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      推陳出新 追本溯源

      2018-01-15 12:12唐春杰黃爽唐展鴻
      關(guān)鍵詞:思考

      唐春杰+黃爽+唐展鴻

      【摘要】通過(guò)對(duì)2016年遼寧省大連市中考數(shù)學(xué)第26題的解法探究、回顧與思考,啟示教師要善于以基本問題為載體,拓展綜合,培養(yǎng)學(xué)生基本的解題策略,基本的數(shù)學(xué)思想,基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),教會(huì)學(xué)生思考.

      【關(guān)鍵詞】中考?jí)狠S題;解法探究;思考

      2016年大連中考數(shù)學(xué)壓軸題既考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的理解與掌握,又關(guān)注了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的感悟情況,尤其突出考查了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和創(chuàng)新意識(shí).現(xiàn)將解法探究與有關(guān)思考整理成文與大家交流、分享.

      一、試題呈現(xiàn)

      題目 (2016年遼寧大連)如圖1所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2+14與y軸相交于點(diǎn)A,點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于原點(diǎn)A對(duì)稱.

      (1)填空:點(diǎn)B的坐標(biāo)是;

      (2)過(guò)點(diǎn)B的直線y=kx+b(其中k<0)與x軸相交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作直線l平行于y軸,P是直線l上一點(diǎn),且PB=PC.求線段PB的長(zhǎng)(用含k的式子表示),并判斷點(diǎn)P是否在拋物線上,說(shuō)明理由;

      (3)在(2)的條件下,若點(diǎn)C關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)C′恰好落在該拋物線的對(duì)稱軸上,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

      二、解法探究

      (一)基本套路是保證

      解題過(guò)程實(shí)質(zhì)上是學(xué)生對(duì)自己的思維活動(dòng)進(jìn)行再組織、再加工,是一個(gè)極富有創(chuàng)造力的過(guò)程,重要的是根據(jù)題目的核心條件,推斷出哪些相關(guān)知識(shí)和結(jié)論,聯(lián)想到哪些基本圖形、策略辦法,最終解決問題.

      本題(1)易求點(diǎn)B坐標(biāo)0,12.(2)求線段PC的長(zhǎng).學(xué)生根據(jù)題意畫出圖形后,能否聯(lián)想到基本圖形一或基本圖形二,成為解決本題的關(guān)鍵.可以說(shuō),本題把基本的幾何圖形放在拋物線中,既考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,又考查了學(xué)生綜合運(yùn)用函數(shù)與幾何知識(shí)解決問題的能力,有較好區(qū)分度.(2)問題推陳出新,解法常規(guī)多樣,具體如下:

      尋找相似構(gòu)方程:(如圖2所示)過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC,則△PCD∽△CBO,因?yàn)镺B=12,OC=-12k,所以 BC=OB2+OC2=122+-12k2=-12kk2+1,所以CD=-14kk2+1;又因?yàn)镃DOB=PCBC,所以PB=PC=k2+14k2,所以點(diǎn)P-12k,k2+14k2,再把點(diǎn)P坐標(biāo)代入拋物線解析式驗(yàn)證即可.

      (二)數(shù)形結(jié)合尋特殊角

      分析(3)的條件,即把△PCB沿PB翻折,對(duì)稱點(diǎn)C′恰好落在y軸上,基本圖形做出后,由條件可知,PB就是角平分線,又由直線l∥y軸可證得四邊形BCPC′是菱形.(3)解法多樣,但利用平行線和軸對(duì)稱的性質(zhì)得到等邊三角形△PCB是關(guān)鍵,解題過(guò)程,異中見同,同中見異,充分考查了學(xué)生幾何直觀,邏輯推理能力及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想,考查了學(xué)生基本的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

      三、解法回顧

      本題以拋物線為背景,充分體現(xiàn)函數(shù)與幾何的綜合,幾何中的重要內(nèi)容全等、相似、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、等腰三角形等在此題中均有呈現(xiàn),說(shuō)明重要知識(shí)點(diǎn)在解決綜合問題時(shí)要重點(diǎn)考查.本題還從不同角度同時(shí)考查了用方程思想解決問題,用函數(shù)的解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)(含字母)、幾何直觀和數(shù)形結(jié)合,說(shuō)明重要的思想方法在中考中一定要重點(diǎn)考查.

      四、思考與啟示

      追本溯源,這里的“本”一是指本題源于教材,二是指本題以基本的幾何圖形為載體,考查學(xué)生基本的解題策略,三是指本題把幾何與函數(shù)綜合,考查了學(xué)生基本的數(shù)學(xué)思想,既符合考綱要求,又有新意,又接地氣,不會(huì)讓學(xué)生望而生畏.

      思考:此題以教材素材(人教版教材54頁(yè)數(shù)學(xué)活動(dòng)2)為原型,把基本的幾何圖形與二次函數(shù)綜合,推陳出新,創(chuàng)新求變,既考查了學(xué)生模型思想,又考查了學(xué)生基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和探究能力,研究思路是畫出圖形—觀察思考—構(gòu)造基本圖形—探究方法.本題將幾何圖形變換融入其中,讓人耳目一新,改編得鮮活,數(shù)學(xué)抽象(用字母k表示線段長(zhǎng))、邏輯推理(證明四邊形是菱形)、轉(zhuǎn)化(求坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求解直角三角形)、方程思想(勾股定理建立方程)綜合運(yùn)用,讓問題變得深刻.所以,改編后的試題推陳出新,因變而新,因變而活,因變而深,數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、分類思想融入其中,起到了評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

      啟示:每一道中考試題都凝聚著命題專家們智慧的結(jié)晶,如何將其功效更大地發(fā)揮,是教師需要研究和思考的問題.

      反思解題探究,筆者深刻體會(huì)到,教師要關(guān)注本質(zhì),積淀方法.解題探究重在培養(yǎng)思維能力,尋找解題策略及方法的核心本質(zhì),所以教師的探究能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)直接影響到學(xué)生,教師在日常教學(xué)中一定要躍出經(jīng)驗(yàn)和常識(shí)的層面,從試題中領(lǐng)悟需要讓學(xué)生學(xué)習(xí)什么——學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),學(xué)解題策略;學(xué)到什么程度——會(huì)抽象、會(huì)建模、會(huì)思考;怎樣才能學(xué)會(huì)——問題驅(qū)動(dòng)、依托基本、拓展綜合、層層訓(xùn)練、抓住本質(zhì).

      總之,學(xué)生的解題成功,不在于想到什么,而在于怎么想到什么.

      【參考文獻(xiàn)】

      [1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

      [2]吳增生.用數(shù)學(xué)思想提高試題的立意[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育(初中版),2016(9):52-56.endprint

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