羅彪，李威，李林升

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基于熱彈耦合的齒輪熱剛度研究

羅彪1, 2，李威1，李林升2

(1. 北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，北京，100083；2. 南華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 衡陽，421001)

為研究熱對(duì)齒輪剛度的影響，引入齒輪熱剛度的概念，并定義熱剛度的計(jì)算方法。引入熱應(yīng)力修正系數(shù)te，對(duì)熱應(yīng)力進(jìn)行修正，得到熱彈耦合應(yīng)力的計(jì)算方法和熱彈耦合變形的計(jì)算方法。在熱彈耦合條件下，分別利用有限元法和解析法計(jì)算出齒輪的單齒熱剛度和嚙合熱剛度，2種方法的計(jì)算結(jié)果基本吻合。研究結(jié)果表明：齒輪在熱彈耦合作用下的熱剛度為齒輪的彈性剛度與修正的熱膨脹剛度的串聯(lián)。齒輪嚙合熱剛度相對(duì)于彈性嚙合剛度整體下降，單齒熱剛度與彈性剛度沿嚙合線的分布曲線在齒根附近存在唯一交點(diǎn)，單齒熱剛度在交點(diǎn)的齒根側(cè)大于彈性剛度，在交點(diǎn)的齒頂側(cè)小于彈性剛度。

熱彈耦合; 熱剛度; 齒輪; 有限元法; 解析法

齒輪的嚙合剛度是研究齒輪傳動(dòng)承載能力、傳動(dòng)誤差、齒廓修形和動(dòng)力學(xué)特性等的基礎(chǔ)，因此，齒輪的剛度研究是齒輪傳動(dòng)研究的熱點(diǎn)。研究齒輪剛度的方法包括解析法[1?3]、有限元法[4?6]和實(shí)驗(yàn)研究方法[7?9]等。解析法又包括國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)方法、當(dāng)量齒形法(石川模型)[10]和勢(shì)能法[11]等。在各種解析法中，當(dāng)量齒形法應(yīng)用最為廣泛，而且研究者們基于石川模型提出了很多齒輪嚙合剛度的改進(jìn)算法[12]。同時(shí)，很多研究者對(duì)齒輪剛度的影響因素也進(jìn)行了大量研究，主要集中在齒輪的幾何參數(shù)[13]、齒根裂紋[14]、齒面摩擦因數(shù)[15]、齒形誤差[16]、磨損及修形[17?18]等。但以上計(jì)算方法均未考慮熱對(duì)齒輪剛度的影響。本文作者基于有限元和石川模型，考慮熱對(duì)齒輪剛度的影響，引入齒輪熱剛度的概念，并給出其具體的計(jì)算方法。

1 齒輪熱剛度的定義

齒輪在嚙合的過程中產(chǎn)生熱膨脹，熱膨脹的方向與齒輪受外載荷產(chǎn)生的彈性變形的方向相反，能夠減少齒輪總的彈性變形量。但在實(shí)際工況中，彈性變形和熱膨脹是相互影響的，嚙合齒輪最終的熱彈耦合變形總量大于單獨(dú)的彈性變形量。這是因?yàn)樵趪Ш系倪^程中由于熱膨脹，在嚙合點(diǎn)處將產(chǎn)生附加熱應(yīng)力，同時(shí)熱應(yīng)力與彈性應(yīng)力相互耦合產(chǎn)生附加的熱彈耦合應(yīng)力，在彈性應(yīng)力、熱應(yīng)力和熱彈耦合應(yīng)力的共同作用下，嚙合點(diǎn)的實(shí)際熱彈耦合變形總量要比單獨(dú)的彈性變形量大。同時(shí)，由于溫度升高，齒輪材料的彈性模量也發(fā)生變化，進(jìn)一步削弱齒輪的抗變形能力。本文作者引入齒輪熱剛度的概念，定義如下：齒輪熱剛度為引起單位熱彈耦合變形量的外載荷大小。其計(jì)算公式為

式中：T為齒輪熱剛度；T為齒輪熱柔度；n為嚙合點(diǎn)法向外載荷；te為嚙合點(diǎn)法向熱彈耦合變形量。

根據(jù)以上定義，計(jì)算齒輪熱剛度的關(guān)鍵在于找到計(jì)算嚙合點(diǎn)熱彈耦合變形量的方法。本文將采用解析法和有限元法分別進(jìn)行計(jì)算。

2 齒輪熱剛度的解析法

2.1 基于石川模型的齒輪彈性剛度

齒輪嚙合剛度的石川模型是將齒輪齒廓簡(jiǎn)化成由梯形和矩形組成的當(dāng)量齒形，再通過材料力學(xué)和彈性力學(xué)理論來計(jì)算當(dāng)量齒形在外載荷作用下的各個(gè)柔度，并根據(jù)柔度與剛度的關(guān)系求出單齒和嚙合齒輪對(duì)的剛度。其具體的計(jì)算方法參見參考文獻(xiàn)[19]。

2.2 齒輪熱膨脹

齒輪齒廓熱膨脹量的計(jì)算方法參見文獻(xiàn)[20]。齒廓熱膨脹示意圖如圖1所示。漸開線齒廓上任一點(diǎn)熱膨脹后到達(dá)′點(diǎn)，在圓柱坐標(biāo)系下，′點(diǎn)半徑r′=r+Δr。r′與軸的夾角φ′=φ+Δφ。其中Δr，φ和Δφ的計(jì)算公式分別如下：

式中：sk為k點(diǎn)的齒厚；Δtk為k點(diǎn)的溫升；tn為齒輪內(nèi)孔表面溫度；tb為齒輪基圓溫度；φk為k點(diǎn)的半徑與y軸夾角；R為齒輪分度圓半徑；rb為基圓半徑；rn為齒輪內(nèi)孔半徑；αk為k點(diǎn)壓力角，invαk為αk對(duì)應(yīng)的展角，invαk=tanαk?αk；α為分度圓壓力角，invα為α對(duì)應(yīng)的展角，invα=tanα?α；Δsk為k點(diǎn)周向膨脹量，Δsk=Δtkλsk/2。

由以上分析可知：在直角坐標(biāo)系下，嚙合點(diǎn)熱膨脹量沿坐標(biāo)軸的分量Δ和Δ，以及沿嚙合線方向的熱膨脹量t計(jì)算公式分別為

式中：ω為嚙合點(diǎn)的載荷角。

2.3 齒輪嚙合熱應(yīng)力及熱彈耦合應(yīng)力

2.3.1 齒輪嚙合熱應(yīng)力

物體由于溫度的升高將產(chǎn)生熱膨脹，同時(shí)由于外載荷或外部約束的限制將產(chǎn)生熱應(yīng)力。如長(zhǎng)度為的鋼棒，當(dāng)均勻受熱，溫度由0升高到時(shí)，鋼棒沿長(zhǎng)度方向的線膨脹量為Δ=(?0)。若鋼棒兩端剛性固定且無法產(chǎn)生彎曲變形時(shí)，相當(dāng)于鋼棒受熱后受到一軸向壓力，使長(zhǎng)度為Δ的鋼棒產(chǎn)生軸向壓縮變形Δ，鋼棒內(nèi)將出現(xiàn)壓縮應(yīng)力。若壓縮變形全都是彈性變形，則有

式中：為材料的彈性模量；為材料的截面積；為鋼棒的壓縮剛度。

由以上分析可知：物體在完全約束狀態(tài)下的受熱膨脹，其產(chǎn)生的熱應(yīng)力為物體熱膨脹方向的剛度與物體自由狀態(tài)下熱膨脹量的乘積。對(duì)于無齒側(cè)間隙的嚙合齒輪對(duì)，在本體溫度的作用下，嚙合點(diǎn)的熱應(yīng)力t為

式中：E為齒輪的嚙合彈性剛度；t1和t2為主、從動(dòng)輪的熱膨脹量。

2.3.2 齒輪嚙合熱彈耦合應(yīng)力

齒輪在嚙合的過程中，熱應(yīng)力和彈性應(yīng)力互相作用并相互耦合，產(chǎn)生熱彈耦合應(yīng)力。熱彈耦合應(yīng)力的計(jì)算非常復(fù)雜，本文引入修正系數(shù)te對(duì)熱應(yīng)力進(jìn)行修正，得到的熱彈耦合應(yīng)力計(jì)算公式如下：

2.4 時(shí)變嚙合合熱剛度

2.4.1 熱彈耦合變形

齒輪在外載荷與熱應(yīng)力、熱彈耦合應(yīng)力產(chǎn)生的附加載荷的共同作用下產(chǎn)生大的彈性變形，同時(shí)由于溫度的升高齒廓將產(chǎn)生熱膨脹，且彈性變形的方向與熱膨脹的方向相反，因此，齒輪熱彈耦合變形量為彈性變形量與熱膨脹量的差值。即tei=ei?ti。其中輪齒在外載荷與熱附加載荷、熱彈耦合附加載荷作用下的彈性變形ei的計(jì)算公式為

式中：Ei為齒輪的單齒彈性剛度；=1，2，分別表示主、從動(dòng)輪。

2.4.2 齒輪熱剛度

根據(jù)熱剛度的定義及前述分析，主、從動(dòng)輪的單齒熱剛度Ti以及齒輪對(duì)的嚙合熱剛度T的計(jì)算公式分別如下：

值得注意的是：當(dāng)熱應(yīng)力修正系數(shù)te=0時(shí)，T=E。但在實(shí)際工況中，熱彈耦合應(yīng)力是確實(shí)存在的，即te＞0，因此，熱彈耦合熱剛度小于彈性剛度，這也與材料加熱變軟剛度降低的常識(shí)相符合。te的確定相對(duì)復(fù)雜，本文將通過有限元的方法，分別計(jì)算齒輪嚙合點(diǎn)法向的彈性變形量和熱彈耦合變形量，得到彈性變形與熱彈耦合變形的比例關(guān)系再反求熱彈耦合應(yīng)力修正系數(shù)te。

由式(11)可知：當(dāng)(1+te)E(t1?t2)?Eiti=0時(shí)，熱剛度與彈性剛度相等。由剛度的串聯(lián)特性可知：E總是小于Ei，尤其在齒根部分Ei遠(yuǎn)大于E。因此，上式在靠近過齒根部分存在零點(diǎn)，且由于單齒剛度的連續(xù)單調(diào)性，零點(diǎn)是唯一的。由此可知，單齒熱剛度與彈性剛度沿嚙合線的分布曲線存在唯一交點(diǎn)，在交點(diǎn)的一側(cè)熱剛度大于彈性剛度，在另一側(cè)熱剛度小于彈性剛度。

將式(12)的左右兩端同時(shí)除以齒輪的嚙合彈性剛度E，化簡(jiǎn)整理得

式中：n和te為定值；t1，t2和E沿嚙合線非線性分布，因此，熱剛度與彈性剛度沿嚙合線也為非線性關(guān)系。由于彈性剛度E在嚙入、嚙出點(diǎn)取最小值，在節(jié)點(diǎn)處取最大值，所以，相對(duì)于彈性剛度，熱剛度在嚙入、嚙出端的下降較少，在節(jié)點(diǎn)附近的下降量最大，嚙合熱剛度沿嚙合線的分布更加平緩。

根據(jù)剛度與柔度的關(guān)系，將式(12)取倒數(shù)得到嚙合齒輪對(duì)在嚙合點(diǎn)總的熱柔度T。齒輪嚙合點(diǎn)總熱柔度與彈性總?cè)岫鹊牟钪禐?/p>

由式(14)可知：齒輪嚙合點(diǎn)總?cè)岫鹊牟钪祪H與齒輪外載荷n、熱應(yīng)力修正系數(shù)te及嚙合點(diǎn)主、從動(dòng)輪熱膨脹之和(t1+t2)有關(guān)。根據(jù)柔度的定義，式(14)可簡(jiǎn)化為

由式(16)和(17)可知：齒輪在熱彈耦合作用下嚙合點(diǎn)總的熱柔度T為嚙合點(diǎn)彈性柔度()與修正的熱膨脹柔度(teTp)之和。齒輪在熱彈耦合作用下的嚙合熱剛度為齒輪的嚙合彈性剛度與修正的熱膨脹剛度的串聯(lián)。同理可得熱彈耦合作用下的齒輪單齒熱剛度：

式中：δ為單齒彈性柔度；Tpi為單齒熱膨脹柔度；=1，2，分別表示主、從動(dòng)輪。

2.5 計(jì)算實(shí)例

傳動(dòng)齒輪副的基本參數(shù)如表1所示。根據(jù)以上分析，利用MATLAB軟件編寫計(jì)算程序，得到熱彈耦合條件下齒輪熱剛沿嚙合線的分布，如圖2所示。

表1 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)

1—彈性剛度；2—熱剛度；3—彈性柔度；4—熱柔度。

3 齒輪熱剛度的有限元法

3.1 熱彈耦合變形的有限元法

有限元熱彈耦合的方法分為直接耦合和間接耦合。本文采用間接耦合的方式，先利用APDL語言建立嚙合齒輪對(duì)的三維實(shí)體模型，設(shè)定齒輪各個(gè)表面的對(duì)流換熱系數(shù)，并給定嚙合面上的摩擦熱流密度，求解嚙合齒輪對(duì)的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)。在進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時(shí)，再將得到的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)以載荷的方式施加到模型上，進(jìn)行間接的熱彈耦合接觸分析。

對(duì)于熱彈耦合接觸分析，在嚙合面處建立接觸對(duì)。在研究主動(dòng)輪的熱彈耦合變形時(shí)，為消除剛體位移的影響，設(shè)定主動(dòng)輪內(nèi)孔表面上所有節(jié)點(diǎn)的三向位移均為0 mm，同時(shí)設(shè)定單齒兩齒側(cè)表面的周向位移為 0 mm。約束從動(dòng)輪內(nèi)孔表面的軸向和徑向位移，同時(shí)在周向施加等效載荷。研究從動(dòng)輪的熱彈耦合變形時(shí)，設(shè)定從動(dòng)輪內(nèi)孔表面上所有節(jié)點(diǎn)的三向位移均為 0 mm，同時(shí)設(shè)定單齒兩齒側(cè)表面的周向位移為0 mm。約束主動(dòng)輪內(nèi)孔表面的軸向和徑向位移，同時(shí)在周向施加等效載荷。

熱彈耦合狀態(tài)下，主動(dòng)輪的變形云圖如圖3所示。由圖3可知：由于變形的疊加效果，主動(dòng)輪熱彈耦合變形量在齒頂處最大，但最大位移點(diǎn)并非齒輪對(duì)的實(shí)際嚙合點(diǎn)。實(shí)際嚙合點(diǎn)需要通過熱彈耦合的應(yīng)力狀態(tài)來判斷。

圖3 主動(dòng)輪熱彈耦合變形

圖4所示為主動(dòng)輪嚙合面熱彈耦合作用下的米塞斯應(yīng)力及接觸面的接觸應(yīng)力云圖。由圖4可知：在嚙合面上接觸應(yīng)力與米塞斯應(yīng)力均在相同位置出現(xiàn)峰值，可以認(rèn)為嚙合面上應(yīng)力最大位置即為實(shí)際嚙合位置。提取最大應(yīng)力點(diǎn)處的熱彈耦合變形量即為實(shí)際接觸點(diǎn)的熱彈耦合變形量。

圖5所示為嚙合齒輪對(duì)的平面模型。坐標(biāo)系為有限元的全局坐標(biāo)系，111和222分別為主、從動(dòng)輪齒廓建模標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系。在實(shí)際的嚙合過程中，隨著嚙合角度的變化，主、從動(dòng)輪齒廓建模標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系需要繞各自的軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度1和2形成新的嚙合坐標(biāo)系111和222。對(duì)于不同的嚙合位置，有限元輸出的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及節(jié)點(diǎn)變形量均為全局坐標(biāo)系下的數(shù)據(jù)。因此，需要將主、從動(dòng)輪的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)從全局坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)換到各自的嚙合坐標(biāo)系下。

設(shè)主、從動(dòng)輪嚙合點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(x，y，z)，點(diǎn)主、從動(dòng)輪的熱彈耦合變形量分別為(Δx1，Δy1，Δz1)和(Δx2，Δy2，Δz2)，經(jīng)過坐標(biāo)變換后，點(diǎn)在主、從動(dòng)輪的嚙合坐標(biāo)系下的坐標(biāo)及熱彈耦合變形量分別為(′1，′1，′1)，(′2，′2，′2)，(Δ′1，Δ′1，Δ′1)和(Δ′2，Δ′2，Δ′2)。變換前后的坐標(biāo)關(guān)系式如下。

(a) 熱彈耦合米塞斯應(yīng)力；(b) 熱彈耦合接觸應(yīng)力

圖5 嚙合齒輪對(duì)平面模型

對(duì)于主動(dòng)輪，有

對(duì)于從動(dòng)輪，有

式中：1和2分別為齒輪嚙合過程中主、從動(dòng)輪標(biāo)準(zhǔn)建模坐標(biāo)系繞軸轉(zhuǎn)過的角度；為嚙合齒輪對(duì)的中心距。

經(jīng)過變換后得到嚙合點(diǎn)熱彈耦合狀態(tài)下沿坐標(biāo)軸和方向的2個(gè)耦合變形分量。根據(jù)熱剛度的定義，需要計(jì)算嚙合點(diǎn)法向的耦合變形量。因此，需要將和方向的2個(gè)耦合變形分量投影到嚙合點(diǎn)的法向方向，其計(jì)算過程如下：

式中：Δ', Δ'分別表示經(jīng)過坐標(biāo)變換后的熱彈耦合變形分量；tek為嚙合點(diǎn)沿嚙合線方向的熱彈耦合變形量。

經(jīng)過變換及投影后主動(dòng)輪嚙合面的彈性變形及熱彈耦合變形量如圖6所示。

由圖6可知：由于變形的疊加效果，變形量從齒根到齒頂處逐漸增大。但在實(shí)際嚙合點(diǎn)處由于接觸變形、熱彈耦合應(yīng)力等的共同作用，變形量出現(xiàn)峰值，該峰值即為嚙合點(diǎn)的熱彈耦合變形量。在齒根端，熱彈耦合的變形量比彈性變形量??；在齒頂端，熱彈耦合的變形量比彈性變形量大。齒寬方向由于邊緣效應(yīng)，彈性變形量在齒寬邊緣大，齒寬中部小。但齒寬中部熱彈耦合變形量比邊緣的大，其主要原因是齒寬中部溫度高，熱膨脹量大，熱彈耦合應(yīng)力大。

綜上所述，熱彈耦合變形的有限元法是通過間接耦合方法得到嚙合面的總變形量，即通過嚙合面的應(yīng)力狀態(tài)找到實(shí)際嚙合點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，再通過坐標(biāo)變換和投影得到嚙合點(diǎn)的法向熱彈耦合變形量。

3.2 基于有限元的齒輪熱剛度

將上文計(jì)算得到的嚙合點(diǎn)的熱彈耦合變形量，代入式(1)可得到齒輪嚙合點(diǎn)的熱剛度。在整個(gè)嚙合線上取若干離散的嚙合點(diǎn)，分別計(jì)算出各離散嚙合點(diǎn)的熱剛度，再利用曲線擬合的方法便可得到單齒熱剛度沿嚙合線的分布曲線，即單齒剛度曲線。齒輪對(duì)的嚙合熱剛度相當(dāng)于2個(gè)單齒熱剛度的串聯(lián)，公式如下：

(a) 齒根端嚙合面彈性變形量；(b) 齒根端嚙合面熱彈耦合變形量；(c) 齒頂端嚙合面彈性變形量；(d) 齒頂端嚙合面熱彈耦合變形量

式中：T為嚙合齒輪對(duì)的嚙合熱剛度；T為嚙合齒輪對(duì)的熱柔度；T1和T2分別為主、從動(dòng)輪的單齒熱剛度；T1和T2分別為主、從動(dòng)輪的熱柔度。

針對(duì)本文研究對(duì)象，通過多個(gè)離散嚙合點(diǎn)的分析及對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線擬合得到齒輪對(duì)的嚙合熱剛度沿嚙合線的分布曲線，如圖7所示。

由圖7可知：在整個(gè)嚙合區(qū)域嚙合齒輪對(duì)的熱剛度均小于彈性剛度。但單齒熱剛度沿嚙合線的分布曲線與彈性剛度分布曲線存在唯一交點(diǎn)，交點(diǎn)位于各自齒輪齒廓的齒根附近。在交點(diǎn)的齒根側(cè)，熱剛度比彈性剛度大，齒頂側(cè)熱剛度比彈性剛度小。

對(duì)比圖2和圖7可知：2種方法的計(jì)算結(jié)果在柔度和剛度的變化趨勢(shì)上完全一致，僅在具體的數(shù)值上存在細(xì)微差別，進(jìn)一步證明了熱剛度計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。

1—有限元數(shù)據(jù)擬合熱柔度、剛度曲線；2—有限元數(shù)據(jù)擬合彈性柔度、剛度曲線；3—有限元單齒彈性柔度數(shù)據(jù)及擬合曲線；4—有限元單齒熱柔度數(shù)據(jù)及擬合曲線。

4 結(jié)論

1) 對(duì)于嚙合剛度，在整個(gè)嚙合區(qū)域，熱剛度小于彈性剛度，且熱剛度與彈性剛度呈非線性關(guān)系，熱剛度與彈剛度在嚙入、嚙出端差距小，在節(jié)點(diǎn)附近差距最大。

2) 對(duì)于單齒剛度，熱剛度和彈性剛度曲線在靠近齒根部位存在唯一交點(diǎn)，熱剛度在交點(diǎn)的齒根側(cè)大于彈性剛度，在交點(diǎn)的齒頂側(cè)小于彈性剛度。

3)齒輪在熱彈耦合作用下嚙合點(diǎn)總的熱柔度T為嚙合點(diǎn)彈性柔度與修正的熱膨脹柔度之和；熱剛度為齒輪對(duì)的彈性剛度與修正的熱膨脹剛度的串聯(lián)。

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(編輯 伍錦花)

Research on thermal stiffness of gear based on thermo-elastic coupling

LUO Biao1, 2, LI Wei1, LI Linsheng2

(1. School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China;2. School of Mechanical Engineering, University of South China, Hengyang 421001, China)

To study the influence of temperature on gear stiffness, the concept of thermal stiffness of gear was proposed, and its calculation method was defined. The correction factor of thermal stresstewas proposed, and the calculation methods of the thermo-elastic coupling stress and deformation were obtained. The single tooth thermal stiffness and the meshing thermal stiffness of gear were calculated by finite element method and analytical method, respectively. The calculation results of the two methods were basically consistent. The results show that the thermal stiffness of gear under the condition of thermo-elastic coupling is a combination of elastic stiffness and modified thermal expansion stiffness. The meshing thermal stiffness of gear pair is decreased when compared with the meshing elastic stiffness. There is only one intersection point between the single tooth thermal stiffness and elastic stiffness distribution curves along the meshing line, and the intersection point is located near the root area. The thermal stiffness is greater than the elastic stiffness in the root side of the intersection point, and is less than the elastic stiffness on the tip side of the intersection point.

thermo-elastic coupling; thermal stiffness; gear; finite element method; analytical method

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.12.010

TH132.4

A

1672?7207(2017)12?3209?07

2017?01?05；

2017?02?26

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51775036)(Project (51775036) supported by the National Natural Science Foundation of China)

李威，博士，教授，從事機(jī)械傳動(dòng)與控制、數(shù)字化設(shè)計(jì)與制造技術(shù)、機(jī)械設(shè)計(jì)模糊方法、虛擬樣機(jī)技術(shù)和仿真技術(shù)等研究；E-mail：liwei@me.ustb.edu.cn