吳君欽+李寧+王加莉

摘 要： 對于MIMO?OFDM系統(tǒng)信道估計的研究在國內(nèi)外已經(jīng)取得了一定的成果，其中采用CoSaMP算法進行信道估計時支撐候選集的選擇尤為重要。采用CoSaMP算法對MIMO?OFDM信道進行估計，并在此基礎(chǔ)上引入原子弱選擇標(biāo)準對候選集進行更進一步的優(yōu)化，使改進后的CoSaMP算法在達到自適應(yīng)的同時提高運算速率，達到信道估計算法自適應(yīng)的目的。實驗結(jié)果表明，對CoSaMP算法的候選集選擇添加閾值后進行重構(gòu)信號時復(fù)雜度降低，提高了運算速率，同時均方根誤差較CoSaMP算法和OMP算法都有一定的提高。

關(guān)鍵詞： 信道估計； 壓縮感知； MIMO?OFDM； 原子弱選擇； CoSaMP算法； OMP算法

中圖分類號： TN92?34 文獻標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2018）01?0009?04

Abstract： The study on channel estimation of MIMO?OFDM system has gotten a certain achievement at home and abroad， in which it is particularly important for channel estimation to use the CoSaMP algorithm to support candidate set selection. The CoSaMP algorithm is adopted for estimation of the MIMO?OFDM channel. And on this basis， the atomic weak selection criteria is introduced to optimize the candidate set further， which can improve the computing speed while making the improved CoSaMP algorithm realize self?adaptation. The experimental results show that the improved CoSaMP algorithm can reduce the complexity of signal reconstruction while the threshold is selected and added into the candidate set of the algorithm and improve the computing speed， and its root?mean?square error is better than that of the CoSaMP algorithm and OMP algorithm.

Keywords： channel estimation； compressed sensing； MIMO?OFDM； atomic weak selection； CoSaMP algorithm； OMP algorithm

0 引 言

正交頻分復(fù)用（OFDM）技術(shù)在無線通信傳輸中的運用提高了無線傳輸效率。與多輸入多輸出（MIMO）技術(shù)相結(jié)合，能提高系統(tǒng)的通信質(zhì)量和系統(tǒng)容量[1]。在現(xiàn)有的無線通信環(huán)境中，無線頻譜資源相當(dāng)匱乏，MIMO?OFDM系統(tǒng)能有效提高資源利用率和對抗信號頻率的選擇性衰落。信號在傳輸過程中會產(chǎn)生符號間干擾（Inter Symbol Interference，ISI），因此，要對信道的狀態(tài)信息進行估計，從而減少符號間的干擾，提高傳輸質(zhì)量，發(fā)揮其優(yōu)越性[2]。傳統(tǒng)的信道估計算法沒有充分考慮信號的特性，文獻[3]對信道頻域自相關(guān)矩陣采用矩陣低秩逼近得到信道響應(yīng)，該算法對精度有一定的提高，但是運算量較大，存在一定的復(fù)雜度問題，現(xiàn)實中運用存在一定的難度。近年來實驗研究表明，信號在傳輸過程中大多數(shù)能量主要集中在少數(shù)幾個信道路徑上，體現(xiàn)信號的傳輸具有稀疏性[4]。根據(jù)信號的這一先驗知識，DL Donoho等人在2006年提出了壓縮感知（Compressed Sensing，CS）[5]技術(shù)，極大地提高了信道估計的速率和精確度。壓縮感知技術(shù)的提出和證明，隨即在生物傳感、圖像處理、信號處理等領(lǐng)域取得了一定的研究成果。文獻[6]采用匹配追蹤算法（MP），相比于傳統(tǒng)利用最小二乘估計算法（LS）信道估計復(fù)雜度降低，以較少的導(dǎo)頻達到較高的信道恢復(fù)效果。文獻[7]運用正交匹配追蹤算法（OMP）對OFDM系統(tǒng)進行信道估計，仿真結(jié)果顯示具有很好的效果，但是存在復(fù)雜度的問題，并且需要稀疏度已知。

本文在匹配追蹤算法的基礎(chǔ)上進行優(yōu)化，并通過系統(tǒng)仿真證明，利用CoSaMP算法對MIMO?OFDM系統(tǒng)進行信道估計，在保證精確的基礎(chǔ)上，算法的運算速率還有一定的提升空間。

1 MIMO?OFDM系統(tǒng)原理

假設(shè)MIMO?OFDM系統(tǒng)在發(fā)射端有[Nt]根天線，在接收端有[Nr]根天線，子載波個數(shù)為[K。]將發(fā)送的數(shù)據(jù)[X]分成[Nt]個數(shù)據(jù)塊[Xi，]其中[i=1，2，…，Nt，]原理圖如圖1所示。信道參數(shù)為選擇性衰落信道，并且該信道滿足壓縮感知的稀疏性，且稀疏信道的相干時間遠大于OFDM的符號周期。則第[m]根發(fā)送天線與第[n]根接收天線之間的響應(yīng)為：

[hnm=i=0N-1hnmiδτ-τi] （1）

式中：[N]為信道的多徑數(shù)；[hnm]為第[i]徑的復(fù)增益；[τi]為第[i]徑的時延。其在子載波[k]處的頻域信道響應(yīng)為：

[Hnmk=t=0N-1hnmtWktK] （2）

式中[WktK=exp-2πjktK。]

對發(fā)射端的數(shù)據(jù)塊[Xi]分別進行IFFT變換，然后插入循環(huán)前綴（Cyclic Prefix，CP），其中假設(shè)循環(huán)長度要大于最大的路徑時延，這樣就可以忽略系統(tǒng)的載波間干擾和符號間干擾。最后進行并/串轉(zhuǎn)換后通過天線進行無線傳輸。在接收端，接收天線對數(shù)據(jù)進行發(fā)送前的逆處理得到輸出信號。假設(shè)OFDM系統(tǒng)采取[N]點傅里葉變換，系統(tǒng)中有[P]個導(dǎo)頻信號分別位于子載波[k1，k2，…，kp]上，用于信道估計。則在第[n]根接收天線接收到的信號表示為：endprint

[ynk=m=1NtHnmkXmk+Znk] （3）

式中：[ynk]和[Xmk]為第[n]根接收天線和第[m]根發(fā)送天線在第[k]個子載波上接收和發(fā)送的信號；[Hnmk]為第[m]根天線與第[n]根天線在[k]上的頻域沖擊響應(yīng)。

由式（3）可知，第[n]根天線上接收的導(dǎo)頻信號表示為：

[yn=m=1NtdiagXmHnm+Zn] （4）

式中：[yn=ynk1，ynk2，…，ynkpT]為第[n]根天線接收到的導(dǎo)頻信號；[Xm=Xmk1，Xmk2，…，Xmkp]為第[m]根天線發(fā)送的導(dǎo)頻信號；[Zn]是均值為零，方差為[σ2n]的高斯白噪聲；[Hnm=Hnmk1，Hnmk2，…，Hnmkp]代表第[m]根天線與第[n]根天線間的信道頻域沖擊響應(yīng)。令[F]為傅里葉變換矩陣：

[F=1KW00KW01K…W0K-1KW10KW11K…W1K-1K????WK-10KWK-11K…WK-1K-1K] （5）

則式（4）可以表示為：

[yn=m=1NtdiagXmFLhnm+Zn] （6）

令[hn=hTn1，hTn2，…，hTNNtT]為[NtN×1]的列向量；[X=diagx1FN，diagx2FN，…，diagxNtFN]為[P×NtN]維矩陣，則式（6）為：

[yn=Xhn+Zn] （7）

式（7）為MIMO?OFDM系統(tǒng)模型，可以表示為：

[y=Xh+Z] （8）

2 壓縮感知

2.1 壓縮感知綜述

壓縮感知的提出突破了信號處理對于奈奎斯特抽樣定理的限定，其原理是利用非線性優(yōu)化從線性觀測中恢復(fù)逼近出原始信號。該方法對稀疏信號能以較低的采樣頻率采樣，并在接收端轉(zhuǎn)化為求解最優(yōu)化的問題，能達到壓縮的目的，從而提高資源利用率。由式（8）知壓縮感知觀測恢復(fù)模型為：[y=Xh+Z。]式中，[X]為[M×N]維測量矩陣（[M?N]），[Z]為隨機高斯白噪聲，其中假設(shè)一個有限長信號[h，][h∈RN×1，][h]在某個變換域[ψ]上是稀疏的，信號[h]可表示為：

[h=i=1Nθiψi 或 h=ψθ] （9）

并且這里要求[X]滿足“限制等距特性（RIP）”[8]，測量矩陣[X]與[K]稀疏信號[h]和常數(shù)[δK∈（0，1）]滿足[K]階約束等距性，即：

[1-δKh22≤Xh22≤1+δKh22] （10）

式中[h22=i=1Nhi2]表示矢量信號[h]的2階范數(shù)。

本文采取隨機高斯矩陣作為觀測矩陣[Φ，]理論證明當(dāng)[M≥cKlogNK]時高斯矩陣在很大概率下具有RIP性質(zhì)[9]，且隨機高斯矩陣與大多數(shù)矩陣具有很好的不相關(guān)性。對于接收端接收到的觀測值[y，]通過轉(zhuǎn)化為求解一個最優(yōu)[l0]范數(shù)問題來重構(gòu)原始信號。

[minψTX0s.t. ACSX≈?ψTX=Y] （11）

本文采用貪婪算法對觀測信號進行估計，通過每次迭代過程選出一個或多個最優(yōu)解來逐步逼近，達到最大限度恢復(fù)出原始信號的目的。這類算法包括MP算法、OMP算法、CoSaMP算法等，相比于其他類恢復(fù)算法，具有實時性和重建信號的維數(shù)較小等優(yōu)點。

2.2 稀疏信道估計算法

CoSaMP算法在進行信道估計時需要已知信號的稀疏度，并且復(fù)雜度較高。本文基于壓縮感知匹配追蹤算法來降低復(fù)雜度和稀疏度自適應(yīng)改進，并在此基礎(chǔ)上使用原子弱選擇標(biāo)準[10]進行篩選，使候選集的選擇更加精確，使算法的復(fù)雜度有所降低。

CoSaMP算法如下：

輸入：觀測值[y，]恢復(fù)矩陣[A，]稀疏度[K]

輸出：信號的稀疏逼近

① 初始化[r0=y，][i=1，][Ω0=?；]

② 求殘差向量與恢復(fù)矩陣的內(nèi)積，[θ=ATri-1；]

③ 內(nèi)積的前[2K]為索引，[P=supθ2K]；

④ 更新索引集，[P=P?Ωi-1；]

⑤ 最小二乘法，[θP=A+：，Py；]

⑥ 選取前[K]個值，[θ=θK；]

⑦ 更新殘差向量，[ri=y-Aθ。]

從傳統(tǒng)的CoSaMP算法中可以看出，該算法每次在對索引進行選擇時都為[2K，]而在進一步的選擇時為[K，]因而這些下標(biāo)存在冗余，并且隨著殘差能量的減少，冗余效果更加明顯，因此，該算法的預(yù)選方案會使算法的復(fù)雜度提高。另外，傳統(tǒng)CoSaMP算法在稀疏度已知情況下進行信道估計，限制了該算法的實際運用。本文在不影響算法效果的同時，通過對該算法預(yù)選階段的改進對該算法進行優(yōu)化和提升，并實現(xiàn)稀疏度自適應(yīng)，以達到提高算法運算速率的目的。

改進后的算法在CoSaMP算法基礎(chǔ)上采用自適應(yīng)恢復(fù)算法，并在預(yù)選階段采用原子弱選擇標(biāo)準進行篩選，降低算法的復(fù)雜度，原子弱選擇標(biāo)準如下：

[i：gj≥α?maxjgj] （12）

式中：[α∈（0，1]]；[gjgj=j=1，2，…，N]為觀測矩陣[A]與殘差矩陣的內(nèi)積。

在求得殘差與每一列內(nèi)積后的索引值時，通過式（12）進行進一步篩選，減少索引的冗余，降低算法的復(fù)雜度。本算法的優(yōu)點實現(xiàn)了算法自適應(yīng)，并在此基礎(chǔ)上提高了算法的運算速率。

CoSaMP算法閾值改進后的流程如下：

輸入：觀測值[y，]恢復(fù)矩陣[A，]初始化支撐集尺寸[step_size]

輸出：信號估計值

1） 算法初始化。

初始化殘差[r0=y；]初始化支撐集[S=step_size；]索引集[Ω0=?；]迭代次數(shù)[i=1；]階段次數(shù)[n=1。]

2） 循環(huán)迭代過程。

① 計算殘差[rn-1]與矩陣[A]的每一列的內(nèi)積，[u=ATrn-1，]并將[u]的絕對值中[2S]個最大值對應(yīng)的索引存入[P]中。

② 原子弱選擇：從[2S]個原子中選取所有滿足[i：gj≥α?maxjgj]的腳標(biāo)存入候選集[Jn-1]中。

③ 更新候選集[Ωn-1=Ωn?Jn-1]。

④ 獲取索引內(nèi)新的估計值[hn=X+Ωny]。

⑤ 選取最大的[S]個主要抽頭系數(shù)，其他非主要抽頭系數(shù)置0，[ΩnD=suphnS]。

⑥ 更新殘差向量。若新的殘差能量大于上次殘差能量，[n=n+1]，[S=S×n]。

⑦ 循環(huán)①～⑥，直到滿足迭代停止條件。其中，本文的停止條件為[hn-h22≤10-3S≥64]。

改進后的CoSaMP算法在得到原子候選集后，通過原子弱選擇的閾值選擇優(yōu)化準則后，降低了原算法在預(yù)選階段的冗余，在實際應(yīng)用中原子的預(yù)選階段對算法精確度的影響不是很大，而且提高了算法的復(fù)雜度，因此，在預(yù)選階段對原子的選擇引用原子弱選擇標(biāo)準對CoSaMP算法進行閾值改進，在不影響精確度的同時能夠降低算法的復(fù)雜度。

3 實驗分析

MIMO?OFDM系統(tǒng)信道為選擇性衰落信道，采用Simulink繪制，其參數(shù)為：[Nt=2，][Nr=2，]調(diào)制方式為QAM調(diào)制，子載波個數(shù)[N=1 024，]其中導(dǎo)頻子載波個數(shù)為56，信道長度[L=32，]其中原子弱選擇標(biāo)準中的[α]取0.5，假設(shè)系統(tǒng)的參數(shù)在一個OFDM符號周期內(nèi)不變化。本文采用均方根誤差來反應(yīng)信道估計誤差，[αRMSE]越小則說明估計誤差越小。均方根誤差表示為：

[αRMSE=1Mm=1Mh-hm22] （13）

式中[M]為蒙特卡洛仿真次數(shù)。

仿真結(jié)果驗證了CoSaMP算法在引入原子弱選擇標(biāo)準進行閾值改進，在不影響復(fù)雜度的前提下降低了算法的復(fù)雜度，提高了算法的運算速率。圖2為不同信噪比下的LS算法、OMP算法、CoSaMP算法及改進后的CoSaMP算法的效果仿真圖。

在MIMO?OFDM系統(tǒng)中，采用OMP算法、CoSaMP算法及改進后的CoSaMP算法較傳統(tǒng)的LS算法的均方根誤差值有很大的提高，并且改進后的CoSaMP算法與傳統(tǒng)的CoSaMP算法的均方根誤差相似，說明CoSaMP算法在通過原子弱選擇標(biāo)準進行閾值改進后對算法的精確度沒有影響。

由于算法的復(fù)雜度決定了運算速率，對算法的實際應(yīng)用具有很大的影響，因此算法的復(fù)雜度在進行信道估計應(yīng)用中至關(guān)重要。圖3是各算法復(fù)雜度與LS算法比值的仿真圖，本文仿真硬件參數(shù)為Intel i5?3210M，CPU為2.50 GHz，RAM為4.00 GB，Microsoft Windows 7操作系統(tǒng)。本文中用運算時間對算法的復(fù)雜度進行近似估計，即表示為：

[R1=O（OMP）O（LS）R2=O（CoSaMP）O（LS）R3=O（改進CoSaMP）O（LS）]

式中：[O（?）]表示復(fù)雜度符號；[R1，][R2，][R3]為比值。

從圖3中可以看出，改進后的CoSaMP算法在復(fù)雜度上較CoSaMP算法有很大的提高。其中改進后的算法在運算時間上大概是LS算法的2倍，而CoSaMP算法是LS算法的10倍左右。結(jié)合圖2、圖3可以證明，改進后的算法在不影響精確度的情況下提高了算法的運算速率，減少了運算時間。

4 結(jié) 語

本文在MIMO?OFDM信道估計研究成果的基礎(chǔ)上對CoSaMP算法進行閾值改進，并對LS，OMP，CoSaMP算法進行仿真比較，結(jié)果表明改進后的CoSaMP算法在運算復(fù)雜度上有較大降低，提高了算法的運算速率。進一步研究表明，改進后的CoSaMP算法在降低復(fù)雜度的前提下，算法的均方誤差的性能還有提升的空間，這也是以后研究的目標(biāo)。

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