李微哲　婁平

摘要：

給出了小剪切變形下的基樁PΔ效應(yīng)和大剪切變形下支座PΔ效應(yīng)計算的桿單元剛度矩陣方程。假定桿單元彎曲變形位移函數(shù)為三次冪函數(shù)，剪切變形函數(shù)為線性函數(shù)，根據(jù)有限元法一般原理，推導(dǎo)了一種同時計入豎向力徑向剪切分力剪切變形和水平力剪切變形的PΔ效應(yīng)桿單元剛度方程，推導(dǎo)了一種僅計入豎向力徑向剪切分力剪切變形而忽略水平力剪切變形的PΔ效應(yīng)桿單元剛度方程，推導(dǎo)了一種僅計入水平力剪切變形而忽略豎向力徑向剪切分力剪切變形的PΔ效應(yīng)桿單元剛度方程。計入水平力剪切變形而忽略豎向力徑向剪切分力剪切變形的PΔ效應(yīng)桿單元可良好的模擬支座在大剪切變形下的偏心工作特性，能實時計入其偏心彎矩影響，為實時計入支座偏心特性的結(jié)構(gòu)動靜力分析提供了理論支撐。最后通過自編MATLAB程序進(jìn)行算例分析，結(jié)果表明，計入支座大剪切變下的PΔ效應(yīng)后，基樁內(nèi)力位移和地基土壓力均顯著增大?；鶚蹲陨砑羟凶冃螌渡韮?nèi)力位移和地基土壓力影響較小，可以忽略。

關(guān)鍵詞：基樁；支座；水平力剪切變形；豎向力徑向剪切分力；PΔ效應(yīng)；有限桿單元法

中圖分類號：TU470

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：16744764（2016）06006210

Abstract：Finite pole element method is presented for PΔ effect analysis of pile and bearing while shear deformation is well considered. It is assumed that horizontal displacement of the pole element has a longitudinally cubic power function and the shear displacement has a longitudinally linear function， the PΔ effect pole element rigid equation considering the shear deformation produced by lateral load and the radial component of vertical load， is derived. The PΔ effect pole element rigid equation considering the shear deformation only produced by lateral load is derived in the paper. The PΔ effect pole element rigid equation considering the shear deformation only produced by the radial component of vertical load， is derived in the paper. And the PΔ effect pole element considering the shear deformation only produced by lateral load can simulate the bearing working eccentrically well in realtime. Matlab process of finite pole element method for PΔ effect analysis of pile and bearing is edited， and case analysis is done， and the theory and the method is proved good. Finally conclusions are drawn as follows： （i） the PΔ effect analysis result of pile will increase obviously while the eccentric bending moment of the bearing is well considered； （ii） the deformation has little effect on the PΔ effect analysis result of the pile and bearing.

Keywords：

pile； bearing； lateral shear deformation； radial component of vertical load； PΔ effect； finite pole element method

傾斜荷載下的基樁，不僅水平力產(chǎn)生剪切變形，豎向力因轉(zhuǎn)角產(chǎn)生徑向剪切分力也將產(chǎn)生剪切變形。樁頂支座大剪切變形下的PΔ效應(yīng)極顯著，不容忽略。目前，計入剪切變形的基樁PΔ效應(yīng)計算的有桿單元法尚似未見報道。而彈簧、剛臂或等效偏心彎矩均難實時模擬支座大剪切變形下的PΔ效應(yīng)。因此研究計入小剪切變形下的基樁PΔ效應(yīng)和大剪切變形下支座PΔ效應(yīng)計算方法具有實際意義。

目前基樁PΔ效應(yīng)計算分析方法較多，可分為解析解法和有限元法兩大類。線彈性土中基樁PΔ效應(yīng)靜力計算解析解，主要有m法假定的冪級數(shù)解[1]，C法（張氏法）假定的解析解[23]，以及 （mz+C）法假定的冪級數(shù)解[4]。隨后欒魯寶等[5]給出了粘彈性土中考慮PΔ效應(yīng)時基樁水平振動的解析解答。趙明華等[6]提出應(yīng)用有限元-有限層法進(jìn)行基樁PΔ效應(yīng)計算。在有限桿元法中，通過附加幾何剛度矩陣來考慮PΔ效應(yīng)。常用的桿單元幾何剛度矩陣為線性近似的幾何剛度矩陣或一致幾何剛度矩陣。但因假定和推導(dǎo)過程差異，幾何剛度矩陣形式較多。王用中等 [7]、趙明華等[8，10]、夏擁軍等[9]均給出了不同形式的PΔ效應(yīng)桿單元剛度矩陣方程。梁仁杰等[11]提出用白噪聲掃描的手段，結(jié)合數(shù)值計算的方法，求解結(jié)構(gòu)考慮 PΔ 效應(yīng)時的模態(tài)參數(shù)，并研究了PΔ 效應(yīng)對結(jié)構(gòu)動力特性影響。李剛等[12]應(yīng)用有限桿單元法對結(jié)構(gòu)PΔ效應(yīng)動力分析，認(rèn)為PΔ效應(yīng)將降低結(jié)構(gòu)抗震能力。耿江瑋等[13]對考慮材料非線性和PΔ效應(yīng)的非規(guī)則連續(xù)梁橋進(jìn)行地震反應(yīng)分析，魏標(biāo)等[14]重點研究了支座布置對不等高墩非規(guī)則連續(xù)梁橋地震響應(yīng)的影響，張志俊等[15]進(jìn)行了彈性支座對橋梁車致振動的隔振效果研究，以上學(xué)者均用彈簧或彈簧阻尼單元模擬橋梁支座，忽略了支座的偏心彎矩效應(yīng)。馬長飛等[16]、劉彥輝等[17]通過構(gòu)造水平力偶代替支座偏心彎矩，應(yīng)用有限桿單元法對上下部結(jié)構(gòu)和隔震支座進(jìn)行了地震反應(yīng)分析，雖考了了支座偏心彎矩效應(yīng)，但求解較復(fù)雜，通用性不足。孟凡濤等[18]綜合考慮剪切變形和梁柱節(jié)點連接半剛性影響的基礎(chǔ)上，給出了框架柱的抗側(cè)移剛度公式，認(rèn)為剪切變形對框架結(jié)構(gòu)的 PΔ 效應(yīng)影響顯著，已超出工程上可接受的 5%的誤差范圍。endprint

本文將假定桿單元剪切變形和彎曲變形的位移模式，推導(dǎo)小剪切變形下的PΔ效應(yīng)桿單元剛度方程，用以計算樁身剪切變形影響；推導(dǎo)大剪切變形下的PΔ效應(yīng)的桿單元剛度方程，用以計算支座大剪切變形下的PΔ效應(yīng)。

1計入剪切變形的PΔ效應(yīng)桿單元

為推導(dǎo)計入了剪切變形和PΔ效應(yīng)的桿單元剛度方程，假定彎曲變形產(chǎn)生的水平位移為三次冪函數(shù)，剪切變形產(chǎn)生的水平位移為線性函數(shù)。

1.1PΔ效應(yīng)桿單元受力平衡微分方程

假定PΔ效應(yīng)桿單元為彈性體，單元受力如圖1所示。

式（43）～（45）分別由式（35）～（37）演化而來，主要是在反算單元節(jié)點剪力時已計入了小變形情況下豎向力因傾角而產(chǎn)生的徑向剪切分力。式（43）～（45）的剪力項分別減去式（35）～（37）對應(yīng)的剪力項即可得豎向力因傾角而產(chǎn)生的徑向剪切分力。

1.7支座等大剪切變形構(gòu)件PΔ效應(yīng)計算

工程中大部分構(gòu)件剪切變形影響很小而可以忽略。但如支座等大剪切變形構(gòu)件，豎向力產(chǎn)生的偏心彎矩十分顯著，而剛臂或彈簧均不能實時模擬支座的偏心彎矩效應(yīng)。支座發(fā)生大剪切變形時，本文豎向力徑向剪切分力近似計算公式不再適用。但是僅計入水平力剪切變形時的PΔ效應(yīng)桿單元剛度方程式（36）卻能很好地反映支座的工作性能，可以很好地計入豎向力在因支座大剪切變形而產(chǎn)生的偏心彎矩影響，即支座的PΔ效應(yīng)。

2支座PΔ效應(yīng)算例一

某支座高h(yuǎn)=0.3 m，直徑d=850 mm，剪切模量G=2 MPa，抗壓彈性模量E=5 000 MPa，豎向力FN= 15 000 kN，水平力FH=180 kN。

支座受力如圖2，支座頂水平位移由剪切變形Vs和彎曲變形Vm組成，但剪切變形遠(yuǎn)大于彎曲變形，且與支座高度h同數(shù)量級，為典型的大剪切變形構(gòu)件；支座底部總彎矩由豎向力偏心彎矩和水平力矩組成，豎向力偏心彎矩往往極顯著，且遠(yuǎn)大于水平力矩。支座偏心受壓后其豎向抗壓剛度會隨之變化，其彎曲變形會出現(xiàn)一定的非線性，本文暫時忽略此影響，并假定其抗壓彈模不變。

因此，支座PΔ效應(yīng)對基樁內(nèi)力位移影響顯著，應(yīng)該考慮；而剪切變形對樁身內(nèi)力位移影響極小，則可忽略。

支座偏心彎矩效應(yīng)也可以通過水平力作用在支座的剪切變形乘以豎向力近似求得，并將此偏心彎矩加載至基樁頂，即可在基樁PΔ效應(yīng)計算時等效考慮支座的影響。但在上下部結(jié)構(gòu)、支座和地基共同作用時，支座的偏心彎矩效應(yīng)很難用等效彎矩進(jìn)行實時模擬。因此，提出的計入水平力剪切變形時的PΔ效應(yīng)桿單元剛度方程式（35）能很好地反映支座的偏心工作特性，為上下部結(jié)構(gòu)共同作用的關(guān)鍵銜接構(gòu)件——支座提供了理論支撐。

4結(jié)論

假定桿單元位彎曲變形移函數(shù)為三次冪函數(shù)，剪切變形位移函數(shù)為線性函數(shù)，根據(jù)有限元一般原理，導(dǎo)出了考慮了PΔ效應(yīng)、水平力剪切變形、豎向力徑向剪切分力剪切變形的桿單元的剛度方程，通過算例分析，主要結(jié)論如下：

1）推導(dǎo)了同時考慮水平力剪切變形、豎向力徑向剪切分力剪切變形和PΔ效應(yīng)的桿單元剛度矩陣方程；推導(dǎo)了僅計入水平力剪切變形而忽略豎向力徑向剪切分力剪切變形時的PΔ效應(yīng)桿單元剛度矩陣方程；推導(dǎo)了僅計入豎向力徑向剪切分力剪切變形而忽略水平力剪切變形時的PΔ效應(yīng)桿單元剛度矩陣方程，進(jìn)一步完善了PΔ效應(yīng)桿單元理論。

2）僅計入水平力剪切變形而忽略豎向力徑向剪切分力剪切變形時的PΔ效應(yīng)桿單元能很好地反映支座大剪切變形的偏心工作特性，為上下部結(jié)構(gòu)共同作用動靜力分析的關(guān)鍵銜接構(gòu)件——支座提供了理論支撐。

3）支座和基樁共同作用的PΔ效應(yīng)分析表明，在水平力作用下，支座大剪切變形下的PΔ效應(yīng)將使基樁內(nèi)力位移和樁側(cè)土壓力顯著增大，并進(jìn)一步削弱支座和墩臺綜合水平剛度，基樁PΔ效應(yīng)分析、墩臺水平力分配時應(yīng)予以考慮。

4）基樁自身剪切變形對基樁PΔ效應(yīng)影響極小，可以忽略。

參考文獻(xiàn)：

[1]

趙明華.軸向和橫向荷載同時作用下的樁的計算[J].湖南大學(xué)學(xué)報，1987，14（2）：6881.

ZHAO M H. The calculation of piles under simultaneous axial and lateral loading [J]. Journal of Hunan University， 1987， 14（2）：6881.

[2] 橫山興滿.樁結(jié)構(gòu)物的計算方法和計算實例[M]. 唐業(yè)清，吳慶蓀.譯.北京：人民交通出版社，1981.

YOKOYAMA.Calculation method and cases of pile foundation [M]. Translated by Tang Yeqing & Wu Yisun. Beijing . China communication press， 1981. （in Chinese）

[3] 李微哲，趙明華，單遠(yuǎn)銘，等. 傾斜偏心荷載下基樁內(nèi)力位移分析[J].中南公路工程，2005， 30（3） ： 5357.

LI W Z， ZHAO M H， SHAN Y M， et al. Analysis of single pile under eccentric and inclined loading [J]. General South Highway Engineering， 2005， 30（3）： 5356.

[4] 趙明華，徐卓君，馬繽輝，等.傾斜荷載下基樁C法的冪級數(shù)解[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012，39（3）：15.

ZHAO M H， XU Z J， MA B H，et al.Power series solution for pile based on Cmethod under inclined loads [J].Journal of Hunan University（Naturnal Science）， 2012， 39（3）：15.endprint

[5] 欒魯寶，丁選民，周仕禮，等.考慮豎向荷載的樁基水平振動響應(yīng)的解析解[J].建筑結(jié)構(gòu)， 2015， 45（19）：8086.

LUAN L B， DING X M， ZHOU S L，et al. Analytical solution of lateral vibration of a axial loaded pile [J]. Building Structure， 2015， 45（19）：8086.

[6] 趙明華，鄒新軍，鄒銀生，等.傾斜荷載下基樁的改進(jìn)有限元有限層分析方法[J].工程力學(xué)， 2004， 21（3）：129133.

ZHAO M H， ZOU X J， ZOU Y S，et al. Behavior of piles under inclined loads by the improved finite elementfinite layer method [J]. Engineering Mechanics， 2004， 21（3）：129133.

[7] 王用中，張河水. 彈性地基梁的壓彎計算及其應(yīng)用[J].橋梁建設(shè)，1985，14（4）：3052.

WANG Y Z， ZHANG H S. Bending calculation of elastic foundation beam and its application [J]. Bridge Construction ，1985，14（4）：30～52.（in Chinese）

[8] 趙明華，李微哲，曹文貴. 復(fù)雜荷載及邊界條件下基樁有限桿單元方法研究[J]. 巖土工程學(xué)報，2006，28（9）：10591064.

ZHAO M H， LI W Z， CAO W G. Study on applying finite pole element method to analysis of piles under complex loads with different boundary restraints [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2006，28（9）： 10591064.

[9] 夏擁軍，陸念力.梁桿結(jié)構(gòu)二階效應(yīng)分析的一種新型梁單元[J]. 工程力學(xué)，2007，24（7）：3943.

XIA Y J， LU N N. A new beam element for secondorder effect analysis of beam structures [J]. Engineering Mechanics， 2007，24（7）：3943.

[10] 趙明華，李微哲，單遠(yuǎn)銘，等.成層地基中傾斜荷載樁改進(jìn)有限桿單元法研究[J].工程力學(xué)，2008，25（5）：7985.

ZHAO M H， LI W Z， SHAN Y M， et al. Behavior analysis of piles in layered clays under eccentric and inclined loads by improved finite pole element method[J]. Engineering Mechanics，2008， 28（5）： 7985.

[11] 梁仁杰，吳京，何婧，等.PΔ效應(yīng)對結(jié)構(gòu)動力特性的影響[J]. 土木工程學(xué)報，2013，46（Sup2）： 6872.

LIANG R J， WU J， HE J，et al. Influence of PΔ effect on dynamic characteristic of structure [J]. China Civil Engineering Journal， 2013， 46（Sup2）：6872.

[12] 李剛，江義.考慮PΔ效應(yīng)和自適應(yīng)模態(tài)側(cè)力分布的結(jié)構(gòu)抗震能力評估[J].大連理工大學(xué)學(xué)報，2013， 53（1）：411.

LI G， JIANG Y. Evaluation of seismic capacity of structures considering PΔ effects and adaptive modal lateral load distribution [J]. Journal of Dalian University of Technology， 2013， 53（1）：411.

[13] 耿江瑋，朱東生，向中富，等.非規(guī)則連續(xù)梁橋非線性地震反應(yīng)分析[J].重慶交通大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2011， 30（2）：185189， 281.

GENG J W， ZHU D S， XIANG Z F，et al. Nonlinear seismic response analysis of irregular continuous bridge [J]. Journal of Chongqing Jiaotong University （Natural Science）， 2011， 30（2）：185189， 281.

[14] 魏標(biāo)，崔睿博，戴公連，等.橡膠支座對非規(guī)則連續(xù)梁橋地震反應(yīng)的影響[J].中國公路學(xué)報， 2013，26（6）： 110117.

WEI B， CUI R B， DAI G L， et al. Impact of laminated rubber bearings on seismic response of irregular continuous bridges [J]. China Journal of Highway and Transport， 2013，26（6）： 110117.endprint

[15] 張志俊，李小珍，張迅，等. 彈性支座對橋梁車致振動的隔振效果研究[J].工程力學(xué)， 2015， 32（4）：103111.

ZHANG Z J， LI X Z， ZHANG X， et al. Study on the vibrationisolation effects of elastic bearings on traininduced vibration of railway bridge [J]. Engineering Mechanics， 2015， 32（4）：103111.

[16] 馬長飛，譚平，張亞輝，等.考慮 PΔ效應(yīng)的柱頂隔震結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)分析[J].土木工程學(xué)報， 2010，43（Sup1）：230234.

MA C F， TAN P， ZHANG Y H.Dynamic responses analysis of structures with isolators on the top of the columns considering PΔ effects [J]. China Civil Engineering Journal， 2010，43（Sup1）：230234.

[17] 劉彥輝，周福霖，譚平，等. 考慮隔震支座轉(zhuǎn)動及PΔ效應(yīng)的串聯(lián)隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)研究[J].土木工程學(xué)報，2015，48（9）：6066.

LIU Y H， ZHOU F L， TAN P，et al. Study of dynamic response of serially isolated structure considering PΔ effect and rotation of bearings [J]. China Civil Engineering Journal. 2015， 48（9）：6066.

[18] 孟凡濤，張玉明，阮興群.考慮剪切變形的半剛性連接鋼框架PΔ效應(yīng)研究[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報， 2013， 30（1）：136140.

MENG F T， ZHANG Y M， RUAN X Q. PΔ effects analysis of steel frame with semirigid connection and shear deformation [J]. Chinese Journal of Applied Mechanics， 2013， 30（1）：136140.

（編輯胡玲）endprint