負(fù)整數(shù)指數(shù)冪簡便運算規(guī)律的探究及歸納

黃小燕

【摘要】負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算主要運用了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)a-p=1ap（a≠0，p是正整數(shù)），但在運算的過程中，當(dāng)?shù)讛?shù)a是負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)時，學(xué)生解題相當(dāng)困難，特別是當(dāng)對底數(shù)為負(fù)分?jǐn)?shù)時，要顧慮括號，還要考慮指數(shù)的奇偶導(dǎo)致結(jié)果符號正負(fù)不同的問題等，非常頭疼.本文將對負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算規(guī)律加以探究并歸納，希望能為學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來幫助.

【關(guān)鍵詞】負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；簡便運算；運算規(guī)律

俗話說的好，授之以魚不如授之以漁.在教學(xué)的過程中，尤其是理科的教學(xué)，教師教會學(xué)生解一道題，不如教會學(xué)生解一類題，更不如教會學(xué)生更好的解題方法.初一的學(xué)生在學(xué)習(xí)冪運算，特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運算的時候，由于認(rèn)知能力不夠成熟，邏輯思維能力也比較薄弱，導(dǎo)致對負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)理解不透徹，對運算公式的特征辨識度也不高，因此記憶模糊，運用起來相當(dāng)困難，錯漏百出，只有你想不到的錯誤，沒有他不出現(xiàn)的錯誤.這不僅讓學(xué)生的學(xué)習(xí)非常困難，甚至痛苦，老師也為學(xué)生憂心忡忡.因此，對負(fù)整數(shù)指數(shù)冪簡便運算規(guī)律的探索研究顯得尤為必要和緊急.為此，本文將展開對負(fù)整數(shù)指數(shù)冪簡便運算規(guī)律的探索.

1規(guī)律的發(fā)現(xiàn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的教育.其中化未知為已知的化歸思想是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一種思想.生物學(xué)也告訴我們，人的生理、認(rèn)知發(fā)展是循序漸進(jìn)的，每個人對接觸過的、熟知的事物的理解能力、接收能力都較陌生事物容易、簡單.因此，若能把學(xué)生感到陌生的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪轉(zhuǎn)化為他們熟知的正整數(shù)指數(shù)冪運算，那么學(xué)生對該知識的理解和掌握就會變得非常簡單、輕松.

1.底數(shù)為正整數(shù)：

2-3=123=123；

2.底數(shù)為正分?jǐn)?shù)：

32-3=1323=1÷323=1÷3323=1×2333=233；

3.底數(shù)為負(fù)整數(shù)：

-4-3=1-43=1-43=-143=-143=-143；

4.底數(shù)為負(fù)分?jǐn)?shù)：

-34-5=1-345=1÷-3455=-1×4535=-435=-435.

下面我們再仔細(xì)觀察上面四個式子：

①2-3=123；②32-3=233；

③-4-3=-143；④-34-5=-435；

我們發(fā)現(xiàn)，無論底數(shù)是正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運算，其在運算過程中都存在這樣的規(guī)律：底數(shù)轉(zhuǎn)變成它的倒數(shù)，指數(shù)則變成它的相反數(shù)，即：a-p=1apa≠0，p是正整數(shù).可見，a-p=1ap（a≠0，p是正整數(shù)）相較a-p=1ap（a≠0，p是正整數(shù)），計算結(jié)果簡便了許多，當(dāng)a為分?jǐn)?shù)時，不再出現(xiàn)重分?jǐn)?shù)、多括號的情況，學(xué)生也不用過多的擔(dān)心符號正負(fù)的問題，這會讓運算過程變得容易理解和操作.

2規(guī)律運用的先進(jìn)性

馬克思主義理論告訴我們，檢驗理論的唯一標(biāo)準(zhǔn)就是實踐，在具體的數(shù)學(xué)實踐之中真正能夠使得某些運算更加簡便、精確的方法才會得到全面的推廣，下面我們通過幾個例子，將課本方法和運用規(guī)律運算的簡便方法進(jìn)行鮮明對比，感受一下此規(guī)律在實踐中的可操作性和先進(jìn)性.

例1 計算38÷13-6.

課本方法簡便方法38÷13-6簡便方法：38÷13-6.解原式

= 38÷1136

=38×136

=32×36×136

= 9×3×136

=9. 解原式

= 38÷36

= 32

= 9.通過例1運用的兩種不同的運算方法的鮮明對比，我們發(fā)現(xiàn)：利用課本方法求解，在運算過程中出現(xiàn)了比較繁瑣的重分?jǐn)?shù)，如：38÷1136，對于這類式子的變形和運算，正是學(xué)生很難理解的地方，所以往往運算到這一步的時候就會被卡住，無從下手.使用簡便的去處規(guī)律，我們可以輕輕松松的避免繁瑣的重分?jǐn)?shù)，直接轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的同底數(shù)冪相除，即可輕松獲取最終答案.

例2計算14×-12-2.

課本方法簡便方法解：原式

= 14×1-122

= 14×1÷-122

= 14×4

=1.解：原式

= 14×-22

= 14×4

= 1.例2的求解中，我們發(fā)現(xiàn)利用課本方法求解的過程中，不僅僅出現(xiàn)了重分?jǐn)?shù)，還出現(xiàn)了中括號，這意味著學(xué)生需要考慮符號以及括號內(nèi)部的整體問題，難度再次加大了！但運用簡便方法的運算，在第1步就將重分?jǐn)?shù)、括號問題解決掉，并將負(fù)整數(shù)指數(shù)冪巧妙轉(zhuǎn)化成正整數(shù)指數(shù)冪，計算量小，難度小，易懂易掌握.

很顯然，在探索出新規(guī)律之后，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算變得非常簡單，運算過程中不再出現(xiàn)繁瑣的重分?jǐn)?shù)、多括號、符號正負(fù)不同等問題，為學(xué)生解決了煩惱，還大大降低了運算的錯誤率，學(xué)生也能很好地理解和掌握，最后運用于實踐解決實際問題.

3規(guī)律的延伸

在探索過程中，我們發(fā)現(xiàn)此規(guī)律在科學(xué)記數(shù)法以及部分同底數(shù)冪除法的運算中衍生出了新的簡便運算規(guī)律，在數(shù)學(xué)的舉一反三的思想引領(lǐng)下，繼續(xù)探究，下面通過例子說明：endprint

例3 計算

1÷2.5×10-9.

解原式

= 1÷2.5÷10-9

= 0.4÷1109

=0.4×109

= 4×108.例4 計算

2÷10-8.

解原式

= 2÷1108

= 2×108.通過觀察上面兩個例子，我們發(fā)現(xiàn)將當(dāng)除以一個以10為底的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的時候，可以將除法轉(zhuǎn)化為乘法，指數(shù)則變成它的相反數(shù)，即：a÷10-p=a×10p（p為正整數(shù)），例：2÷10-8=2×108.

如果除數(shù)的底數(shù)不是10呢，上述運算規(guī)律仍然成立.

例5計算：

20÷-12-2.

解原式

=1÷1-122

=1×-122

=14. 例6計算

138÷3-6.

解原式

=138÷136

=138×36

=19.下面再仔細(xì)觀察一下上面兩個式子：

①20÷-12-2=1×-122；

② 138÷3-6=138×36.

觀察上列式子可見，無論除數(shù)的底數(shù)為任意負(fù)數(shù)、正數(shù)、分?jǐn)?shù)或整數(shù)，任意有理數(shù)a除以任何非零數(shù)b的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，其結(jié)果都等于乘以這個數(shù)b的正整數(shù)指數(shù)冪，其中b的指數(shù)-p變成它的相反數(shù)p，即：a÷b-p=a×bp（b≠0，p為正整數(shù)）.

此外，最后一個運算規(guī)律a÷b-p=a×bp（b≠0，p為正整數(shù)）并不是在所有的運算式子中都是最簡便的，例如本文中的例6，相較而言，采用第一個簡便運算規(guī)律a-p=1ap（a≠0，p是正整數(shù)）時，反而使運算更加簡單.因此，學(xué)生在運算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的過程中也許多觀察、總結(jié)，在不同的式子中選擇最簡便的方法才是最明智的.

4總結(jié)

北師大版教材中，初一的知識以數(shù)與代數(shù)為主，學(xué)生每天都需要跟本來就很枯燥無味的數(shù)字打交道，還要在原本非常簡單的數(shù)字中去理解、分析、掌握它們之間形成的變幻莫測的公式，這對初中生而言是有一定難度的，尤其在遇到負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運算這樣難度較大的運算時，學(xué)生恐之惶之，嚴(yán)重地打擊了學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.本文對負(fù)整數(shù)指數(shù)冪簡便運算規(guī)律的探究和歸納，在投入到教學(xué)實踐推廣運用的過程中，絕大部分的學(xué)生能夠正確理解并掌握精髓，還能在實踐中屢試不爽，極大的激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)研究的熱情，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心，也給予學(xué)生更多堅持下去的力量，充分體現(xiàn)了《課程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)的學(xué)生為本的人文主義精神，讓學(xué)生快樂學(xué)習(xí).

通過文中眾多例子以及實際的教學(xué)效果來看，本文所探究歸納得出的兩個負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運算規(guī)律的實用性很強(qiáng)，把學(xué)生感覺陌生的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪非常巧妙的轉(zhuǎn)化為他們非常熟悉的正整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行運算，變繁瑣的重分?jǐn)?shù)、多括號、多符號等問題為簡單的分?jǐn)?shù)、整數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪運算，通俗易懂，可操作、可推廣，希望對學(xué)生的學(xué)習(xí)有所裨益.endprint