張可能，胡達(dá), 3，何杰，吳有平

?

基于Kriging時(shí)空統(tǒng)一模型的隧道動(dòng)態(tài)施工位移預(yù)測(cè)

張可能1, 2，胡達(dá)1, 2, 3，何杰4，吳有平1, 2

(1. 中南大學(xué) 有色金屬成礦預(yù)測(cè)與地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測(cè)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖南 長(zhǎng)沙， 410083； 2. 中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙， 410083；3. 湖南聯(lián)智橋隧技術(shù)有限公司， 湖南 長(zhǎng)沙， 410200; 4. 湖南工業(yè)大學(xué)科技學(xué)院， 湖南 株洲， 412007)

將經(jīng)典的Kriging空間插值進(jìn)行時(shí)空擴(kuò)展，應(yīng)用時(shí)空變異函數(shù)建立隧道圍巖位移預(yù)測(cè)模型；分析參數(shù)與變形的之間的關(guān)系，給出時(shí)空插值的計(jì)算程序和方法。在此基礎(chǔ)上采用時(shí)空統(tǒng)一Kriging插值預(yù)測(cè)模型和DGM(1,1)灰色預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)隧道施工過(guò)程中掌子面前方一定范圍內(nèi)任意時(shí)刻的拱頂沉降。以湖南省婁底市筍安山隧道為試驗(yàn)對(duì)象，對(duì)比分析以上2個(gè)預(yù)測(cè)模型的位移預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值，并分別對(duì)位移預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值進(jìn)行交叉驗(yàn)證。研究結(jié)果表明：相對(duì)于DGM(1,1)灰色預(yù)測(cè)模型，時(shí)空統(tǒng)一Kriging模型預(yù)測(cè)精度更高，能更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)拱頂下沉位移的發(fā)展變化趨勢(shì)，在實(shí)際隧道工程的圍巖位移預(yù)測(cè)中是有效的、可行的。

Kriging模型；隧道工程；位移預(yù)測(cè)；灰色預(yù)測(cè)；掌子面

隧道圍巖位移預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)是圍巖穩(wěn)定性研究中最重要的內(nèi)容，盡管國(guó)內(nèi)外學(xué)者在這方面已經(jīng)積累了一些研究成果，但對(duì)位移預(yù)測(cè)的研究較少。隧道圍巖位移預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)對(duì)施工決策有特別重要的意義。在現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試中，由于受測(cè)試條件、人員等各種可預(yù)見(jiàn)或不可預(yù)見(jiàn)的因素的影響，所獲得的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)存在偶然誤差和離散性。同時(shí)，僅僅依靠散點(diǎn)圖無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)最終變形量的預(yù)測(cè)。在實(shí)際應(yīng)用中，必須進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，獲得能準(zhǔn)確反映實(shí)際情況的典型曲線，找出量測(cè)位移隨時(shí)間或空間變化的規(guī)律并預(yù)測(cè)量測(cè)位移的極值，同時(shí)預(yù)測(cè)其發(fā)展變化趨勢(shì)，以科學(xué)地評(píng)價(jià)圍巖和支護(hù)的穩(wěn)定性、可靠性和經(jīng)濟(jì)合理性等。目前，最主要的預(yù)測(cè)方法有回歸分析、時(shí)間序列分析法、經(jīng)驗(yàn)公式法、灰色預(yù)測(cè)模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、支持向量隨機(jī)模型、數(shù)值分析等。Kriging插值法是一種運(yùn)用結(jié)構(gòu)分析與變異函數(shù)相關(guān)理論，在有限空間內(nèi)針對(duì)區(qū)域化變量進(jìn)行最優(yōu)和無(wú)偏估值計(jì)算的預(yù)測(cè)方法。與上述傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法相比，Kriging插值能更好地描述描述空間的連續(xù)關(guān)聯(lián)性并反映數(shù)據(jù)點(diǎn)的整體變化趨勢(shì)，預(yù)測(cè)更精確。盡管Kriging插值法在地質(zhì)勘探和地質(zhì)統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域中應(yīng)用較廣泛，但在巖土工程領(lǐng)域應(yīng)用較少，研究者主要進(jìn)行Kriging法與其他學(xué)科應(yīng)用交叉研究[1?7]，如應(yīng)用于可靠度理論、大氣污染理論、靈敏度分析和降水量分析等領(lǐng)域。國(guó)內(nèi)學(xué)者基于Kriging法在巖土工程領(lǐng)域也進(jìn)行了大量有針對(duì)性研究，如應(yīng)用Kriging方法研究邊坡的變形速率、滑坡危險(xiǎn)性區(qū)劃、可靠度問(wèn)題和單一時(shí)空的擴(kuò)展方法等[8?15]。應(yīng)用Kriging插值法進(jìn)行隧道圍巖的變形分析，可以得出隧道在動(dòng)態(tài)施工過(guò)程中圍巖位移的時(shí)空變化相關(guān)規(guī)律，進(jìn)而基于這一規(guī)律進(jìn)行隧道變形預(yù)測(cè)。為此，本文作者基于婁衡(湖南婁底—衡陽(yáng))高速公路筍安山隧道的現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)和地質(zhì)資料，引入時(shí)空統(tǒng)一Kriging預(yù)測(cè)模型對(duì)隧道施工過(guò)程中掌子面前方一定范圍內(nèi)任意時(shí)刻的拱頂下沉位移進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與灰色預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比研究，從整體上分析預(yù)測(cè)隧道圍巖變形趨勢(shì)，從而判斷圍巖的穩(wěn)定性。

1 Kriging方法及DGM(1,1)灰色預(yù)測(cè)模型

1.1 Kriging基本理論

Kriging插值法的基本數(shù)學(xué)模型[6]為

要在無(wú)偏性條件下，使估計(jì)方差最小。這是求條件極值的問(wèn)題，采用拉格朗日乘子法予以解決。

是個(gè)權(quán)系數(shù)和的(+1)元函數(shù)，求出對(duì)權(quán)重系數(shù)和拉格朗日系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，最后得到用半變異函數(shù)值表示的Kriging方程組[13]：

1.2 半變異函數(shù)理論模型

半變異函數(shù)或者半變差函數(shù)是從空間統(tǒng)計(jì)學(xué)中的方差概念演化而來(lái)[6,17]，區(qū)域變量()在點(diǎn)和+的值()和(+)之差的方差的1/2定義為區(qū)域變量()在軸上的半變差函數(shù)，記為()，即

試驗(yàn)半變異函數(shù)計(jì)算公式為

式中：()為被增量分隔的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)的數(shù)目。

為了對(duì)區(qū)域化變量的未知值進(jìn)行估計(jì)，需要將試驗(yàn)半變差函數(shù)擬合成相應(yīng)的理論半變差函數(shù)模 型[16?17]。傳統(tǒng)Kriging算法提供的半變異函數(shù)模型有高斯模型、線形模型、球形模型、阻尼正弦模型和指數(shù)模型等。考慮到本文應(yīng)用于隧道變形預(yù)測(cè)，選用球形模型，這樣既考慮了儲(chǔ)層參數(shù)的隨機(jī)性，又考慮了儲(chǔ)層參數(shù)的相關(guān)性。在滿足插值方差最小的條件下，給出最佳線性無(wú)偏插值，同時(shí)還給出插值方差。具體模型表達(dá)式如下：

式中：0為塊金值；0+為基臺(tái)值；為偏基臺(tái)值；為變程；為滯后距。

1.3 DGM(1,1)灰色預(yù)測(cè)模型

DGM(1,1)模型的基本形式如下：

設(shè)非負(fù)序列

其1次累加形成的序列為

通過(guò)還原生成算法，得到預(yù)測(cè)函數(shù)：

1.4 模型精度檢驗(yàn)

均方根誤差MSE為

式中：*()為估計(jì)值；()為在相同點(diǎn)的觀測(cè)值；為估計(jì)點(diǎn)數(shù)量。

平均誤差E為

相關(guān)系數(shù)2為

2 Kriging時(shí)空插值模型建模思想

2.1 空間插值

算法程序流程圖設(shè)計(jì)見(jiàn)圖1。

圖1 程序設(shè)計(jì)流程圖

2.2 時(shí)空插值

空間Kriging只能估計(jì)某一時(shí)間上未知區(qū)域的變形量，若要估計(jì)任意時(shí)刻任意位置的變形量，則需要進(jìn)行時(shí)空Kriging插值。在隧道掘進(jìn)過(guò)程中，監(jiān)測(cè)點(diǎn)的布置、數(shù)據(jù)的采集以及位移的變化不僅僅是單純空間和時(shí)間上的變化，而是時(shí)間與空間的統(tǒng)一。本文選用普通Kriging方法實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的時(shí)空插值[17?18]，計(jì)算公式如下：

式(18)中的加權(quán)系數(shù)可通過(guò)式(1)得到，代入式(17)可得研究區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)的插值估計(jì)。

在隧道工程實(shí)際監(jiān)控量測(cè)作業(yè)中采集到的時(shí)間序列數(shù)據(jù)一般都是非等間距的，隧道圍巖變形階段不同，量測(cè)頻率也不同。因此，應(yīng)用回歸模型、灰色模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等方法對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理時(shí)，除非按照試驗(yàn)研究方案按時(shí)量測(cè)，否則必須先采用數(shù)學(xué)方法，將這類非等距的時(shí)間序列變換成等距的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，再進(jìn)行下一步分析。應(yīng)用時(shí)空Kriging插值預(yù)測(cè)模型能很好地解決這一問(wèn)題，可以避免依次考慮隧道中每個(gè)因素所造成的影響，而分析各影響因素之間的相關(guān)性，并且能提高預(yù)測(cè)精度。

為了簡(jiǎn)化時(shí)空Kriging插值預(yù)測(cè)模型計(jì)算過(guò)程，假設(shè)：1) 隧道變形監(jiān)測(cè)位移是隧道圍巖形變規(guī)律的宏觀體現(xiàn)，其變形分析的預(yù)測(cè)值僅對(duì)圍巖形變規(guī)律進(jìn)行深度數(shù)據(jù)挖掘；2) 隧道圍巖在動(dòng)態(tài)施工過(guò)程中最終產(chǎn)生的應(yīng)力應(yīng)變是受地質(zhì)體內(nèi)外界條件與各種因素的相互影響、綜合作用的結(jié)果；3) 隧道圍巖各影響因素間相互作用、相互影響且呈現(xiàn)非線性規(guī)律，但能夠組建隧道變形分析預(yù)測(cè)模型對(duì)其進(jìn)行擬合處理。

3 工程概況

筍安山隧道位于雙峰縣與衡陽(yáng)縣交界的筍安山，起訖樁號(hào)為左洞ZK31+800~ZK35+340，右洞YK31+800~YK35+370，左洞長(zhǎng)3 540 m，右洞長(zhǎng)3 570 m，屬特長(zhǎng)隧道。本隧道為雙洞單向交通隧道，左右洞測(cè)設(shè)線間距為23.69~41.88 m，兩端屬于小凈距隧道，中間段屬于分離式隧道。目前，該隧道采用新奧法進(jìn)行施工。該隧道場(chǎng)地地貌類型為低山丘陵地貌，地表剝蝕較強(qiáng)烈，隧道山頂最大高程為444.00 m。隧道主要巖性為第四系殘坡積層、奧陶系上統(tǒng)(O3)石英砂巖、板巖和泥盆系中統(tǒng)(D2t)跳馬澗組鈣質(zhì)砂巖。試驗(yàn)區(qū)是婁衡高速公路筍安山隧道典型監(jiān)測(cè)斷面，監(jiān)測(cè)區(qū)為右線YK31+860-880。該段監(jiān)測(cè)區(qū)域?yàn)檫M(jìn)口淺埋段，圍巖主要為黏性土夾碎石呈松散破碎狀，基本上無(wú)自穩(wěn)能力。由于該段圍巖拱頂下沉沉降量較大，大大超出設(shè)計(jì)預(yù)留沉降量且拱頂噴射混凝土局部有開(kāi)裂現(xiàn)象，故拱頂沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)間距均加密設(shè)置為3 m。取YK31+863，YK31+866和YK31+869這3個(gè)斷面的拱頂沉降位移為基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，從同一天開(kāi)始觀測(cè)，并每天在同一時(shí)間持續(xù)觀測(cè)34 d；分別取掌子面前方Y(jié)K31+872，YK31+875和YK31+878這3個(gè)斷面34 d的拱頂沉降觀測(cè)位移作為試驗(yàn)驗(yàn)證數(shù)據(jù)。

4 預(yù)測(cè)與分析

將上述現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)位移分成3組分步導(dǎo)入Kriging時(shí)空模型進(jìn)行計(jì)算。

第1組：以YK31+863，YK31+866和YK31+869這3個(gè)斷面34 d的監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)前方Y(jié)K31+872斷面監(jiān)測(cè)點(diǎn)34 d內(nèi)的拱頂沉降。

第2組：以YK31+866，YK31+869和YK31+872這3個(gè)斷面34 d的監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)預(yù)測(cè)前方Y(jié)K31+875斷面監(jiān)測(cè)點(diǎn)34 d內(nèi)的拱頂沉降位移。

第3組：以YK31+869，YK31+872，YK31+875這3個(gè)斷面34 d的監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)預(yù)測(cè)前方Y(jié)K31+878斷面監(jiān)測(cè)點(diǎn)34 d內(nèi)的拱頂沉降位移。

每組計(jì)算采用的半變異函數(shù)相關(guān)參數(shù)如表1所示。為了進(jìn)一步驗(yàn)證Kriging時(shí)空模型的合理、有效性，采用DGM(1,1)灰色預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果與Kriging時(shí)空模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

表1 空間變異函數(shù)參數(shù)

DGM(1,1)灰色預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)采用YK31+872，YK31+875和YK31+878這3個(gè)斷面處的拱頂下沉值為基礎(chǔ)試驗(yàn)數(shù)據(jù)。由式(8)~(12)建立灰色預(yù)測(cè)模型，可計(jì)算得到如下相應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)。

1) YK31+872拱頂沉降時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為

=1，2，…，?1。 (19)

2) YK31+875拱頂沉降時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為

=1，2，…，?1。 (20)

3) YK31+878拱頂沉降時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為

=1，2，…，?1。 (21)

由式(19)~(21)可計(jì)算得出變形預(yù)測(cè)值。

計(jì)算結(jié)果及成果圖如圖2~7所示。

預(yù)測(cè)結(jié)果是否符合實(shí)際，應(yīng)該進(jìn)行交叉驗(yàn)證，并對(duì)本預(yù)測(cè)模型進(jìn)行檢驗(yàn)評(píng)價(jià)。本文根據(jù)式(13)~(16)，用殘差由均方根公式計(jì)算出預(yù)測(cè)誤差(MSE)，進(jìn)而求出平均誤差(E)。將以上指標(biāo)作為檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)預(yù)測(cè)效果的有效性，檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)值越小則反映預(yù)測(cè)結(jié)果越準(zhǔn)確，預(yù)測(cè)值也就越接近真實(shí)值；平均誤差趨于“0”認(rèn)為估計(jì)是無(wú)偏的；計(jì)算相關(guān)系數(shù)2，其值越接近“1”，表明預(yù)測(cè)曲線與實(shí)測(cè)曲線的線性相關(guān)程度越高。

1—預(yù)測(cè)值；2—實(shí)測(cè)值。

1—預(yù)測(cè)值；2—實(shí)測(cè)值。

由本文所述的Kriging時(shí)空統(tǒng)一插值模型和DGM(1,1)灰色預(yù)測(cè)模型得到的3個(gè)預(yù)測(cè)值精度評(píng)價(jià)指標(biāo)，如表2所示。從表2可見(jiàn)：Kriging模型的均方根最小誤差為3.106 0，最小平均誤差為0.043 2，相關(guān)系數(shù)均接近1.000 0；而灰色預(yù)測(cè)模型的均方根最小誤差為8.980 0，最小平均誤差為7.211 0，相關(guān)系數(shù)均接近1.000 0。從而證明了Kriging時(shí)空統(tǒng)一預(yù)測(cè)模型相比灰色預(yù)測(cè)模型具有更高的預(yù)測(cè)精度，也表明其在實(shí)際工程的運(yùn)用過(guò)程中具有更高精度的可行性和有效性。

1—預(yù)測(cè)值；2—實(shí)測(cè)值。

1—預(yù)測(cè)值；2—實(shí)測(cè)值。

表2 精度評(píng)價(jià)指標(biāo)

1—預(yù)測(cè)值；2—實(shí)測(cè)值。

1—預(yù)測(cè)值；2—實(shí)測(cè)值。

5 結(jié)論

1) 在隧道變形預(yù)測(cè)中引入時(shí)空統(tǒng)一Kriging預(yù)測(cè)模型，應(yīng)用時(shí)空變異函數(shù)建立了隧道圍巖位移預(yù)測(cè)模型。并針對(duì)隧道施工過(guò)程中拱頂下沉位移的實(shí)測(cè)值分別運(yùn)用時(shí)空統(tǒng)一Kriging預(yù)測(cè)模型、DGM(1,1)灰色預(yù)測(cè)模型這2種模型進(jìn)行分析預(yù)測(cè)，分析對(duì)比實(shí)測(cè)與預(yù)測(cè)位移?時(shí)間曲線之間的關(guān)系。

2) 通過(guò)交叉驗(yàn)證和相關(guān)精度指標(biāo)對(duì)時(shí)空統(tǒng)一Kriging預(yù)測(cè)模型、DGM(1,1)灰色預(yù)測(cè)模型這2種模型進(jìn)行對(duì)比評(píng)定，證明了時(shí)空統(tǒng)一Kriging預(yù)測(cè)模型具有較高的預(yù)測(cè)精度和可靠性，能更好地反映隧道圍巖形變的變化趨勢(shì)，為隧道工程監(jiān)測(cè)預(yù)報(bào)技術(shù)提供了一種全新的研究手段。

3) Kriging預(yù)測(cè)模型估計(jì)值具有不確定與無(wú)規(guī)律性，不能完整地揭示圍巖內(nèi)部變形的信息。因此，應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步結(jié)合灰色預(yù)測(cè)等相關(guān)數(shù)學(xué)方法對(duì)其進(jìn)行深度挖掘和改進(jìn)，以提高預(yù)測(cè)精度和效率。

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(編輯 陳燦華)

Tunnel construction of dynamic displacement prediction based on unified space-time Kriging model

ZHANG Keneng1, 2, HU Da1, 2, 3, HE Jie4, WU Youping1, 2

(1. Key Laboratory of Metallogenic Prediction of Nonferrous Metals and Geological Environmental Monitoring, Ministry of Education, Central South University, Changsha 410083, China; 2. School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083, China; 3. Hunan Lianzhi Bridge & Tunnel Technology Co. Ltd., Changsha 410200, China; 4. College of Science and Technology, Hunan University of Technology, Zhuzhou 412007, China)

The classical Kriging spatial interpolation was extended by space-time, and the displacement prediction model of tunnel surrounding rock was established by using spatiotemporal variation function.Base on the analysis ofthe relationship between parameters and displacement, the calculation procedure was given and method of temporal-spatial interpolation was put forward. Then Kriging interpolation prediction model with space-time unification and DGM(1,1) grey prediction model were applied to predict the vault displacement within a certain scope ahead of excavation face at any time during tunnel construction. Sunanshan Tunnel is located in Loudi City of Hunan Province, which was taken as the test subject to analyze displacement differences between the predicted values and the measured values of the above two prediction models, and the predicted values and measured values were cross-checked respectively. The results show that compared with the DGM(1,1) grey prediction model, the prediction accuracy of unified space-time Kriging model is higher, which shows that it can more accurately predict the trend of the vault settlement displacement and proves to be effective and feasible in displacement prediction of surrounding rock in actual tunnel project.

Kriging model; tunnel project; displacement prediction; grey prediction theory; tunnel face

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.12.025

TU441

A

1672?7207(2017)12?3328?07

2016?12?15；

2017?03?12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51108176)(Project(51108176) supported by the National Natural Science Foundation of China)

胡達(dá)，博士研究生，工程師，從事巖土工程研究；E-mail：huda-2005@163.com