的全臺(tái)有限元模型

圖13 修正后頻率響應(yīng)

表6 模型中修正前后的接觸剛度值

4 結(jié)論

本文給出了六自由度激勵(lì)臺(tái)有限元模型的等效動(dòng)力學(xué)建模方法，在建立其解耦等效動(dòng)力學(xué)模型后，分別通過模態(tài)參數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)對(duì)等效模型中的參數(shù)進(jìn)行了修正，得到與頻率響應(yīng)試驗(yàn)結(jié)果匹配的動(dòng)力學(xué)模型，結(jié)論如下：

1）用等效梁模型建立作動(dòng)部件、用CBUSH建立鉸鏈，可以簡(jiǎn)化振動(dòng)臺(tái)建模，同時(shí)實(shí)現(xiàn)梁剛度和質(zhì)量的解耦，且便于截面參數(shù)進(jìn)行修正。該建模方法的對(duì)象也可推廣到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈中。

2）軸承和導(dǎo)軌接觸剛度參數(shù)經(jīng)有限次修正后，激勵(lì)臺(tái)仿真模型與試驗(yàn)結(jié)果頻率響應(yīng)吻合，表明修正后的模型可較好模擬激勵(lì)臺(tái)動(dòng)力學(xué)特性，同時(shí)驗(yàn)證了修正方法的有效性。

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（編輯：許京媛）

Structural dynamics equivalent modeling for 6-DOF excitation platform

HUANG Zhou1, HUANG Hai2

(1. Institute of Systems Engineering, China Academy of Engineering Physics, Mianyang 621999, China; 2. School of Astronautics, Beihang University, Beijing 100191, China)

The six degrees of freedom(6-DOF) excitation platform is an important ground apparatus in the multi-axes vibration environment simulation. Because of its complex structure and multiple degrees of freedom of motion, it is difficult to build an accurate structural dynamic model. Based on the structural dynamic characteristics of the 6-PSU platform, a parametric modeling and model updating method is proposed. Firstly, the joints and the moving parts are regarded as the model modification objects, since they have their contact interfaces included in the bearings and the linear guides. And their equivalent dynamic models could be established with the proposed decoupling method for their stiffness and mass. Secondly, on the basis of the equivalent dynamic model, the beam cross section parameters for the structures of the joints and the moving parts are updated by using of the structural modal information. After that, the contact stiffness coefficients are revised using the frequency response function(FRF). Through the above steps, the updated finite element model for the 6-DOF platform is built. The comparison between the calculation based on the model and the FRF test show that the modeling approach is effective and valid.

6-DOF excitation platform; structural dynamics; finite element method; model updating

V416.2

A

1673-1379(2017)06-0611-07

10.3969/j.issn.1673-1379.2017.06.007

黃舟（1991—），男，碩士學(xué)位，研究方向?yàn)楹教炱髡駝?dòng)試驗(yàn)設(shè)備的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與優(yōu)化；E-mail: huangzbuaa@163.com。黃海（1963—），男，博士學(xué)位，教授，研究方向?yàn)轱w行器結(jié)構(gòu)優(yōu)化，空間智能結(jié)構(gòu)及其控制等；E-mail: hhuang@buaa.edu.cn。

2017-08-13；

2017-11-24