唐春杰+黃爽+唐展鴻

【摘要】通過(guò)對(duì)2016年遼寧省大連市中考數(shù)學(xué)第26題的解法探究、回顧與思考，啟示教師要善于以基本問題為載體，拓展綜合，培養(yǎng)學(xué)生基本的解題策略，基本的數(shù)學(xué)思想，基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，教會(huì)學(xué)生思考.

【關(guān)鍵詞】中考?jí)狠S題；解法探究；思考

2016年大連中考數(shù)學(xué)壓軸題既考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的理解與掌握，又關(guān)注了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的感悟情況，尤其突出考查了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和創(chuàng)新意識(shí).現(xiàn)將解法探究與有關(guān)思考整理成文與大家交流、分享.

一、試題呈現(xiàn)

題目 （2016年遼寧大連）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+14與y軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于原點(diǎn)A對(duì)稱.

（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)是；

（2）過(guò)點(diǎn)B的直線y=kx+b（其中k<0）與x軸相交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作直線l平行于y軸，P是直線l上一點(diǎn)，且PB=PC.求線段PB的長(zhǎng)（用含k的式子表示），并判斷點(diǎn)P是否在拋物線上，說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)C關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)C′恰好落在該拋物線的對(duì)稱軸上，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

二、解法探究

（一）基本套路是保證

解題過(guò)程實(shí)質(zhì)上是學(xué)生對(duì)自己的思維活動(dòng)進(jìn)行再組織、再加工，是一個(gè)極富有創(chuàng)造力的過(guò)程，重要的是根據(jù)題目的核心條件，推斷出哪些相關(guān)知識(shí)和結(jié)論，聯(lián)想到哪些基本圖形、策略辦法，最終解決問題.

本題（1）易求點(diǎn)B坐標(biāo)0，12.（2）求線段PC的長(zhǎng).學(xué)生根據(jù)題意畫出圖形后，能否聯(lián)想到基本圖形一或基本圖形二，成為解決本題的關(guān)鍵.可以說(shuō)，本題把基本的幾何圖形放在拋物線中，既考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，又考查了學(xué)生綜合運(yùn)用函數(shù)與幾何知識(shí)解決問題的能力，有較好區(qū)分度.（2）問題推陳出新，解法常規(guī)多樣，具體如下：

尋找相似構(gòu)方程：（如圖2所示）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC，則△PCD∽△CBO，因?yàn)镺B=12，OC=-12k，所以 BC=OB2+OC2=122+-12k2=-12kk2+1，所以CD=-14kk2+1；又因?yàn)镃DOB=PCBC，所以PB=PC=k2+14k2，所以點(diǎn)P-12k，k2+14k2，再把點(diǎn)P坐標(biāo)代入拋物線解析式驗(yàn)證即可.

（二）數(shù)形結(jié)合尋特殊角

分析（3）的條件，即把△PCB沿PB翻折，對(duì)稱點(diǎn)C′恰好落在y軸上，基本圖形做出后，由條件可知，PB就是角平分線，又由直線l∥y軸可證得四邊形BCPC′是菱形.（3）解法多樣，但利用平行線和軸對(duì)稱的性質(zhì)得到等邊三角形△PCB是關(guān)鍵，解題過(guò)程，異中見同，同中見異，充分考查了學(xué)生幾何直觀，邏輯推理能力及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，考查了學(xué)生基本的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、解法回顧

本題以拋物線為背景，充分體現(xiàn)函數(shù)與幾何的綜合，幾何中的重要內(nèi)容全等、相似、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、等腰三角形等在此題中均有呈現(xiàn)，說(shuō)明重要知識(shí)點(diǎn)在解決綜合問題時(shí)要重點(diǎn)考查.本題還從不同角度同時(shí)考查了用方程思想解決問題，用函數(shù)的解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)（含字母）、幾何直觀和數(shù)形結(jié)合，說(shuō)明重要的思想方法在中考中一定要重點(diǎn)考查.

四、思考與啟示

追本溯源，這里的“本”一是指本題源于教材，二是指本題以基本的幾何圖形為載體，考查學(xué)生基本的解題策略，三是指本題把幾何與函數(shù)綜合，考查了學(xué)生基本的數(shù)學(xué)思想，既符合考綱要求，又有新意，又接地氣，不會(huì)讓學(xué)生望而生畏.

思考：此題以教材素材（人教版教材54頁(yè)數(shù)學(xué)活動(dòng)2）為原型，把基本的幾何圖形與二次函數(shù)綜合，推陳出新，創(chuàng)新求變，既考查了學(xué)生模型思想，又考查了學(xué)生基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和探究能力，研究思路是畫出圖形—觀察思考—構(gòu)造基本圖形—探究方法.本題將幾何圖形變換融入其中，讓人耳目一新，改編得鮮活，數(shù)學(xué)抽象（用字母k表示線段長(zhǎng)）、邏輯推理（證明四邊形是菱形）、轉(zhuǎn)化（求坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求解直角三角形）、方程思想（勾股定理建立方程）綜合運(yùn)用，讓問題變得深刻.所以，改編后的試題推陳出新，因變而新，因變而活，因變而深，數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、分類思想融入其中，起到了評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

啟示：每一道中考試題都凝聚著命題專家們智慧的結(jié)晶，如何將其功效更大地發(fā)揮，是教師需要研究和思考的問題.

反思解題探究，筆者深刻體會(huì)到，教師要關(guān)注本質(zhì)，積淀方法.解題探究重在培養(yǎng)思維能力，尋找解題策略及方法的核心本質(zhì)，所以教師的探究能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)直接影響到學(xué)生，教師在日常教學(xué)中一定要躍出經(jīng)驗(yàn)和常識(shí)的層面，從試題中領(lǐng)悟需要讓學(xué)生學(xué)習(xí)什么——學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)解題策略；學(xué)到什么程度——會(huì)抽象、會(huì)建模、會(huì)思考；怎樣才能學(xué)會(huì)——問題驅(qū)動(dòng)、依托基本、拓展綜合、層層訓(xùn)練、抓住本質(zhì).

總之，學(xué)生的解題成功，不在于想到什么，而在于怎么想到什么.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]吳增生.用數(shù)學(xué)思想提高試題的立意[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2016（9）：52-56.endprint