楊航, 劉凌, 倪駿康, 張誠

(西安交通大學電氣工程學院, 710049, 西安)

雙關節(jié)剛性機器人自適應BP神經網絡算法

楊航, 劉凌, 倪駿康, 張誠

(西安交通大學電氣工程學院, 710049, 西安)

為解決反向傳播(BP)神經網絡學習速度慢、泛化能力弱以及易陷入局部極小值等問題,提出了一種雙關節(jié)剛性機器人自適應BP神經網絡算法。首先,設計了一種新結構的參數(shù)可調激活函數(shù),其映射范圍、斜率因子、水平和豎直位置等參數(shù)皆可自適應調整,以使BP神經網絡具有更強的非線性映射能力;然后,設計了一個模糊推理器來整定激活函數(shù)的斜率因子,以使斜率因子保持參數(shù)最優(yōu);最后,設計了一套控制系統(tǒng)并應用于雙關節(jié)剛性機器人系統(tǒng)的位置跟蹤控制,采用自適應BP神經網絡算法對該系統(tǒng)位置控制器的比例增益、積分增益和微分增益進行了實時整定。仿真結果表明:與使用經典固定參數(shù)S型激活函數(shù)的BP神經網絡算法相比,所提出的自適應BP神經網絡算法考慮了激活函數(shù)的自適應性,提高了BP神經網絡的學習速度和泛化能力,并抑制了假飽和現(xiàn)象,對位置誤差的收斂速度可提高20倍以上,且可使位置和速度誤差減小并接近于0。

剛性機器人;反向傳播神經網絡;自適應;激活函數(shù);模糊推理

近年來,人們越來越關注機器人的跟蹤控制問題[1],所要實現(xiàn)的目標是減小機械臂實際移動軌跡和設定軌跡之間的偏差,并達到所期望的精度。然而,機器人系統(tǒng)是一個非線性、強耦合、高階和多變量的系統(tǒng),其數(shù)學模型是一個具有時變結構的非線性模型[2]。由于機器人的動作常?？赏ㄟ^不同的方式和路徑來完成,手臂運動解不唯一,故需要在一定約束條件下考慮優(yōu)化決策與控制問題,但是基于傳統(tǒng)算法的控制器已無法滿足控制要求。隨著機器人技術的發(fā)展,與其相關的控制算法逐漸豐富起來,如神經網絡控制、自適應控制、自校正控制、魯棒控制、變結構控制和預測控制等。由于神經網絡需要相對較少的系統(tǒng)動力學信息,且反向傳播(BP)神經網絡已被證明能夠在一定條件下以任何所需的精度逼近各種非線性函數(shù),所以神經網絡算法已廣泛應用于機器人系統(tǒng)的控制[3]。

文獻[3-6]提出了一些使用神經網絡技術解決機器人系統(tǒng)控制問題的方案。雖然大多數(shù)神經網絡采用BP神經網絡或其改進形式,但經典的BP神經網絡有缺陷,這使它并不總能滿足實際應用的需求。激活函數(shù)是神經網絡解決非線性問題的關鍵,而經典的S型激活函數(shù)的映射范圍、斜率因子及位置參數(shù)是固定不變的,故其在學習及訓練過程中無法自動改變函數(shù)結構和尋找最佳參數(shù),由此會導致BP神經網絡易陷入局部極小值、收斂速度慢和泛化能力弱等問題的出現(xiàn)。

BP神經網絡的學習能力與網絡復雜度之間的矛盾制約了其非線性映射能力,導致學習速度和收斂精度不理想。近十幾年來,針對BP神經網絡算法的不足,研究人員做了大量深入的研究,并提出了許多改進算法,如使用動量項加快離線訓練速度[7]、快速傳播算法[8]、二階優(yōu)化[9]以及最優(yōu)濾波法[10]等。文獻[11]提出了參數(shù)可調的激活函數(shù)模型;文獻[12]采用免疫遺傳算法離線優(yōu)化和神經網絡自學習在線調整隸屬函數(shù)參數(shù)的方法,增強了水下機器人對環(huán)境變化的反應能力;文獻[13]提出了一種自適應T-S (Takagi-Sugeno)模糊神經網絡控制器,以實現(xiàn)欠驅動無人艇直線航跡的跟蹤控制。這些改進雖然改善了神經網絡算法的性能,但只是簡單調節(jié)了激活函數(shù)的陡峭程度和映射范圍,而映射區(qū)間的長度并不能改變,無法使神經網絡達到最佳的非線性映射能力。

為了克服由于固定的S型激活函數(shù)參數(shù)所導致的問題,本文提出了一種基于新型參數(shù)可調激活函數(shù)的自適應BP神經網絡算法,以提高閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性;隨后,提出了一種新結構的激活函數(shù),其映射范圍、斜率因子、水平位置和豎直位置等參數(shù)皆可自適應調整,以使神經網絡具有更強的非線性映射能力,并提高學習速度和泛化能力;最后,通過設計的模糊推理器來整定激活函數(shù)的斜率因子。仿真結果證實了本文算法的有效性。

1 剛性機器人系統(tǒng)的數(shù)學模型

對于一個n關節(jié)剛性機器人系統(tǒng),考慮摩擦力的動態(tài)方程[14]可以表示為

(1)

式中:M(q)∈n×n為對稱正定的慣性矩陣n×n為向心力和哥氏力矩陣n為摩擦力矢量;G(q)∈n為重力矢量n分別為機械臂的位置、速度和加速度;τ∈n為力矩矢量。

雙關節(jié)剛性機器人機械臂示意圖如圖1所示,其中:mi、li是第i個支架的質量和長度;q1、q2為關節(jié)1和關節(jié)2的位置角(rad);lci是從第i-1個關節(jié)點到第i個支架質心的長度,假設連桿材質均勻,則lc1=0.5l1,lc2=0.5l2;Ii為第i個支架的轉動慣量。

圖1 雙關節(jié)剛性機器人機械臂示意圖

雙關節(jié)剛性機器人的2個機械臂由2個永磁無刷電機驅動,而電機由電流伺服放大器驅動。伺服放大器的增益矩陣Ksa=kI(k>0),其中Ksa∈n×n,I是一個具有相應維數(shù)的單位矩陣,k為正的常數(shù)。永磁無刷電機的輸出轉矩[14]為

τ(t)=Kmim(t)=Kmid(t)=KmKsau(t)

(2)

式中:Km∈n×n為電機轉矩常數(shù)矩陣;im∈n為驅動電機的電流矢量;id∈n為電機的理想電流矢量;u∈n為伺服放大器的輸入電壓矢量。

本文的控制目標是驅動雙關節(jié)剛性機器人系統(tǒng)的機械臂以參考速度跟蹤參考位置軌跡,并實現(xiàn)位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差的最小化。

2 自適應BP神經網絡算法

2.1 參數(shù)可調的激活函數(shù)

激活函數(shù)是神經網絡解決非線性問題的關鍵。激活函數(shù)的種類繁多,如線性函數(shù)、閾值函數(shù)和S型函數(shù)。這里將基于經典固定參數(shù)S型激活函數(shù)的BP神經網絡定義為FPBP神經網絡,相應的算法稱為FPBP神經網絡算法。本文提出一種新型的參數(shù)可調激活函數(shù),結構為

f=f(x,a,b,c,d)=

(3)

式中:a為區(qū)間因子(正實數(shù));b為斜率因子(正實數(shù));c和d為位置參數(shù)。

顯然,只要給出相應的參數(shù),傳統(tǒng)的S型激活函數(shù)(1+e-x)-1只是式(3)的一個特例。因此,本文提出的激活函數(shù)具有更豐富的結構形式和非線性表達能力。

2.2 參數(shù)更新算法

相關文獻已經證明,只要隱藏層中節(jié)點的數(shù)量足夠,3層BP神經網絡具有模擬任何復雜非線性映射的能力[15]。本文提出的自適應BP神經網絡拓撲圖如圖2所示。

圖2 自適應BP神經網絡拓撲圖

在圖2中:自適應BP神經網絡的輸入層有m個輸入量xi(i=1,2,…,m);隱藏層有s個神經元,神經元閾值為γj(j=1,2,…,s),激活函數(shù)為本文提出的參數(shù)可調激活函數(shù)fj(j=1,2,…,s),其輸入量為Gj(j=1,2,…,s),輸出量為gj(j=1,2,…,s);自適應BP神經網絡的輸出層有n個神經元,層神經元閾值為θk(k=1,2,…,n),激活函數(shù)為本文的參數(shù)可調激活函數(shù)fok(k=1,2,…,n), 其輸入量為Yk(k=1,2,…,n),輸出量為yk(k=1,2,…,n);ωij表示輸入層第i個輸入量與隱藏層第j個神經元連接的權值;vjk表示隱藏層第j個輸入量與輸出層第k個神經元連接的權值。于是,有

(4)

gj=fj(Gj)

(5)

(6)

yk=fok(Yk)

(7)

方程(4)～(7)完成了自適應BP神經網絡從輸入到輸出的映射。將fj(j=1,2,…,s)和fok(k=1,2,…,n)簡寫為f,并對參數(shù)x、a、b、c和d分別求偏導,可得

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

則總誤差

(14)

2.2.1 神經網絡權值更新 輸出層權值vjk的更新公式為

(15)

考慮學習率和動量因子,輸出層權值更新為

(16)

(17)

式中:ηv為v的學習率;αv為v的動量因子。

隱藏層權值ωij的更新公式為

(18)

考慮學習率和動量因子,隱藏層權值更新為

(19)

(20)

式中:ηω為ω的學習率;αω為ω的動量因子。

2.2.2 激活函數(shù)參數(shù)更新

(1)區(qū)間因子a的更新。輸出層區(qū)間因子ak的更新為

(21)

隱藏層區(qū)間因子aj的更新為

(22)

考慮學習率和動量因子,區(qū)間因子更新為

(23)

(24)

式中:ηa為a的學習率;αa為a的動量因子。

(2)斜率因子b的更新。模糊推理不依賴于系統(tǒng)的數(shù)學模型,能獲得更好的動態(tài)控制性能,實現(xiàn)高精度、強魯棒性控制,提高系統(tǒng)的智能化程度,因此采用模糊推理算法設計斜率因子b的更新算法。將模糊子集劃分為{Z,PS,PM,PB},分別代表{零,正小,正中,正大}。選取高斯函數(shù)和三角形函數(shù)相結合的隸屬度函數(shù)。

首先,當位置誤差較大時,選用高斯隸屬度函數(shù),且以快速減小誤差為主要目的。此時應選用較大的斜率因子,但當誤差迅速減小時,為防止神經網絡發(fā)生飽和,斜率因子可保持不變。

其次,當位置誤差減小到設定的區(qū)段之后,選用三角形隸屬度函數(shù),且以防止BP神經網絡出現(xiàn)假飽和現(xiàn)象為主要目的。此時若誤差緩慢地減小,應選用較大的斜率因子,使神經網絡跳出平坦區(qū)域。

最后,當位置誤差繼續(xù)減小到模糊子集為Z的區(qū)間時,應選用較小的斜率因子,以防止BP神經網絡過飽和,提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。根據大量的實驗,制定了斜率因子變化量Δb的模糊規(guī)則表,見表1。

表1 Δb的模糊規(guī)則表

模糊推理選用馬丹尼(Mardani)型,整定好的斜率因子b表示為

b(t+1)=b(0)+Δb(t)

(25)

式中:b(0)>0為斜率因子初值;Δb(t)為斜率因子變化量。為避免依賴精確的數(shù)學模型和長時間參數(shù)整定的困難,選用重心法作為解模糊的方法,并導出斜率因子變化量的查詢表,以實現(xiàn)斜率因子的在線整定。

(3)位置參數(shù)c的更新。輸出層位置參數(shù)ck的更新為

(26)

隱藏層位置參數(shù)cj的更新為

(27)

考慮學習率和動量因子,位置參數(shù)更新為

(28)

(29)

式中:ηc為c的學習率;αc為c的動量因子。

(4)位置參數(shù)d的更新。輸出層位置參數(shù)dk的更新為

(30)

隱藏層位置參數(shù)dj的更新為

(31)

考慮學習率和動量因子,位置參數(shù)更新為

(32)

(33)

式中:ηd為d的學習率;αd為d的動量因子。

學習率決定了參數(shù)移動到最優(yōu)值的速度快慢,所以學習率對于算法的性能至關重要。附加動量因子使網絡在修正其權值時,不僅考慮誤差在梯度上的作用,而且考慮在誤差曲面上變化趨勢的影響。在沒有附加動量的作用時,網絡可能陷入淺的局部極小值,而利用附加動量的作用則有可能滑過這些極小值。

對于不同的輸入樣本,最佳的激活函數(shù)參數(shù)可能是不一致的。然而,由上述分析可以得出如下結論:本文所提出的新激活函數(shù)的參數(shù)可以自適應調整,使其具有更豐富的非線性表達能力,特別地,斜率因子可以根據位置誤差和它們的變化率,通過模糊推理器進行推理,因此斜率因子也具有自適應性。

3 仿真研究

3.1 系統(tǒng)模型

考慮圖1所示的雙關節(jié)剛性機器人系統(tǒng)機械臂。機器人系統(tǒng)的參數(shù)為:m1=2.0 kg,m2=1.0 kg,l1=0.2 m,l2=0.15 m,I1=61.25 g·m2,I2=20.42 g·m2,g=9.8 m/s2。為了便于比較FPBP神經網絡算法和本文提出的自適應BP神經網絡算法,除了激活函數(shù)的結構和激活函數(shù)的參數(shù)更新方法外,其余所有的條件和參數(shù)設置相同。為了更加客觀地進行對比,2種BP神經網絡算法的學習率和動量因子設置相同的值,即η=0.03,α=0.05。

對于式(1)所表示的2自由度機器人系統(tǒng)動態(tài)方程,各參數(shù)[16]為

(34)

(35)

(36)

(37)

qd=[qd1,qd2]T=[sin(πt),cos(πt)]T

(38)

其中t∈[0,tf]且tf=20 s。

FPBP神經網絡算法使用經典固定參數(shù)的S型激活函數(shù),即

(39)

自適應BP神經網絡算法使用新型激活函數(shù),初始值設定為:a(0)=b(0)=d(0)=0.5 rad,c(0)=0。

(40)

自適應模糊神經網絡控制系統(tǒng)框圖見圖3。

分別為機械臂的給定角位置、給定角速度和給定角加速度;qi(i=1,2)為關節(jié)的實際位置角;ei=qdi-qi(i=1,2)為位置角誤差為位置角誤差的變化率。圖3 自適應模糊神經網絡控制系統(tǒng)框圖

設u(k)為第k次采樣時刻控制器的輸出值,可得離散的位置控制器輸出

u(k)=u(k-1)+KpΔe(k)+Kie(k)+

Kd[Δe(k)-Δe(k-1)]

(41)

式中:Kp、Ki、Kd分別為位置控制器的比例增益、積分增益和微分增益;Δe(k)=e(k)-e(k-1)。

3.2 結果及分析

雙關節(jié)剛性機器人系統(tǒng)2個關節(jié)的位置跟蹤軌跡如圖4和圖5所示,從中可以看出:機器人系統(tǒng)的所有機械臂關節(jié)都可以通過自適應BP神經網絡算法成功地跟蹤所設定的軌跡,且位置誤差可以收斂并接近于0,而使用FPBP神經網絡算法不能準確地跟蹤期望軌跡,且穩(wěn)態(tài)位置角誤差較大。

圖4 關節(jié)1的位置跟蹤軌跡

圖5 關節(jié)2的位置跟蹤軌跡

從圖4和圖5還可以看出,在機器人系統(tǒng)的參數(shù)相同的前提下,采用FPBP神經網絡算法的位置誤差比采用自適應BP神經網絡算法的位置誤差大,即FPBP神經網絡算法的跟蹤性能不如自適應BP神經網絡算法好。為了更清晰地比較2種算法的性能,對每個控制周期內采樣的一組位置跟蹤誤差求取均方根誤差(Erms),結果如圖6、圖7所示。

圖6 位置跟蹤誤差的均方根誤差曲線

圖7 速度跟蹤誤差的均方根誤差曲線

由圖6可以看出:采用FPBP神經網絡算法的機器人機械臂關節(jié)不能成功地跟蹤期望軌跡,位置跟蹤誤差下降緩慢;相反,采用自適應BP神經網絡算法的機器人機械臂關節(jié)的位置跟蹤誤差能在很短的時間內收斂并接近于0。從圖7可知,采用自適應BP神經網絡算法比采用FPBP神經網絡算法的速度跟蹤誤差小,說明自適應BP神經網絡算法極大地提高了BP神經網絡權值的收斂速度。自適應BP神經網絡算法的上述優(yōu)勢的體現(xiàn)正是由于它能對激活函數(shù)的映射范圍、斜率及位置等參數(shù)進行調節(jié),特別是能通過模糊推理器對激活函數(shù)的斜率因子進行自適應調整,從而保證了機械臂關節(jié)的高精度軌跡跟蹤性能。

4 結束語

本文針對BP神經網絡學習速度慢、泛化能力弱和易陷入局部極小值等問題,研究了自適應神經網絡控制策略,提出了一種新結構的參數(shù)可調激活函數(shù),其映射范圍、斜率因子、水平位置和豎直位置等參數(shù)皆可自適應地調整,特別是激活函數(shù)的斜率因子可以通過模糊推理器進行整定,以使神經網絡具有更強的非線性映射能力。仿真結果表明,除激活函數(shù)的結構和參數(shù)更新方法不同之外,在相同參數(shù)條件下,自適應BP神經網絡算法比FPBP神經網絡算法具有更強的非線性表達能力、更快的收斂速度和更高的收斂精度,可以成功地驅動機械臂以參考速度跟蹤參考位置軌跡,且具有更好的動態(tài)性能。

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AnAdaptiveBPNeuralNetworkAlgorithmfor2-JointRigidRobots

YANG Hang, LIU Ling, NI Junkang, ZHANG Cheng

(School of Electrical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

According to the existing problems that back-propagation (BP) neural network with fixed activation function parameters has the shortcomings of slow learning speed, weak generalization ability and ease of falling into local minimum, an adaptive BP neural network algorithm for 2-joint rigid robot is proposed. Firstly, a novel structure of activation function with adjustable parameters is designed. In order to make the BP neural network have better nonlinear mapping capability, its mapping range, steep degree, and horizontal and vertical position parameters can be adjusted adaptively. Then, a fuzzy controller is designed to adjust the slope factor. Thus, the optimality of the slope factor can be guaranteed. Finally, a control system is designed and applied to the tracking control of a 2-joint rigid robotic system. The adaptive BP neural network algorithm is adopted to tune the proportional, integral and differential gains of the position controller. Simulation results show that in comparison with the classical BP neural network algorithm based on Sigmoid activation function with fixed parameters, the adaptive BP neural network algorithm takes the adaptability of activation function into account, improves the learning speed and generalization ability, and restrains false saturation. The convergence rate of position errors can be increased by 20 times, and the position and velocity tracking errors can be reduced to a small value close to zero with the proposed algorithm.

rigid robot; back propagation neural network; adaptability; activation function; fuzzy inference

2017-04-16。

楊航(1992—),男,碩士生;劉凌(通信作者),男,副教授。 基金項目: 國家自然科學基金資助項目(51307130);中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目(1191320056)。

時間:2017-10-20

網絡出版地址: http:∥kns.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20171020.1622.008.html

10.7652/xjtuxb201801019

TP183

A

0253-987X(2018)01-0129-07

(編輯 葛趙青)