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羅峻

一年一度的中考落下帷幕，總有一些題目值得我們細(xì)細(xì)咀嚼，留下不少余味.本人對(duì)2017年黃石市中考數(shù)學(xué)試卷第10題（選擇壓軸題），作了一些有益的探討，供大家參考與指正.

1題目再現(xiàn)

圖1題目（2017黃石第10題）如圖1，已知凸五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，則BD必定滿足（）.

A.BD<2

B.BD=2

C.BD>2D.以上情況均有可能

2解法探討

這是一道容易猜出答案，但背后卻有深度的選擇壓軸題.畫(huà)出的圖形看起來(lái)△ABC是等邊三角形，但條件并沒(méi)有直接給出，只知道五邊形各邊相等（不含AC），再加一組角的條件.怎樣證明結(jié)論的正確性？解答的突破口為：把分散的兩角組合在一起，可通過(guò)旋轉(zhuǎn)或翻折實(shí)現(xiàn).

方法一（旋轉(zhuǎn)法）

圖2分析如圖2，由∠DBE=∠ABE+∠CBD知∠DBE=12∠ABC，可將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC的度數(shù)得△CBP，再證△BED≌△BPD，發(fā)現(xiàn)等邊△CDP，再推出∠ABC=60°即可解決問(wèn)題.

解法一因?yàn)锳B=BC，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC的度數(shù)，得△CBP，連DP，如圖2.則∠CBP=∠ABE，BE=BP，CP=AE.由∠DBE=∠ABE+∠CBD=∠CBP+∠CBD=∠DBP，即∠EBD=∠DBP，又BD=BD，BE=BP，所以△BED≌△BPD（SAS）.所以DP=ED，又DE=AE=CP，所以△CDP是等邊三角形，所以∠DCP=60°.由周角定義知∠BCD+∠BCP=300°，又因?yàn)椤螩BP=∠CPB=12（180°-∠BCP），同理∠DBC=∠BDC=12（180°-∠BCD），兩式相加得∠DBP=∠CBP+∠DBC=12（360°-∠BCP-∠BCD）=12（360°-300°）=30°，所以∠DBP=30°=∠EBD，所以∠ABC=2∠EBD=60°，又AB=BC，所以△ABC是等邊三角形，又AC=1，所以BC=1，所以在△BCD中，BC=CD=1，由三角形任意兩邊之和大于第三邊得BD<2.

點(diǎn)評(píng)旋轉(zhuǎn)變換是初中幾何內(nèi)容的重要組成部分，是中考的常考內(nèi)容之一，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，更是幾何高難問(wèn)題的解決途徑和通用方法，具有很高的應(yīng)用技巧和思維含量.

圖3解法二將△BAE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC的度數(shù)至△BCF，連接DF，如圖3.由解法一可知△EBD≌△FBD（SAS），△CDF是等邊三角形.

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所以CB=CD=CF，即點(diǎn)B、D、F在以C為圓心，CB為半徑的圓上.

由圓周角定理可知，∠DBF=12∠DCF=12×60°=30°，由△BED≌△BFD（已證），所以∠DBE=∠DBF=30°.因?yàn)椤螪BE=∠ABE+∠CBD，∠CBF=∠ABE，所以∠ABC=60°，所以△ABC是等邊三角形，又AC=1，所以BD

點(diǎn)評(píng)前段部分，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換解決△CDF是等邊三角形，后段部分運(yùn)用圓的定義，構(gòu)造輔助圓，再運(yùn)用圓周角定理，解決角度問(wèn)題.這種解法較之解法一，更加簡(jiǎn)潔明快，干脆利落.而構(gòu)造輔助圓，往往在教學(xué)中容易被忽略，這需要一線教師重視圓的內(nèi)容，著重引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)圓的基本內(nèi)容方法和基本輔助線的做法，并進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容的專(zhuān)題訓(xùn)練.

方法二（翻折法）

圖4分析如圖4，由∠DBE=∠ABE+∠CBD，想到將∠ABE和∠CBD分別沿BE、BD翻折得到兩對(duì)全等三角形和幾個(gè)四邊形，由凸五邊形的邊長(zhǎng)相等得出四邊形ABPE、BPDC、ACDE都是菱形，再運(yùn)用這些圖形的特殊性解決問(wèn)題.

解法三將△ABE沿BE折疊，△BCD沿BD折疊，如圖4，由∠DBE=∠ABE+∠CBD，AB=BC，則AB、BC折疊后重合，設(shè)重合的邊為BP，連AP、EP、PD、PC，這樣△ABE≌△PBE，而AB=AE，所以AB=AE=EP=BP，則四邊形ABPE是菱形，同理四邊形BCDP是菱形，因此AE瘙 綊 BP瘙 綊 CD，則四邊形ACDE是平行四邊形，由已知ED=CD，得ACDE是菱形，又AC=1，則CD=AC=1，所以CD=BC=1，在△BCD中，BD

點(diǎn)評(píng)圖形的翻折是將一個(gè)圖形沿一條直線折疊的運(yùn)動(dòng)，翻折后的圖形與原圖形全等.翻折是一種重要的幾何變換，運(yùn)用圖形的翻折，能將分散的條件集中，為順利解題創(chuàng)造出意想不到的條件.

為什么能用這三種方法解決？解法一、解法二使用旋轉(zhuǎn)法，不但要將△ABE旋轉(zhuǎn)得到△CBP，還要運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的思想得出△BED≌△BPD.其實(shí)這種證明的模式實(shí)際是“半角模型”的演變，這個(gè)模型的運(yùn)用在平時(shí)教學(xué)中屢見(jiàn)不鮮，是一種典型的解題模式識(shí)別方法，同時(shí)也是一種解題經(jīng)驗(yàn)，可見(jiàn)解題模式和解題經(jīng)驗(yàn)在解題中至關(guān)重要.解法三使用翻折法，將△ABE、△BCD翻折后，要能發(fā)現(xiàn)四邊形ABPE、BPDC、ACDE都是菱形，要有善于聯(lián)想的大腦和善于發(fā)現(xiàn)的眼睛.這三種解法都運(yùn)用了圖形變換的思想，還要運(yùn)用不少幾何知識(shí)，技巧性強(qiáng)，綜合性高，沒(méi)有深厚的平幾功底及敏銳的觀察力是無(wú)法解決的.難道就沒(méi)有其他簡(jiǎn)單一點(diǎn)的方法？經(jīng)過(guò)思考，還是有的，請(qǐng)看：

方法三（整體代換）圖5分析如圖5，由各邊相等知△ABE、△BCD都是等腰三角形，則∠1=∠3，∠2=∠4，再運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理推導(dǎo)出同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，進(jìn)一步得出AE瘙 綊 CD，四邊形ACDE是菱形，則問(wèn)題解決.