陶耘 狄芳

【摘要】泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的重要公式，它在近似計算、定理證明中發(fā)揮著重要作用.本文首先介紹了泰勒公式的兩種余項(xiàng)，并做了比較，然后巧用兩種余項(xiàng)，解決不同問題.

【關(guān)鍵詞】泰勒公式;拉格朗日型余項(xiàng);皮亞諾型余項(xiàng);極限;拐點(diǎn);不等式;級數(shù)斂散性

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，因其能把復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式函數(shù)的特性，因此，在近似計算、定理證明等方面都發(fā)揮著重要作用.比較有趣的是，泰勒公式中的余項(xiàng)，有兩種不同的形式.大部分教材對泰勒公式都有比較詳細(xì)的闡述和論證，但是對這兩種余項(xiàng)有何區(qū)別介紹較少.因此，在具體應(yīng)用中，該使用哪種余項(xiàng)，讓很多學(xué)生感覺十分迷茫.

以下我們將分別介紹帶這兩種余項(xiàng)的泰勒公式，并通過幾個例子，幫助理解，撥開“迷霧”.

一、兩種不同余項(xiàng)的泰勒公式

（一）帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式

定理1 假設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則在x0近旁有

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）2?。▁-x0）2+…+f（n）（x0）n?。▁-x0）n+o（（x-x0）n），其中，o（（x-x0）n）稱為皮亞諾型余項(xiàng).

特別地，若x0=0，則

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+o（xn），

稱它為帶有皮亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式.

（二）帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式

定理2 假設(shè)函數(shù)y=f（x）在[a，b]上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在（a，b）內(nèi)存在n+1階導(dǎo)數(shù)，則對任意給定的x，x0∈[a，b]，至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）2?。▁-x0）2+…+f（n）（x0）n?。▁-x0）n+Rn（x），

其中Rn（x）=f（n+1）（ξ）（n+1）?。▁-x0）n+1，ξ介于x0與x之間，Rn（x）為拉格朗日型余項(xiàng).

特別地，若x0=0，則

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+f（n+1）（θx）（n+1）！xn+1，0<θ<1，

稱它為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式.

比對兩個定理，我們發(fā)現(xiàn)，帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式對函數(shù)的假設(shè)條件較少，只需要在x0處n階可導(dǎo)，不需要n+1階導(dǎo)數(shù)存在，也不需要在x0的鄰域內(nèi)存在n階（連續(xù)）導(dǎo)數(shù).皮亞諾型余項(xiàng)只是定性地告訴我們：當(dāng)x→x0時，逼近誤差是較（x-x0）n高階的無窮小量，而拉格朗日型余項(xiàng)則是一個定量形式的余項(xiàng)，是對逼近誤差進(jìn)行具體的計算或估算.

因此，應(yīng)用上述定理，可以視問題的具體需求，在x0附近將函數(shù)進(jìn)行帶不同余項(xiàng)的泰勒展開.

二、帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用

例1 limx→06ex2sinx-x（6+5x2）arctanx-x+x33.

分析 這個函數(shù)的極限可以利用洛必達(dá)法則來求，但是分子、分母會變得越來越復(fù)雜.用泰勒公式則方便得多，我們可以將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，余項(xiàng)用皮亞諾型.展開的目的是消去分子、分母中的多項(xiàng)式.

解 ex2=1+x2+x42！+x63！+o（x6），

sinx=x-x33！+x55！+o（x5），

ex2·sinx=x+56x3+41120x5+o（x5），

arctanx=x-13x3+15x5+o（x5），

原式=limx→06x+5x3+4120x5+o（x5）-6x-5x3x-x33+x55+o（x5）-x+x33

=limx→04120x5+o（x5）x55+o（x5）=414.

例2 設(shè)f（x0）存在，且f（x0）≠0，f″（x0）=0，則（x0，f（x0））是否為曲線y=f（x）的拐點(diǎn)？

解 對f″（x）應(yīng)用泰勒公式，有

f″（x）=f″（x0）+f（x0）（x-x0）+o（x-x0）.

由于f″（x0）=0，

則有f″（x）=f（x0）（x-x0）+o（x-x0）.

由題設(shè)f（x0）≠0，

不妨設(shè)f（x0）>0，于是存在δ>0，使得x0<x<x0+δ時，有

f（x0）（x-x0）>0，從而有f″（x0）>0，

而當(dāng)x0-δ<x<x0時，有

f（x0）（x-x0）<0，從而有f″（x0）<0，

所以f″（x）在x0兩側(cè)異號.

同理可證，若f（x0）<0，f″（x）在x0兩側(cè)異號.

由拐點(diǎn)的定義可知，（x0，f（x0））是曲線y=f（x）的拐點(diǎn).

三、帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用

例3 證明：當(dāng)0<x<1時，有e2x<1+x1-x.

證明 要證e2x<1+x1-x，即證2x<ln（1+x）-ln（1-x）.

設(shè)f（t）=lnt，將其展開為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式，可得

f（t）=f（1）+f′（1）（t-1）+f″（ξ）2?。╰-1）2，

ξ介于1到t之間.從而

f（1+x）=f（1）+f′（1）x+f″（ξ1）2！x2，1<ξ1<1+x，

f（1-x）=f（1）+f′（1）（-x）+f″（ξ2）2！x2，1-x<ξ2<1，

即ln（1+x）=x-x2ξ21·2！，1<ξ1<1+x，

ln（1-x）=-x-x2ξ22·2！，1-x<ξ2<1，

即有l(wèi)n（1+x）-ln（1-x）=2x-x2ξ21·2！+x2ξ22·2！

=2x+1ξ22-1ξ21x22！>2x（1-x<ξ2<ξ1<1+x），

從而不等式e2x<1+x1-x得證.

例4 設(shè)f（x）在x=0的某個鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 limx→0f（x）x=0，判斷級數(shù)∑∞n=1f1n的斂散性.

解 因?yàn)?limx→0f（x）x=0，

所以 limx→0f（x）=0且 limx→0f′（x）=0.

由題設(shè)f（x）在x=0的某個鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，

所以f（0）=0且f′（0）=0.

將f（x）展開成帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式，

有f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（ξ）2！·x2=12f″（ξ）·x2，

ξ介于0與x之間.

由題設(shè)，f″（x）在x=0的鄰域內(nèi)連續(xù).

因此，f″（x）在包含x=0的一個小閉區(qū)間內(nèi)連續(xù).

由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，在包含x=0的一個閉區(qū)間內(nèi)，M>0，使得|f″（x）|≤M，

所以|f（x）|=12f″（ξ）·x2≤M2·x2.

令x=1n，有f1n≤M2·1n2.

已知p-級數(shù)∑∞n=11n2收斂，因此級數(shù)∑∞n=1M2·1n2收斂.

從而∑∞n=1f1n絕對收斂.

以上我們借助幾個實(shí)例展示了泰勒公式的應(yīng)用.通過例子我們發(fā)現(xiàn)帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式，多用于只需對余項(xiàng)定性的問題中，如極限計算等;而帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式，多用于需對余項(xiàng)定量的問題中，如級數(shù)斂散性判斷等.

泰勒公式可以巧妙解決很多數(shù)學(xué)問題，在其他學(xué)科的問題中，也有著廣泛的應(yīng)用.當(dāng)然，具體使用哪種余項(xiàng)，需要因地制宜、靈活把握.

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