李 瑋， 趙 歡， 李思琪，李 立，孫文峰

(1.東北石油大學石油工程學院，黑龍江大慶 163318；2.濮陽佰斯泰油氣技術(shù)服務有限公司，河南濮陽 457001)

頁巖地層中層理、裂縫等弱結(jié)構(gòu)面十分發(fā)育，形成的復雜裂縫網(wǎng)絡(luò)會直接影響地層的滲流能力，因此準確描述頁巖地層中的裂縫網(wǎng)絡(luò)對頁巖油氣開發(fā)至關(guān)重要[1-2]。有效溝通裂縫網(wǎng)絡(luò)可以增大壓裂改造體積，正確認識和描述裂縫網(wǎng)絡(luò)連通性對合理有效地開發(fā)裂縫性頁巖氣藏十分重要[3-4]。施澤進等人[5]采用重正化群的方法研究二維裂隙網(wǎng)絡(luò)的連通情況，提出了六邊形網(wǎng)絡(luò)模式，運用裂隙導通概率對裂縫網(wǎng)格系統(tǒng)的連通情況進行了量化分析；S.I.Ozkaya等人[6]通過井底周圍裂縫的滲透率變化對井底裂縫尺寸、裂縫交叉面和裂縫長度等參數(shù)進行了描述；王香增等人[7]應用分形方法對裂縫系統(tǒng)中各參數(shù)之間的關(guān)系進行了定量分析；K.Ghosh等人[8]從地質(zhì)的角度對裂縫連通性進行了分析，認為裂縫連通性與裂縫組數(shù)量及裂縫分散度相關(guān)；鞠瑋等人[9]應用分形方法統(tǒng)計了塔中I號斷裂帶北段構(gòu)造裂縫面密度；J.G.Rubino等人[10]應用微地震測試方法，根據(jù)不同裂縫形態(tài)采集到的地震能量不同這一特點，通過微地震能量變化描述裂縫的連通性；郭天魁等人[11]應用分形方法對人工壓裂的裂隙結(jié)構(gòu)面跡線長分布及其影響因素進行了定量研究。雖然國內(nèi)外學者應用線密度、面密度、分形理論和微地震監(jiān)測等方法對裂縫特征、裂縫發(fā)育規(guī)律及裂縫復雜程度進行了較多研究[12-13]，但對頁巖復雜裂縫網(wǎng)絡(luò)連通性的研究較為欠缺，仍需進一步探索。為此，筆者針對頁巖裂縫的幾何特征及裂縫網(wǎng)絡(luò)的連通性問題，應用分形及拓撲方法，對頁巖地層多組天然裂縫網(wǎng)絡(luò)的連接類型及連通性進行了模擬分析，研究了復雜頁巖裂縫網(wǎng)絡(luò)連通性的影響因素，以期為分析頁巖地層裂縫網(wǎng)絡(luò)對油氣勘探開發(fā)的影響提供理論基礎(chǔ)。

1 頁巖裂縫網(wǎng)絡(luò)的特征及表征方法

頁巖地層中存在數(shù)量眾多不同尺度的天然裂縫，如圖1所示。從頁巖露頭的裂縫發(fā)育程度來看，當裂縫數(shù)量和組數(shù)達到一定程度后，頁巖裂縫就具有復雜的網(wǎng)絡(luò)特征。頁巖裂縫網(wǎng)絡(luò)的存在給頁巖的基本參數(shù)表征和物性參數(shù)表征帶來了很多困難。人們通常用裂縫長度、裂縫開度、間距、裂縫傾角、裂縫密度和組數(shù)等參數(shù)來表征頁巖裂縫系統(tǒng)。

圖1 頁巖露頭的裂縫網(wǎng)絡(luò)分布Fig.1 The distribution of fractures in shale outcrops

頁巖的裂縫網(wǎng)絡(luò)是復雜、無序的，其拓撲結(jié)構(gòu)亦變化多樣，不同的拓撲結(jié)構(gòu)會使頁巖裂縫網(wǎng)絡(luò)的連通性、滲透率等產(chǎn)生較大差異，進而影響頁巖油氣井的生產(chǎn)參數(shù)。因此，要想充分表征頁巖的裂縫網(wǎng)絡(luò)，既要考慮裂縫的幾何參量，還要考慮裂縫的拓撲結(jié)構(gòu)。

有時2個裂縫網(wǎng)絡(luò)的幾何參量完全相同，但它們卻構(gòu)成了2個形態(tài)差異明顯的裂縫系統(tǒng)，分析認為，這主要是因為裂縫網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)不同。所謂的裂縫網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)，是指裂縫系統(tǒng)間的連接狀態(tài)。如圖2所示，裂縫網(wǎng)絡(luò)1與裂縫網(wǎng)絡(luò)2均分布2組正交的裂縫，具有完全相同的裂縫數(shù)量、尺寸、傾角等幾何參量。在考慮裂縫連接狀態(tài)的情況下，裂縫網(wǎng)絡(luò)1中裂縫的連接程度明顯高于裂縫網(wǎng)絡(luò)2，裂縫網(wǎng)絡(luò)1的連通性能也必然優(yōu)于裂縫網(wǎng)絡(luò)2。這說明，常用的幾何參數(shù)并不能準確表征裂縫網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)性能。

圖2 頁巖裂縫網(wǎng)絡(luò)連通性示意Fig.2 Connectivity of fracture network in shale

2 頁巖裂縫組的分形表征模型

大量研究表明[14-16]，地層斷裂與裂縫的分布具有相似性。因此，大尺寸的地層斷裂和小尺寸的巖心裂縫均可以用分維數(shù)值來定量描述儲層中裂縫網(wǎng)絡(luò)的空間發(fā)育程度。

根據(jù)分形幾何理論，在DT(DT≤3)維的歐式空間中存在一組分形裂縫介質(zhì)，則分形裂縫介質(zhì)的測量尺度和累計數(shù)目、累計長度存在冪律關(guān)系：

N=N0rDT-D

(1)

L=L0r-D

(2)

式中：N為分形裂縫介質(zhì)的累計數(shù)目；N0為分形裂縫介質(zhì)的初始個數(shù)；r為分形裂縫介質(zhì)的測量尺度；L為分形裂縫介質(zhì)的累計長度；L0為分形裂縫介質(zhì)的初始尺度；D為分形裂縫介質(zhì)分布的分形維數(shù)，D

在三維歐式空間中(DT=3)，有若干個邊長為LT(LTmin≤LT≤LTmax)的離散單元，其中一個離散單元中存在m組分形裂縫介質(zhì)。對于第i組分形裂縫，有：

Ni=N0irDT-Di(1≤i≤m)

(3)

Li=L0ir-Di(1≤i≤m)

(4)

式中：Ni為第i組分形裂縫累計數(shù)目；N0i為第i組分形裂縫的初始個數(shù)；Li為第i組分形裂縫累計長度；L0i為第i組分形裂縫初始尺度；Di為第i組分形裂縫分布的分形維數(shù)。

3 頁巖裂縫網(wǎng)絡(luò)的拓撲表征模型

在二維裂縫網(wǎng)絡(luò)中，裂縫由一系列線段組成。平面中的每一條裂縫都有各自的跡線和2個終端節(jié)點。如圖3所示的裂縫拓撲結(jié)構(gòu)中：A-B表示裂縫跡線，點A和點B是裂縫的2個孤立的終端節(jié)點，稱為I型節(jié)點；裂縫A-B與裂縫C-M、F-N相互交叉，交點C和F稱為X型節(jié)點；裂縫D-N、E-M終止于裂縫A-B，即相鄰連接，交點D和E稱為Y型節(jié)點。裂縫A-B被其他4條裂縫分成了5段，分別為AC段、CD段、DE段、EF段和FB段，這些裂縫段稱為裂縫的分支。

在二維裂縫網(wǎng)絡(luò)中，每條裂縫必然存在2個終端節(jié)點。這2個終端節(jié)點可以是I型節(jié)點，也可以是Y型節(jié)點。由此可知，裂縫網(wǎng)絡(luò)中的裂縫數(shù)為：

(5)

式中：NL為裂縫數(shù)(跡線數(shù))；NI為I型節(jié)點的個數(shù)；NY為Y型節(jié)點的個數(shù)。

連接的裂縫在節(jié)點之間形成一系列新的分支。每條分支只有2個節(jié)點。在不考慮節(jié)點類型重合的放射性裂縫連接時，每個I型節(jié)點只屬于1條分支，每個Y型節(jié)點同屬于3條分支，每個X型節(jié)點同屬于4個分支。由此，可以得到分支數(shù)：

(6)

式中：NB為分支數(shù)；NX為X型節(jié)點的個數(shù)。

在上述3類節(jié)點中，X和Y連通裂縫網(wǎng)絡(luò)的連接點，且每個X型節(jié)點和Y型節(jié)點均同屬于2條裂縫。這樣，裂縫網(wǎng)絡(luò)平均連接點的計算式為：

(7)

在一個裂縫網(wǎng)絡(luò)中，每條裂縫的平均連接點數(shù)是非常重要的參數(shù)，直接反映裂縫網(wǎng)絡(luò)的連接程度。在一個裂縫網(wǎng)絡(luò)中，I型節(jié)點占據(jù)主導地位時，CL→0；Y型節(jié)點主導時，CL→4；X型節(jié)點主導時，CL→∞。

X型和Y型節(jié)點作為分支的連接點，每個Y型節(jié)點同屬于3個分支，每個X型節(jié)點同屬于4個分支，由此可知分支的平均連接點數(shù)CB的關(guān)系式為：

(8)

結(jié)合式(6)、式(8)，得：

(9)

CB相較于CL來說，其使用價值更高，二者都能夠很好地反映裂縫網(wǎng)絡(luò)的連接程度，但CB分布更為集中、穩(wěn)定，實際應用中可操作性更強。當裂縫網(wǎng)絡(luò)由I型節(jié)點主導時，CB→0；由X型或Y型節(jié)點主導時，均有CB→2。

4 頁巖裂縫網(wǎng)絡(luò)的二維模擬分析

為了分析頁巖裂縫網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)特征，應用Matlab軟件編譯腳本文件，分析裂縫網(wǎng)絡(luò)的分形維數(shù)、組數(shù)及傾角對裂縫網(wǎng)絡(luò)節(jié)點、連通性的影響。在二維平面，單一裂縫受位置、長度、寬度和角度等參數(shù)影響，裂縫組受組數(shù)、初始數(shù)量、初始長度、分形維數(shù)等參數(shù)影響。其中，位置由隨機函數(shù)確定，長度及數(shù)量由分形函數(shù)確定(即式(3)、式(4))，具體模擬參數(shù)見表1。

表1 裂縫組的模擬參數(shù)Table 1 Simulation parameters for fracture clusters

利用表1中的數(shù)據(jù)繪制裂縫網(wǎng)絡(luò)二維分布圖，見圖4。

圖4 裂縫網(wǎng)絡(luò)分布Fig.4 Distribution of fracture networks

由圖4可知：單組裂縫時，裂縫尺寸越小，裂縫數(shù)量越多；裂縫組走向單一，連通性差，各向異性強；多組裂縫時，裂縫網(wǎng)絡(luò)連通性變好，獨立裂縫少，裂縫網(wǎng)絡(luò)的各向異性弱；隨著裂縫組數(shù)的增多，裂縫網(wǎng)絡(luò)分布越來越復雜。多組裂縫構(gòu)成的裂縫網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)與地層中天然裂縫網(wǎng)絡(luò)十分相似。

為進一步分析裂縫網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點特征，在圖4(b)、圖4(c)中繪制了I型、Y型和X型節(jié)點，結(jié)果分別見圖5、圖6。

由圖5、圖6可知：位置隨機的裂縫網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點主要為I型、X型節(jié)點，并無Y型節(jié)點，即裂縫網(wǎng)絡(luò)的連通性主要受X型節(jié)點的控制；隨著不平行裂縫組數(shù)的增加，裂縫網(wǎng)絡(luò)X型節(jié)點數(shù)量明顯增多；在2組或者3組裂縫中，都存在個別的獨立裂縫，即該裂縫沒有X型節(jié)點，這些獨立裂縫必須通過巖石的基質(zhì)孔隙才能與整個裂縫網(wǎng)絡(luò)連通；裂縫網(wǎng)絡(luò)的存在可有效地消除地層滲透率的各向異性。

圖5 2組裂縫的節(jié)點分布Fig.5 Distribution of nodes in two groups

圖6 3組裂縫的節(jié)點分布Fig.6 Distribution of nodes in three groups

5 頁巖裂縫網(wǎng)絡(luò)連通性影響因素分析

為系統(tǒng)了解頁巖裂縫網(wǎng)絡(luò)的連通性特征，進行了22組算例的數(shù)值模擬。為了保證每個算例中裂縫節(jié)點數(shù)據(jù)計算結(jié)果都穩(wěn)定，每個算例重復模擬50次。對不同計算結(jié)果進行統(tǒng)計、取平均值，最終形成圖表中的一個點。算例計算參數(shù)見表2。

表2 不同算例的模擬參數(shù)Table 2 Simulation parameters for different cases

根據(jù)計算結(jié)果，繪制2組與3組裂縫節(jié)點與分形維數(shù)的關(guān)系圖，見圖7。

圖7 分形維數(shù)對I型和X型節(jié)點的影響Fig.7 Impacts of fractal dimensions on I and X nodes

由圖7可知：位置隨機的裂縫組的節(jié)點主要為I型、X型節(jié)點，即裂縫網(wǎng)絡(luò)的連通性主要受X型節(jié)點的控制；I型節(jié)點數(shù)隨著分形維數(shù)的增大而增多，受裂縫個數(shù)的控制；X型節(jié)點數(shù)隨著分形維數(shù)的增大呈上下波動狀態(tài)，這說明在最大尺寸、初始裂縫個數(shù)和裂縫角度給定的情況下，裂縫組的連通性對分形維數(shù)不敏感，即整個裂縫網(wǎng)絡(luò)連通性隨分形維數(shù)變化比較穩(wěn)定；隨著裂縫組數(shù)的增加，裂縫X型節(jié)點的數(shù)量大幅度增加，即不平行的裂縫組數(shù)顯著提高了裂縫網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)連通性。

分形維數(shù)對裂縫和分支的平均連通性指數(shù)(連通性指數(shù)大，則連通性好；反之，則連通性不好)的影響分別如圖8、圖9所示。

圖8 分形維數(shù)對裂縫平均連通性的影響Fig.8 Impacts of fractal dimensions on average connectivity of fractures

圖9 分形維數(shù)對分支平均連通性的影響Fig.9 Impacts of fractal dimensions on branch average connectivity

由圖8、圖9可知：隨著分形維數(shù)增大，2組裂縫、3組裂縫的裂縫平均連通性指數(shù)均逐漸降低，這說明在最大尺寸、初始裂縫個數(shù)和裂縫角度給定的情況下，分形維數(shù)對裂縫網(wǎng)絡(luò)中裂縫和分支的平均連通性起負面影響；裂縫網(wǎng)絡(luò)的裂縫和分支平均連通性受組數(shù)影響明顯，且隨不平行的裂縫組數(shù)的增加而升高。

通過旋轉(zhuǎn)改變2組裂縫的交角(如圖10所示)，研究了裂縫組交角對平均連通性的影響，結(jié)果見圖11。

圖10 2組裂縫時1組裂縫旋轉(zhuǎn)示意Fig.10 Rotation diagram of one fracture group in two groups

圖11 裂縫組交角對平均連通性的影響Fig.11 Impacts of crossing angles of fractures on average connectivity

從圖10可以看出，第1組裂縫與水平方向的交角為45°，第2組裂縫從水平方向起逆時針從0°向90°旋轉(zhuǎn)。

由圖11可知：裂縫平均連通性指數(shù)和分支平均連通性指數(shù)隨著裂縫組交角的減小逐漸減小，隨著交角的增大而增大；在2組裂縫的交角為0°(第2組裂縫逆時針旋轉(zhuǎn)45°)時，2組裂縫平行，整個裂縫網(wǎng)絡(luò)的連通性指數(shù)為0。這說明，在裂縫尺寸分布、初始裂縫個數(shù)和分形維數(shù)一定的情況下，裂縫組的連通性對裂縫組的交角十分敏感。在裂縫組正交時，裂縫網(wǎng)絡(luò)的裂縫和分支的平均連通性指數(shù)均達到最大值，在2組裂縫平行時，裂縫組的裂縫和分支的平均連通性指數(shù)均達到最小值0。

通過旋轉(zhuǎn)改變3組裂縫的夾角(如圖12所示)，研究了裂縫組交角對平均連通性的影響，結(jié)果見圖13。

從圖12可以看出，第1組裂縫與水平方向的交角為0°，第2組裂縫與水平方向的交角為45°，第3組裂縫從水平方向起逆時針從0°向90°旋轉(zhuǎn)。

由圖13可知：在由3組裂縫構(gòu)成的裂縫網(wǎng)絡(luò)中，裂縫和分支的平均連通性指數(shù)均受裂縫組交角的變化影響；當?shù)?組裂縫從水平位置旋轉(zhuǎn)到第1

圖12 3組裂縫時1組裂縫旋轉(zhuǎn)示意Fig.12 Rotation diagram of one fracture group in three groups

圖13 裂縫組交角對連通性的影響Fig.13 Impacts of crossing angles of fractures on connectivity

組和第2組裂縫中間時，整個裂縫網(wǎng)絡(luò)的連通性指數(shù)達到階段最大值；繼續(xù)旋轉(zhuǎn)第3組裂縫，在遠離第1組裂縫又趨近平行第2組裂縫過程中，整個裂縫網(wǎng)絡(luò)的連通性指數(shù)呈減小趨勢；當?shù)?組裂縫旋轉(zhuǎn)到與水平方向成45°時，整個裂縫網(wǎng)絡(luò)的連通性指數(shù)達到最小值；繼續(xù)旋轉(zhuǎn)第3組裂縫，使其與第1組和第2組裂縫的交角都增大過程中，裂縫網(wǎng)絡(luò)的連通性指數(shù)呈增大趨勢；當?shù)?組裂縫與第1組或第2組裂縫垂直時，裂縫網(wǎng)絡(luò)的裂縫和分支的平均連通性指數(shù)均增大到某一最大值。

6 結(jié) 論

1) 建立了頁巖裂縫組分布的分形表征模型和裂縫網(wǎng)絡(luò)的拓撲表征模型，對頁巖裂縫網(wǎng)絡(luò)及連通性進行了分形分析。給出了不同參數(shù)下頁巖裂縫網(wǎng)絡(luò)分布的二維跡線圖及節(jié)點圖。研究結(jié)果表明，天然裂縫分布數(shù)量和發(fā)育程度受分形維數(shù)、組數(shù)和初始個數(shù)控制，隨分形維數(shù)的增大而增大。

2) 頁巖裂縫網(wǎng)絡(luò)中，在裂縫尺寸分布、初始裂縫個數(shù)、裂縫組數(shù)和裂縫組交角一定的情況下，裂縫網(wǎng)絡(luò)I型節(jié)點隨分形維數(shù)增大而增大。裂縫平均連通性和分支平均連通性隨分形維數(shù)的增大呈現(xiàn)降低趨勢。

3) 頁巖裂縫網(wǎng)絡(luò)中，在裂縫尺寸分布、初始裂縫個數(shù)和分形維數(shù)一定的情況下，裂縫平均連通性和分支平均連通性對裂縫組數(shù)、裂縫組交角等參數(shù)敏感，隨裂縫組數(shù)的增加而升高，隨裂縫組交角的增大而升高。

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