高原

[摘 要]

數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)需要將關注學生思維的發(fā)展置于相關研究的核心地帶并貫穿于數(shù)學教育的始終；數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)需要充分發(fā)揮數(shù)學的內(nèi)在力量，通過基于常態(tài)化和過程性的數(shù)學教育活動慢慢浸潤，使學生逐漸學會數(shù)學的看待世界形成正確的數(shù)學觀、使學生逐步學會數(shù)學思考進而學會思維、使學生逐級提升思維品質(zhì)從而實現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)的全面提升。

[關鍵詞]

數(shù)學核心素養(yǎng)；思維發(fā)展；數(shù)學思考

數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應該具備的基本素養(yǎng)，是學生為了滿足自身發(fā)展和社會發(fā)展所必備的數(shù)學方面的品格和能力，是數(shù)學的知識、能力和情感態(tài)度價值觀的綜合體。隨著基礎教育課程改革的不斷深入，“核心素養(yǎng)”被置于深化課程改革、落實立德樹人的基礎地位，并且正在成為新一輪課程改革深化的方向。與此同時，數(shù)學素養(yǎng)的研究也隨之走向深入，數(shù)學核心素養(yǎng)研究已經(jīng)成為當前數(shù)學基礎教育研究的熱點問題。然而，素養(yǎng)需要在長期的教育中慢慢養(yǎng)成，因此，“如何將數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實到常態(tài)的數(shù)學課堂教學過程之中”便成為數(shù)學核心素養(yǎng)研究在實踐層面上的一個關鍵性問題。

本文試圖以初中數(shù)學“平行四邊形”復習課的幾個教學片段為例，談談筆者常態(tài)教學中基于數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學實踐與思考，來與同仁們分享與交流。

一、構(gòu)建知識體系，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，學會系統(tǒng)思考

（一）構(gòu)建圖形定義網(wǎng)絡

問題設計：本章我們是如何獲得這些特殊的平行四邊形的呢？結(jié)合圖形的動畫演示過程，請你思考這些四邊形之間具有怎樣的關系？

師生活動：一方面，教師結(jié)合“將平行四邊形的邊或角進行特殊化獲得特殊的平行四邊形”的幾何畫板動畫演示過程，讓學生沿著“平行四邊形——矩形、菱形——正方形”的研究路線來動態(tài)地重溫概念學習的關鍵過程；另一方面，教師通過引導學生在對應序號處填上對應的條件，梳理圖形的定義，進而形成圖形定義網(wǎng)絡，通過引導學生在適當?shù)奈恢锰钌蠈膱D形名稱，明確圖形概念的內(nèi)涵與外延。（活動媒體呈現(xiàn)，如圖1所示）

問題設計：你能按照同樣的順序從“邊、角、對角線”的角度來梳理本章所學圖形的性質(zhì)定理嗎？

師生活動：教師引導學生以小組為單位按照“平行四邊形——矩形、菱形——正方形”的研究路線梳理圖形的性質(zhì)定理（如圖2）。此外，教師需要結(jié)合圖形進一步地明確圖形間蘊含的“一般與特殊”的關系，即特殊圖形除了具有一般圖形的一切性質(zhì)外，還具有屬于自己的特殊性質(zhì)。

（三）構(gòu)建圖形判定定理網(wǎng)絡

問題設計：接下來，我們將繼續(xù)我們的復習旅程，我們要將視線鎖定在這些圖形的判定定理上。本章，我們是從圖形性質(zhì)定理的逆命題討論中研究判定定理的。通過學習，大家不難發(fā)現(xiàn)，要想正確地使用圖形的判定定理，關鍵是需要明確“原圖形是什么四邊形”。

問題①：如果原圖形是四邊形，你能從“邊、角”的角度來梳理本章所學圖形的判定定理嗎？

問題②：如果原圖形是四邊形，你能從“對角線”的角度來梳理本章所學圖形的判定定理嗎？

問題③：如果原圖形是平行四邊形，你能從“對角線”的角度來梳理本章所學圖形的判定定理嗎？

師生活動：教師引導學生在明確“原圖形是什么四邊形”的基礎上，梳理相關圖形的判定定理，讓學生在命題條件的逐步加強過程中進一步地體會圖形“一般與特殊”之間的關系。

設計思考：《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》指出：“數(shù)學知識的教學，要注重知識的‘生長點與‘延伸點，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部與整體知識的關系，引導學生感受數(shù)學教學的整體性。”復習課的教學的核心“生長點”之一應該是加強知識間的聯(lián)系，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)體系。鑒于此，上述呈現(xiàn)的教學設計片段序列，從兩個維度入手著力構(gòu)建知識網(wǎng)絡：一條是采用貫穿整章的“從一般到特殊”的研究方法所呈現(xiàn)出來的圖形特殊化路徑——“平行四邊形——矩形、菱形——正方形”，另一條是平面圖形研究的一般技術路線——“定義——性質(zhì)定理——判定定理”。構(gòu)建知識網(wǎng)絡過程中，始終引導學生按照“邊、角、對角線”的數(shù)量關系和位置關系（圖形構(gòu)成要素的關系）的線索展開。

二、動態(tài)探究問題，把握問題本質(zhì)，學會數(shù)學思考

師生活動：（剛剛分別按原圖形是四邊形和平行四邊形，從對角線的角度梳理完圖形的判定定理）

師：事實上，從對角線入手研究平行四邊形和解決平行四邊形問題是一條行之有效的路徑，下面請同學們來解決這樣一道問題：

問題呈現(xiàn)方式說明：利用幾何畫板在一個原始圖形的基礎上進行條件的變化，動態(tài)生成式地呈現(xiàn)題組，而非靜態(tài)圖片的直接切換。

問題呈現(xiàn)：

問題①：如圖，點E、F是?ABCD的對角線AC上兩點，AE=CF，連接DE、EB、BF、FD。

求證：四邊形DEBF是平行四邊形。

師：接下來，其他條件不變，我們讓點E、F的位置發(fā)生改變。（呈現(xiàn)問題文字信息，拖動點E、F）

問題②：如圖，如果點E、F分別在CA和AC的延長線上時，且滿足AE=CF，上述結(jié)論仍然成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由。

師：接下來，保留平行四邊形及其對角線不變，我們讓圖形進一步地變化。

問題③：如圖，在?ABCD中，AC、BD相交于點O，過點O作直線GE、HF，分別交平行四邊形的四條邊于點E、F、G、H四點，連接EF、FG、GH、HE。試判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由。

師：（問題分析，解題指導）結(jié)合圖形，由前面問題的解決過程可知，要想通過對角線證明四邊形EFGH是平行四邊形，即是證明OH=OF，OG=OE。這個問題的本質(zhì)是“證明兩條線段相等”的問題。解題經(jīng)驗告訴我們：要想證明兩條線段相等，通過構(gòu)造或者證明三角形全等是一條行之有效的辦法。

師：下面，保持圖形基本結(jié)構(gòu)不變，我們將GE與HF的位置關系進行特殊化。（變化圖形）

問題④：當GE⊥HF時，試判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由。

問題⑤：在問題④的條件下，若AC=BD，則四邊形EFGH的形狀是__________。

師：（用幾何畫板格點自動吸附功能，拖動圖形）

生：菱形。

師：為什么條件改變了，四邊形EFGH的形狀卻沒有發(fā)生變化呢？

生1：因為對角線的關系決定了圖形的形狀，所以，雖然題干的條件改變，但四邊形EFGH的對角線GE⊥HF的關系卻保持沒變，這樣，四邊形EFGH的形狀就保持不變。另外，變化的條件“AC=BD”中的AC和BD是四邊形ABCD的對角線，由“對角線相等的平行四邊形是矩形”的判定定理可知四邊形ABCD的形狀變?yōu)榫匦巍?/p>

師：（利用幾何畫板格點自動吸附功能，拖動圖形）

問題⑥：在問題⑤的條件下，若AC⊥BD，試判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由。

生：（猜測）四邊形EFGH的形狀為正方形。

師：首先來看看我們“已經(jīng)知道什么條件”以及“由已知條件還能得到怎樣的結(jié)論”呢？

生2：在⑤的條件下，我們知道四邊形EFGH的形狀為菱形、四邊形ABCD是菱形。再由AC⊥BD，我們可以判斷此時四邊形ABCD為正方形。

師：很好！那么要想證明四邊形EFGH的形狀為正方形，我們只需證明什么即可？

生3：只需證明對角線GH和HF相等。

師：而要想直接證明對角線GH和HF相等，大家有什么辦法嗎？

生：（沉默，獨立思考，觀察圖形，嘗試證明）

師：我們還有哪些條件或者是已經(jīng)得到的結(jié)論可以利用嗎？

生4：四邊形ABCD是正方形。

師：請你結(jié)合圖形再具體點談。

生4：因為四邊形ABCD是正方形，易知OA=OB，∠3=∠5=45°，再由“疊角模型”可知∠1=∠6。接下來，通過證明△AOH≌△BOE（ASA）可證得OE=OH，同理OG=OF。再由OE+OG=OH+OF，可知GH=HF。這樣，就可以證明猜想正確。

師：漂亮的證法！但是，大家還是別著急，讓我們慢下來回頭再看看問題解決的過程。當我們想要直接證明GH和HF相等遇到困難時，其實可以通過倍分變化間接地將問題轉(zhuǎn)化為“證明它們的一半相等”來實現(xiàn)。同學們一定要積累這樣的解題經(jīng)驗。

師：回顧本題的解題過程，大家實際上是從已知條件和待證結(jié)論兩個方面入手的。我們通過“已知……，可得……”和“要想……，只需……”等類似的數(shù)學思考進行了雙向的探索，并且積極地嘗試溝通已知與結(jié)論之間的聯(lián)系，逐步拉近已知與結(jié)論之間的距離，進而尋得解法，證得結(jié)論。通過本題的解決過程，老師希望同學們不僅僅要知道如何解決問題，更重要的是要學會如何尋得解法，學會如何進行數(shù)學的思考。

設計思考：以上兩個教學過程設計片段是本課教學的又一類核心認知活動，也是復習課的核心“生長點”，即“在知識體系建立的基礎上優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)，讓學生在問題解決的過程中進行知識的選擇性調(diào)用，從而發(fā)展邏輯推理能力與分析和解決問題的能力，培養(yǎng)應用意識和創(chuàng)新意識?！眱蓚€片段的設計力圖通過信息技術深層次融合下的啟發(fā)式數(shù)學解題教學活動，充分發(fā)揮數(shù)學的內(nèi)在力量，來幫助學生學會“數(shù)學地看待世界，發(fā)現(xiàn)問題，表述問題，分析問題，解決問題”，進而“學會思維，并能逐步學會想得更清晰、更全面、更深、更合理”。事實上，這也正是落實數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的關鍵所在。

[參 考 文 獻]

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]何小亞.學生“數(shù)學素養(yǎng)”指標的理論分析[J].數(shù)學教育學報，2015（1）.

（責任編輯：張華偉）