基于加權(quán)最小二乘法的RAIM 算法研究

王爾申，楊福霞，賈超穎，曲萍萍，龐 濤

(沈陽航空航天大學,a.電子信息工程學院; b.遼寧省通用航空重點實驗室，沈陽 110136)

基于加權(quán)最小二乘法的RAIM 算法研究

王爾申a,b，楊福霞a，賈超穎a，曲萍萍a，龐 濤a

(沈陽航空航天大學,a.電子信息工程學院; b.遼寧省通用航空重點實驗室，沈陽 110136)

針對最小二乘法在衛(wèi)星故障檢測和識別中存在的問題，研究將加權(quán)最小二乘算法用于衛(wèi)星故障檢測和識別，該算法將測量方程的協(xié)方差矩陣對角線元素作為加權(quán)因子，進而得到基于加權(quán)最小二乘法的衛(wèi)星故障檢測算法。通過各顆衛(wèi)星偽距殘差的平方和建立檢驗統(tǒng)計量，根據(jù)故障檢測誤警率和概率密度函數(shù)得到檢測門限，將計算得到的偽距殘差平方和與檢測門限進行比較，進而實現(xiàn)故障的檢測和隔離。結(jié)合實測數(shù)據(jù)，驗證對比了兩種算法的性能，結(jié)果表明：加權(quán)最小二乘RAIM算法在故障檢測的靈敏度和故障識別性能方面優(yōu)于最小二乘RAIM算法的性能。

北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)； RAIM； 最小二乘算法； 加權(quán)最小二乘算法

0 引言

完好性是指衛(wèi)星導航系統(tǒng)出現(xiàn)故障不能用于導航時及時向用戶進行告警的能力。這些故障可能是衛(wèi)星上的電子故障、衛(wèi)星播發(fā)的衛(wèi)星星歷和時鐘模型偏差、異常大氣層延時及接收機故障等。完好性監(jiān)測就是將故障引起的定位誤差的發(fā)生控制在一定的概率內(nèi)[1]，保障衛(wèi)星導航定位結(jié)果的可靠性。接收機自主完好性監(jiān)測(Receiver Autonomous Integrity Monitoring，RAIM)是利用接收機內(nèi)部冗余觀測值的一致性檢驗進行完好性監(jiān)測。傳統(tǒng)最小二乘RAIM算法中的估計準則是觀測值誤差平方和最小，其思想是以測量值的一致性為基礎進行最小二乘估計，通過獲得觀測量誤差的距離殘差矢量，進而根據(jù)概率分布確定故障檢測統(tǒng)計量和檢測門限實現(xiàn)故障檢測[2]。

衛(wèi)星導航偽距測量值中包含多種誤差，包括與衛(wèi)星有關的衛(wèi)星時鐘誤差、衛(wèi)星星歷誤差，與信號傳播有關的大氣延時誤差(分為電離層延時和對流層延時)，與接收機有關的多路徑效應和電磁干擾。在有SA(Select Availability)政策時，SA是主要的誤差影響，上述這些誤差可以忽略不計；在取消SA政策時，電離層和對流層成為主要的誤差影響。因為不同仰角的衛(wèi)星信號穿過大氣層角度不同，偽距測量誤差就不同[3]。因此，本文在最小二乘算法(Least Squares，LS)的基礎上，考慮各誤差對衛(wèi)星偽距測量值誤差的不同影響，研究了一種加權(quán)最小二乘RAIM算法[4](Weighted Least Squares，WLS)，并對加權(quán)因子選擇進行了分析，通過實測數(shù)據(jù)進行了仿真驗證。

1 加權(quán)最小二乘RAIM算法

1.1 故障檢測模型

GNSS偽距觀測量的線性化方程為

y=HX+ε

(1)

式中：y是觀測偽距量減去利用衛(wèi)星的坐標和用戶接收機的坐標計算得到的距離組成的n×1維矢量；H是n×4維的觀測矩陣，是由各衛(wèi)星到用戶接收機的方向余弦向量和第4列全為1的元素構(gòu)成的線性化矩陣；X為未知的矢量，包括接收機的三維位置和接收機鐘差；ε為n×1維觀測噪聲矢量，服從均值為0、方差為σ2的高斯分布。

根據(jù)最小二乘估計準則，對式(1)運用最小二乘估計求解，得到的解為

(2)

如果對式(1)觀測方程兩邊同時左乘加權(quán)矩陣，并結(jié)合式(2)對方程進行最小二乘估計，此時得到的解為

(3)

式中,W為加權(quán)矩陣。

偽距殘差矢量v為

(4)

式中：矩陣A的協(xié)因數(shù)矩陣為Q=W-1-H(HTW·H)-1HT。

偽距殘差平方和為

SSSEWLS=vTv=yTWy。

(5)

當觀測噪聲ε服從正態(tài)分布，SSSEWLS服從自由度為(n-4)的χ2分布，因此，對SSSEWLS作二元假設，給定誤警率PFA和概率密度函數(shù)，利用式(6)求得tWLS。

(6)

1.2 故障識別模型

故障識別依據(jù)巴爾達研究的數(shù)據(jù)探測法，該方法基于最小二乘殘差矢量構(gòu)造統(tǒng)計量，且該統(tǒng)計量服從某種分布，給定顯著水平，通過對統(tǒng)計量進行檢驗判斷某衛(wèi)星是否為故障星。因此根據(jù)殘差和觀測誤差的關系式，定義故障識別的檢測統(tǒng)計量為

(7)

式中：i=1,2,…,n，n是可見衛(wèi)星數(shù)；vi為利用加權(quán)最小二乘法求得的偽距殘差；Q=W-1-H(HTWH)-1HT，Qii是矩陣Q的第i行第i列；di服從正態(tài)分布，即di～N(0,1)，對di做二元假設，給定總體的誤警率PFA，則可以計算出對應的檢測門限TWLSe,算式為

(8)

2 加權(quán)因子的計算

衛(wèi)星的信號從發(fā)出到用戶接收的過程中會受到各種誤差的影響，分析這些誤差并抑制和減弱其影響，將有助于提高導航定位性能。在GNSS定位中，包含多種誤差，如衛(wèi)星鐘差、衛(wèi)星星歷誤差、大氣延時誤差(分為電離層和對流層)、多路徑效應和電磁干擾等。而在利用最小二乘殘差法進行故障檢測和識別時沒有充分考慮這些誤差對同一系統(tǒng)內(nèi)的衛(wèi)星有不同的影響，因此，在最小二乘殘差的基礎上，充分考慮這些誤差對同一系統(tǒng)內(nèi)的衛(wèi)星有不同的影響，研究了加權(quán)最小二乘殘差法，利用這些誤差對每個衛(wèi)星的不同影響作為加權(quán)因子，選取這些誤差的方差和的倒數(shù)作為加權(quán)因子。

(9)

(10)

3 算法驗證和結(jié)果分析

為了驗證加權(quán)最小二乘算法在故障檢測和識別中的有效性，選用GPS星座，采集以2014年5月29日00點開始的24 h的數(shù)據(jù)，接收機坐標為(-2 965 385.050,-972 576.616, 5 543 892.887)，單位為m。同時，通過驗證所采集的數(shù)據(jù)期間并未有故障發(fā)生。

表1 GPS作為輔助導航時不同航路階段的完好性要求

表2 檢測門限值TDWLS

從表2可看出，相同的誤警率，隨著可見衛(wèi)星數(shù)的增加，檢測門限值變大；相同的可見衛(wèi)星數(shù)，隨著誤警率的增加，檢測門限值變小。

在驗證中設定誤警率為0.002/h，為了驗證算法的檢測性能，人為地對12號衛(wèi)星的1～18 000歷元的偽距添加不同的偏差，并分別利用最小二乘RAIM算法和加權(quán)最小二乘RAIM算法進行故障檢測和識別。

圖1為在1～18 000歷元中添加偏差。在添加如圖1所示的偏差下，分別利用最小二乘法和加權(quán)最小二乘法進行故障檢測，得到如圖2結(jié)果。

圖1 添加偽距偏差值Fig.1 Adding pseudo-range bias

圖2 最小二乘法和加權(quán)最小二乘法故障檢測Fig.2 Least squares and weighted least squares fault detection

圖2為在添加圖1所示的故障下顯示的故障檢測結(jié)果。其中在2000～16 000歷元分別加入偏差值為50 m和65 m的階躍故障，利用最小二乘法和加權(quán)最小二乘法得到檢測統(tǒng)計量都大于檢測門限，因此，兩種算法都能夠檢測到故障；在4000～6000歷元以及在8000～14 000歷元分別加入偏差值為55 m和60 m的階躍故障，利用最小二乘法和加權(quán)最小二乘法得到檢測統(tǒng)計量都大于檢測門限，因此，可得利用最小二乘法和加權(quán)最小二乘法都能夠檢測到故障，兩種算法都有效。

為了驗證加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測和識別性能，并與最小二乘RAIM算法比較。仿真時選取1～18 000歷元數(shù)據(jù)，對第12號衛(wèi)星的偽距中人為加入故障偏差，偏差值從0 m遞增到100 m，步長為5 m，分別用最小二乘法和加權(quán)最小二乘法每隔10個歷元進行一次故障檢測和識別。

從圖3可以看出，在加入的相同偽距偏差下，加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測率都大于最小二乘RAIM算法。當偽距偏差為40 m時，最小二乘RAIM算法的故障檢測率為0，加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測率為51.94%；當偽距偏差為55 m時，最小二乘RAIM算法的故障檢測率為90.72%，加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測率為94.44%；當偽距偏差為75 m時，最小二乘RAIM算法的故障檢測率為99.39%，加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測率為100%；當偽距偏差為大于80 m時，最小二乘RAIM算法和加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測率均為100%。由此可得，加權(quán)最小二乘RAIM算法對故障的敏感度更高，并具有比最小二乘RAIM算法更強的檢測性能。

圖3 最小二乘法和加權(quán)最小二乘法故障檢測率Fig.3 Fault detection rate of least squares method and weighted least squares method

圖4給出了檢測到存在故障衛(wèi)星時，加權(quán)最小二乘RAIM算法與最小二乘RAIM算法的故障識別率的比較。

圖4 最小二乘法和加權(quán)最小二乘法故障識別率圖Fig.4 Fault identification rate of least squares method and weighted least squares method

從圖4可以看出，加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障識別率都大于最小二乘RAIM算法。當偽距偏差為40 m時，最小二乘RAIM算法的故障識別率為0，加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測率為42.61%；當偽距偏差為55 m時，最小二乘RAIM算法的故障檢測率為89.56%，加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測率為93.50%；當偽距偏差為75 m時，最小二乘RAIM算法的故障檢測率為99.67%，加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測率為100%；當偽距偏差為大于80 m時，最小二乘RAIM算法和加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測率均為100%。由此可得，加權(quán)最小二乘RAIM算法對故障的敏感度更高，由此并具有比最小二乘RAIM算法更好的識別性能。

4 結(jié)論

本文研究了加權(quán)最小二乘法，建立了進行故障檢測和識別的RAIM算法模型，同時分析了加權(quán)矩陣，給出了算法的詳細流程和加權(quán)因子的計算方法。通過實測數(shù)據(jù)對算法進行了驗證，結(jié)果表明：加權(quán)最小二乘RAIM算法在故障檢測和識別性能等方面優(yōu)于采用最小二乘RAIM算法，其結(jié)果對北斗衛(wèi)星導航接收機自主完好性監(jiān)測具有一定的參考價值。

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ResearchonRAIMAlgorithmBasedonWeightedLeast-SquareMethod

WANG Er-shena,b, YANG Fu-xiaa, JIA Chao-yinga, QU Ping-pinga, PANG Taoa

(Shenyang Aerospace University,a.School of Electronic and Information Engineering;b.Liaoning General Aviation Key Laboratory,Shenyang 110136,China)

In order to solve the problems of the least-square method in satellite fault detection,a Weighted Least-Square (WLS) algorithm is proposed for satellite fault detection and recognition.The algorithm uses the diagonal-line factor in the covariance matrix of the measurement equation as the weighting factor.Then the satellite-fault-detection algorithm based on the WLS method is obtained.The test statistic is established by using the quadratic sum of the pseudo-range residual errors of each satellite.The detection threshold is obtained from the false alarm rate of the fault detection and the probability density function.The calculated quadratic sum of the pseudo-range residual error is compared with the detection threshold,and then the fault detection and isolation is realized.Analysis is made to the performance of the two algorithms according to the measured data.The results show that the WLS RAIM algorithm is superior to the least-square RAIM algorithm on the fault detection sensitivity and fault recognition performance.

Beidou Satellite Navigation System (BDS); Receiver Autonomous Integrity Monitoring (RAIM); least-square method; weighted least-square method

王爾申，楊福霞，賈超穎，等.基于加權(quán)最小二乘法的RAIM 算法研究[J].電光與控制，2017，24 ( 11) : 7-10.WANG E S，YANG F X，JIA C Y，et al.Research on RAIM algorithm based on weighted least-square method[J].Electronics Optics & Control，2017，24( 11) : 7-10．

2016-11-01

2017-01-15

國家自然科學基金(61571309,61101161)；遼寧省“百千萬人才工程 ”資助項目

王爾申(1980 —),男，遼寧遼陽人，博士，副教授，研究方向為衛(wèi)星導航和接收機信號處理算法。

V241.6； TN967.1

A

10.3969/j.issn.1671-637X.2017.11.002