楊勇，王家序, 2，周青華，祝晉旋，楊萬友

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橢圓凸輪波發(fā)生器零側(cè)隙諧波齒輪傳動共軛齒廓精確求解

楊勇1，王家序1, 2，周青華1，祝晉旋1，楊萬友1

(1. 四川大學(xué) 空天科學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都，610065；2. 重慶大學(xué) 機械傳動國家重點實驗室，重慶，400044)

提出一種凸輪波發(fā)生器諧波傳動共軛齒廓精確求解法，該方法在求解過程中不作近似處理，并以原始曲線呈橢圓為例演示該算法求解共軛齒廓的過程。對雙圓弧齒廓諧波傳動共軛區(qū)間和共軛齒廓進行計算比較，結(jié)合有限元分析，驗證算法的正確性和合理性。通過對不同算法求得的2組諧波傳動分別求出側(cè)隙分布和運用限元分析求得應(yīng)力分布。研究結(jié)果表明：本文算法所得側(cè)隙分布較近似算法更加微小均勻，并且由本文解法所得傳動應(yīng)力分布狀況更優(yōu)。

諧波齒輪；雙圓弧齒廓；共軛；精確算法；橢圓

諧波齒輪傳動因結(jié)構(gòu)緊湊、質(zhì)量輕、體積小而減速比大、傳動精度高等諸多優(yōu)點，廣泛運用于航空航天和工業(yè)機器人等特殊領(lǐng)域。為了提高其傳動性能，國內(nèi)外學(xué)者對其運動學(xué)和嚙合理論[1?6]、振動與動態(tài)性能[7?8]、齒廓形狀[9?11]、位置精度[12?13]等領(lǐng)域開展了大量研究。隨著空間機器人和航天飛行器的快速發(fā)展，對諧波減速器的性能，尤其是對體積、質(zhì)量和傳動精度等指標提出了更加嚴格的要求。諧波齒輪傳動在波發(fā)生器作用下柔輪產(chǎn)生的周期性彈性變形是獲得大變速比的前提，而且這種彈性變形決定著兩輪輪齒共軛運動的規(guī)律。為獲得更優(yōu)的嚙合性能和傳動精度，對諧波傳動中柔輪的變形進行深入研究，建立更精確的齒廓共軛算法實現(xiàn)零側(cè)隙傳動尤為必要。諧波減速器在裝配后柔輪產(chǎn)生變形，柔輪輪齒的位置變化除徑向位移和切向位移外，其對稱線還相對于矢徑旋轉(zhuǎn)了一個角度。在用包絡(luò)理論和運動學(xué)法求諧波齒輪傳動共軛齒廓的方法中，為了計算方便，對柔輪輪齒對稱線相對于矢徑的轉(zhuǎn)角和柔輪中線變形的切向位移引起的轉(zhuǎn)角都采用近似方法求解。DONG等[4]提出了平面諧波傳動運動學(xué)原理，為建立更精確的共軛方程提供了理論基礎(chǔ)。陳曉霞等[6]提出了基于柔輪彈性變形的包絡(luò)理論精確算法，提高了共軛齒廓求解精度，但仍可完善。本文作者參考現(xiàn)有柔輪彈性變形的多種分析和求解方法[1?6]，在假設(shè)1) 理想輕載，假設(shè)2) 柔輪中線變形前后不伸長，假設(shè)3) 柔輪輪齒相對柔輪齒槽為剛體，假設(shè)4) 變形后柔輪緊密貼合波發(fā)生器等的基礎(chǔ)上，提出一種基于柔輪彈性變形和運動學(xué)的共軛精確算法。在輪齒嚙合端，精確計算橢圓弧長、柔輪輪齒對稱線相對于矢徑的轉(zhuǎn)角、柔輪中線變形切向位移引起的轉(zhuǎn)角等各個參數(shù)，建立嚙合方程，并利用數(shù)值法計算變形后柔輪齒的共軛齒廓，為零側(cè)隙諧波齒輪傳動共軛齒廓的求解和優(yōu)化提供指導(dǎo)。

1 建立坐標系統(tǒng)及確定自變量

圖1 極坐標中柔輪中性線變形前后

在極坐標系中平面曲線的弧長計算公式如下

而不應(yīng)是現(xiàn)在近似方法普遍運用的

因此，求解諧波傳動共軛齒廓可以考慮使用以上推導(dǎo)的精確表達式，或?qū)λ羞\動參數(shù)選擇以1(而不是)為自變量表示進行求解，1為以波發(fā)生器長軸為極軸的極坐標系的極角。本文算法取1為自變量表示所有運動參數(shù)，可精確簡便地求解橢圓波發(fā)生器雙圓弧齒廓諧波傳動共軛齒廓。

建立如圖2所示的坐標系統(tǒng)，用于描述柔輪、剛輪和波發(fā)生器之間的相對運動以及柔輪中線變形曲線上選定點的位移。假設(shè)剛輪固定，波發(fā)生器逆時針旋轉(zhuǎn)輸入，柔輪順時針旋轉(zhuǎn)輸出。其中固定坐標系2{2，2，2}與剛輪相固連，2軸與剛輪齒槽對稱線重合，原點2位于剛輪回轉(zhuǎn)中心。動坐標系{，，}和1{1，1，1}分別與波發(fā)生器和柔輪嚙合端輪齒相固連，軸與波發(fā)生器的長軸重合，原點位于波發(fā)生器的回轉(zhuǎn)中心；1軸與柔輪輪齒對稱線重合，原點1位于柔輪中線上。

柔輪中線變形曲線的位移示意如圖2所示。初始位置是：1，2和三軸共線，坐標系，2重合，坐標系1中1點位于波發(fā)生器長軸頂點。圖中所示位置為波發(fā)生器相對于2軸逆時針旋轉(zhuǎn)2時，柔輪非變形端相對于2軸順時針旋轉(zhuǎn)，而變形端則順時針旋轉(zhuǎn)。根據(jù)諧波傳動摩擦模型的運動學(xué)理論可知，傳動時剛輪節(jié)圓和柔輪彈性節(jié)曲線是作純滾動[1, 4]。因此剛輪相對波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)的角度2和柔輪相對波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)的角度1之間有如下關(guān)系：

圖2 諧波傳動坐標系統(tǒng)

柔輪中線變形曲線由波發(fā)生器的形狀決定，變形曲線的自變量為柔輪未變形端相對于波發(fā)生器長軸所旋轉(zhuǎn)的角度，以圖2所示順時針為正。對圖中轉(zhuǎn)角變量，取方向與箭頭方向一致為正值，否則為負值。波發(fā)生器迫使柔輪嚙合端中線發(fā)生變形，使得1點從1處移動到圖示1處，而且法線由1方向變?yōu)?方向。

極徑1的長度表達式如下

對式(7)求導(dǎo)可得

基于諧波傳動中柔輪變形前后其中線不伸長的假設(shè)，可由下式確定

圖2中其他角度也都能寫成關(guān)于1的函數(shù)：

2 傳統(tǒng)算法中的近似處理

在求諧波傳動共軛齒形的傳統(tǒng)包絡(luò)法[1]中，以柔輪未變形端轉(zhuǎn)角為自變量，表示出矢徑()、徑向變形()、周向變形()和轉(zhuǎn)角變形()等變量，再作一些簡化計算的近似處理來求解。主要存在以下近似處理。

2.1 變形后柔輪中性層變形曲線轉(zhuǎn)角

為求得變形后柔輪中性層變形曲線轉(zhuǎn)角1，傳統(tǒng)算法還需對式(2)做如下近似處理[6]，否則不能解析表達。

由此可將1表示成自變量的函數(shù)，即

而在本文算法中，以1為自變量，式(13)不僅能夠精確表示，還可以方便地運用數(shù)學(xué)軟件進行處理和計算。

2.2 齒廓對稱線相對于徑矢的轉(zhuǎn)角

對于柔輪輪齒對稱線相對于徑矢轉(zhuǎn)過角度，為便于計算進行了以下近似處理[1]。

因為不會增加太多計算困難，所以本文算法對沒有進行近似處理；文獻[6]中雖然也沒有采用近似處理，但需由1用復(fù)雜的定積分表示，大大增加了計算難度。

3 求解共軛齒廓的精確算法

圖2中坐標系1到2的坐標變換矩陣21和底矢變換矩陣21分別如下：

1.2 現(xiàn)代中醫(yī)研究 現(xiàn)代中醫(yī)對小兒厭食癥也多有研究，趙瓊等[3]分析認為本病證型以脾胃氣虛、脾虛食積、脾胃陰虛、脾虛濕困、肝脾不調(diào)為主。溫愛平等[4]研究顯示，小兒厭食病因為飲食不節(jié)、多病久病、暑濕熏蒸、先天不足，其中飲食不節(jié)占53.1%。胡愛國[5]對300例厭食癥患兒進行病因分析，發(fā)現(xiàn)飲食不節(jié)、喂養(yǎng)不當(dāng)者占47.9%，多病久病、傷害脾胃者占27.1%，先天不足、后天失調(diào)者占20.8%，暑濕熏蒸、脾陽失展者占3.3%，環(huán)境變化，思慮傷脾者占0.8%。閆雁等[6]則認為小兒厭食尚有肝脾郁結(jié)、肝陰虛、肝膽濕熱證型，故從肝論治本病能取得較好療效。

根據(jù)運動學(xué)法，在相互包絡(luò)齒廓的接觸點處，相對運動的速度矢量應(yīng)當(dāng)垂直于齒廓的法線矢量，即兩曲面在接觸點處必須滿足以下嚙合方程[15]

式中：和(12)分別表示在坐標系S中兩共軛曲面在接觸點處的公法矢和相對速度矢。

定義矩陣，令

4 計算實例

以波發(fā)生器為標準橢圓凸輪的雙圓弧諧波齒輪傳動為例，柔輪輪齒局部坐標系和公切線式雙圓弧齒廓如圖3所示。

選取模數(shù)0.317 5 mm，徑向變形系數(shù)0=1.0，全齒高=1.5 m，齒頂高a=0.6 m，齒根高f=0.9 m，柔輪齒數(shù)z=160，剛輪齒數(shù)z=162，具體參數(shù)見表1。

圖3 雙圓弧齒廓及柔輪輪齒坐標系

表1 柔輪齒廓參數(shù)

4.1 所得共軛離散點比較

分別采用近似算法和本文所提的精確算法求得此諧波傳動柔輪的共軛區(qū)間和共軛齒廓，如圖4和圖5所示。

從圖4可看出：由不同算法求得柔輪齒廓上各個點發(fā)生共軛時對應(yīng)的有明顯差異，且在共軛Ⅰ區(qū)兩者的差別較共軛Ⅱ區(qū)更加顯著(齒廓的先、后2次共軛區(qū)域，分別稱為共軛Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)[17])。在共軛Ⅰ區(qū)靠近齒頂或齒根處差異要小于中間部分，差異由中間向兩端逐漸減??；而在共軛Ⅱ區(qū)除凸圓弧齒廓和直線段齒廓相切點附近差別明顯較大外，其他地方差異則較為均勻。采用本文算法得出的齒廓共軛區(qū)域Ⅰ和Ⅱ之間的距離更近，總共軛區(qū)間明顯大于近似算法的總共軛區(qū)間，將使參與嚙合的齒對處于共軛嚙合而不是尖點嚙合的數(shù)目更多，對提高雙圓弧諧波齒輪傳動精度和扭轉(zhuǎn)剛度有重要意義。

本例諧波傳動存在2次共軛現(xiàn)象，由本文算法求得的第1次共軛區(qū)間為[2.912 307°，10.880 029°]，第2次共軛區(qū)間為[12.493 927°，46.968 601°]；而由近似算法求得的第1次和第2次共軛區(qū)間分別為 [2.549 667°，7.786 985°]與[13.652 177°，46.018 008°]。第1次和第2次共軛區(qū)間最小角度偏移量分別為0.362 640°和1.158 250°，最大角度偏移量為3.093 045°和0.950 593°。定義偏移角度與共軛區(qū)間大小之比為偏差[6]，則在第1次共軛區(qū)間內(nèi)最大值偏差為38.82%，最小值偏差為4.55%；在第2次共軛區(qū)間內(nèi)最大值偏差為2.76%，最小值偏差為3.36%。

圖4 柔輪齒廓共軛區(qū)間比較

圖5所示為不同算法對求取剛輪的理論共軛齒廓的影響。由圖5可知：算法差異對共軛凹齒廓的影響很小，而對共軛凸齒廓的影響更明顯。因為諧波齒輪齒廓精細，細微的變化可能明顯改善性能，特別是對輪齒側(cè)隙影響顯著(因側(cè)隙為微米級)，所以不容忽視。

(a) 凹齒廓；(b) 凸齒廓

4.2 圓弧擬合后比較

本例中柔輪齒廓參數(shù)是經(jīng)過文獻[17]提出的齒廓優(yōu)化方法得出的優(yōu)化值，存在一定“雙共軛區(qū)”，易于實現(xiàn)諧波齒輪的零側(cè)隙傳動。為便于加工制造和量化分析，對分別由2種算法求得的柔輪共軛齒廓離散點進行圓弧擬合，得到各自對應(yīng)的剛輪齒廓，其相關(guān)參數(shù)見表2。

表2 剛輪齒廓參數(shù)對比

從表2可看出：2種算法求得的齒廓各個參數(shù)的差別在10?2 mm的量級上，而且算法的不同對剛輪凸齒廓的影響較凹齒廓更明顯。定義齒廓半徑差與半徑之比為偏差，則凹齒廓半徑偏差為1.72%，凸齒廓半徑偏差為8.50%。

為直觀地反映裝配變形后雙圓弧諧波齒輪的嚙合狀態(tài)及側(cè)隙分布，通過不斷改變波發(fā)生器轉(zhuǎn)角，對柔輪齒廓坐標進行坐標變換來模擬柔輪和剛輪輪齒的相對運動狀態(tài)。在波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)取0°~90°，基于本文提出共軛算法的柔輪輪齒相對于剛輪齒槽的運動軌跡如圖6所示。由圖6可知：嚙合過程中柔輪與剛輪齒廓未發(fā)生干涉。

1—剛輪齒廓；2—柔輪齒廓。

此例中波發(fā)生器單側(cè)嚙合齒對為23對，運用文獻[18]提出的側(cè)隙求解方法，基于MATLAB設(shè)計程序計算各齒對側(cè)隙。在橢圓凸輪波發(fā)生器作用下，由不同算法求得的2組齒輪副之間的側(cè)隙分布如圖7所示，圖中，橫坐標表示齒數(shù)，將波發(fā)生器長軸對應(yīng)的柔輪輪齒記為0，往右側(cè)數(shù)依次記為1，2，3，…，，往左側(cè)方向的齒則記為負數(shù)；縱坐標表示側(cè)隙，對已發(fā)生齒廓重疊干涉的齒對側(cè)隙用負數(shù)表示，經(jīng)驗證均沒有干涉發(fā)生。從圖7可看出：根據(jù)本文算法求得的齒輪副齒對之間側(cè)隙分布均勻，右側(cè)各個齒對整體上側(cè)隙在0.2 μm左右，最大值為0.316 4 μm對應(yīng)橫坐標為1，最小值為0.052 4 μm；而近似算法右側(cè)各齒對間側(cè)隙分布不夠均勻。雖然2組齒廓側(cè)隙都很小，但根據(jù)本文算法求得的齒輪副齒對間側(cè)隙分布較近似算法波動性更小、更均勻，在動力傳遞中有利于合理分配齒間載荷，減小振動沖擊，提高承載能力和傳動性能。

1—本文算法；2—近似算法。

4.3 有限元分析

考慮到傳動時沒有軸向力，也沒有限制軸向應(yīng)變的約束，因而沒有軸向應(yīng)力，采用平面應(yīng)力有限元模型是合理的[9]。諧波齒輪傳動由剛輪、柔輪和波發(fā)生器組成，波發(fā)生器帶有滾珠軸承外圈呈橢圓，當(dāng)波發(fā)生器裝入柔輪內(nèi)，柔輪內(nèi)圈將與波發(fā)生器外圈相貼合而呈橢圓，在有限元模型中可略去滾珠軸承把波發(fā)生器簡化成橢圓形的剛體[11]。按照本例雙圓弧諧波傳動所求參數(shù)，在UGNX中建立三維模型，提取二維特征后以Parasolid格式導(dǎo)入非線性有限元分析軟件ABAQUES進行平面有限元分析。柔輪材料為30CrMnSiNiA，彈性模量為206 GPa，剛輪材料為45鋼，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7.8×103kg/m3。

因可能涉及到非常大的網(wǎng)格扭曲問題，采用細網(wǎng)格剖分的線性減縮積分單元CPS4R對諧波傳動各組件進行結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分，并對裝配和傳動過程中參與嚙合計算的輪齒齒側(cè)及齒根處的網(wǎng)格適當(dāng)加密網(wǎng)格大小為0.02 mm。在整個有限元模型中上下半橢圓凸輪分別劃分為2 180個CPS4R單元，環(huán)形柔輪被劃分成176 114個CPS4R單元，剛輪被劃分成146 379個CPS4R單元和4 111個CPS3單元。裝配后網(wǎng)格劃分情況如圖8所示。采用動力顯式模塊Explicit進行準靜態(tài)分析，模擬波發(fā)生器裝配入柔輪的過程。由于在波發(fā)生器裝入前，柔輪體是圓形的，而波發(fā)生器是橢圓，其長軸要比柔輪體內(nèi)圓半徑大，因此在對諧波齒輪進行模擬裝配時，先將波發(fā)生器分成2個半橢圓，2個半橢圓分別向內(nèi)縮進徑向變形量0=0.317 5 mm，分別指定好各自的參考點，模擬時把上下2個半橢圓視為剛體，在定義邊界條件時給定上半凸輪參考點向上的位移和下半凸輪參考點向下的位移，其值為0。由于柔輪被撐開后柔輪上某些區(qū)域可能變形量較大，屬于大位移，所以在分析時，設(shè)置成非線性分析，分析完成后，2個參考點剛好在凸輪中心點重合，柔輪發(fā)生初始變形，形成初始應(yīng)力，同時還可以看到柔輪，剛輪在裝配后的初始嚙合情況。接著類似普通齒輪副嚙合靜力分析方法，設(shè)置剛輪與柔輪之間的摩擦因數(shù)設(shè)為0.01，柔輪內(nèi)壁固定，在剛輪回轉(zhuǎn)中心上加載 20 N·m轉(zhuǎn)矩，采用通用模塊Standard求解，分析受力情況。

圖8 諧波齒輪有限元模型網(wǎng)格劃分

圖9所示為二維諧波傳動有限元分析結(jié)果。由圖9可見：對于施加相等轉(zhuǎn)矩二者呈現(xiàn)出不同的應(yīng)力分布狀態(tài)，最大應(yīng)力相差近40%。本文算法所得的各接觸齒對間受力較均勻，而由近似算法所得應(yīng)力中有少部分接觸齒對受力很小，對于嚙入較深主要承受載荷的6對齒，本文算法所得的柔輪齒根應(yīng)力比近似算法同位置的應(yīng)力均小10 MPa，而本文算法所得的齒面應(yīng)力比近似算法的均勻得多，本文算法所得為218，213，221，292，331和341 MPa；近似算法為205，188，322，412，522和481 MPa；而對于嚙出部分，本文算法所得嚙出齒對柔輪剛輪齒頂間隙比近似算法所得的大，出現(xiàn)齒頂干涉的可能性更低。綜上可知，采用本文算法求得的剛輪齒廓與柔輪齒嚙合時將具有更好的力學(xué)性能。

(a) 本文算法；(b) 近似算法

5 結(jié)論

1) 提出一種求解共軛齒廓的精確算法，可方便地求解計算，所得共軛點更可靠。

2) 從數(shù)學(xué)上，傳統(tǒng)算法中表示柔輪變形前后對應(yīng)弧長相等的等式兩邊不是精確相等而是近似相等，因而給出了精確表達式。

3) 本文算法求得的諧波傳動側(cè)隙要比近似算法求得的結(jié)果更為均勻合理，波動性更小，這對提高諧波傳動承載能力和傳動性能有重要意義。

4) 通過對實例進行有限元分析，得出采用本文算法求出的剛輪齒廓與柔輪嚙合過程中將具有更佳的應(yīng)力分布，也可降低發(fā)生齒頂干涉的可能。

5) 文中以原始曲線為橢圓的凸輪波發(fā)生器諧波齒輪傳動為例介紹共軛齒廓精確求解法，但此方法的求解思想對原始曲線為(工程上有應(yīng)用的)任意形狀的諧波傳齒輪動都適用。

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(編輯 趙俊)

Exact solution for conjugate profiles of zero backlash harmonic drives with elliptical cam wave generators

YANG Yong1, WANG Jiaxu1, 2, ZHOU Qinghua1, ZHU Jinxuan1, YANG Wanyou1

(1. School of Aeronautics and Astronautics, Sichuan University, Chengdu 610065, China; 2. State Key Laboratory of Mechanical Transmissions, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

An exact solution for conjugate profiles of a harmonic drive (HD) with a cam wave generator was presented. The details of the precise solution without approximate treatments were demonstrated through solving the conjugated tooth profiles of a HD with an elliptical cam generator. The accuracy and effectiveness of the proposed solution were verified by comparative analyses of conjugate domains and conjugate tooth profiles of HDs with double-circular-arc tooth profile (DCTP). The differences between the backlash distributions derived by the two algorithms and the finite element analyses (FEA) of the HDs were obtained. The results reveal that smaller and more uniform backlash distributions and better distributions of stress are achieved with the proposed exact solution.

harmonic drive; double-circular-arc tooth profile; conjugate; exact solution; ellipse

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.12.013

TH132.43

A

1672?7207(2017)12?3231?08

2016?12?12；

2017?03?18

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863計劃)項目(2015AA043001)；國家自然科學(xué)基金資助項目(51435001，51405316)；中航工業(yè)產(chǎn)學(xué)研專項(CXY2013CD36)(Project (2015AA043001) supported by the National High-Tech Research and Development Program (863 Program) of China; Projects (51435001, 51405316) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (CXY2013CD36) supported by the Industry University Research Projects of Aviation Industry Corporation of China)

周青華，博士，副教授，從事空間摩擦學(xué)與可靠性工程、多尺度飛行器機構(gòu)設(shè)計與分析研究；E-mail：qh.zhou@foxmail.com