摘 要：縱觀近年數(shù)學(xué)中考，對(duì)幾何入門的考查相當(dāng)純粹，比如解答題部分中的第一道幾何題，動(dòng)輒就是以教科書中的原題或只是略作改編后呈現(xiàn)。即便如此，學(xué)生的答題得分情況仍不盡如人意，存在各式各樣的問題，其很大原因是學(xué)生在幾何入門學(xué)習(xí)時(shí)出了問題。本文以筆者十幾年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)為立足點(diǎn)，通過幾個(gè)方面談?wù)劤踔袔缀稳腴T的考與教。

關(guān)鍵詞：中考；規(guī)范化；邏輯推理能力；基本圖形

圖形與幾何是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在中考涉及的知識(shí)點(diǎn)中近乎占據(jù)半壁江山，涵蓋空間和平面基本圖形的認(rèn)識(shí)，圖形的性質(zhì)、分類和度量，圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱、相似和投影，平面圖形基本性質(zhì)的證明，運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形的位置和運(yùn)動(dòng)等方面的內(nèi)容，旨在注重發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式，教學(xué)中教師應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感，培養(yǎng)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)、規(guī)范書寫、科學(xué)使用符號(hào)的良好習(xí)慣；空間觀念主要是指發(fā)展學(xué)生的圖形感，培養(yǎng)和提高學(xué)生在解決幾何問題中的識(shí)圖與畫圖、析圖與用圖、變圖與比圖等能力；幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，形成“以形助數(shù)、以數(shù)解形”的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；推理能力的發(fā)展貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，旨在培養(yǎng)學(xué)生合情推理和演繹推理的邏輯思維能力，清晰地表達(dá)自己的想法。

上述數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都是基于初中幾何入門教學(xué)而形成的。因此，初中幾何入門教學(xué)是整個(gè)幾何教學(xué)的基石，對(duì)后續(xù)的教學(xué)有著深遠(yuǎn)影響?？v觀近年數(shù)學(xué)中考，對(duì)幾何入門的考查相當(dāng)純粹，比如解答題部分中的第一道幾何題，動(dòng)輒就是以教科書中的原題或只是略作改編后呈現(xiàn)。

例1 （2014年福州，第17題）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C。求證：∠A=∠D。（新人教版八年級(jí)上冊P39練習(xí)第2題，原題）

例2 （2015年福州，第19題）如圖2，∠1=∠2，∠3=∠4。求證：AC=AD。（新人教版八年級(jí)上冊P44習(xí)題12.2第4題，原題）

例3 （2016年福州，第21題）一個(gè)平分角的儀器如圖3所示，其中AB=AD，BC=DC。求證：∠BAC=∠DAC。（新人教版八年級(jí)上冊P4812.3角平分線的性質(zhì)思考，原題）

例4 （2017年福州，第18題）如圖4，已知AC=DF，CB=FE，AD=BE，求證：∠C=∠F。（新人教版八年級(jí)上冊P44習(xí)題12.2第9題，原題）

數(shù)學(xué)中考中即便是以原題呈現(xiàn)，學(xué)生的答題得分情況仍不盡如人意，存在著各式各樣的問題。下面筆者以2016年福州市初中畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢測第21題的學(xué)生答題情況為例，歸納整理其中的問題，為幾何入門教學(xué)提供一些參考。此題改編自新人教版八年級(jí)上冊第十二章第56頁第9題，改編后難度下降。

例5 （新人教版八年級(jí)上P56復(fù)習(xí)題12第9題）如圖5，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，

BE⊥CE，垂足分別是D，E。AD=2.5 cm，DE=1.7 cm。求BE的長。

（2016福州二檢·21題）如圖6，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E。求證： △ACD≌△CBE。

此8分，主要考查全等三角形的判定，涉及的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有角的表示（七上）、三角形內(nèi)角和定理（八上）、直角三角形的兩個(gè)銳角互余（八上）、同（等）角的余角相等（七上）及三角形全等的判定（八上）。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，此題全福州市考生的得分情況如上方統(tǒng)計(jì)圖。

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，此題平均分為5.62分，滿分率僅45.38%，15.19%的考生得分為0，29.71%的考生得分在5分以下。隨機(jī)抽查一些學(xué)生的答卷，除空白卷外，失分現(xiàn)象主要集中在以下五個(gè)方面：一是書寫不規(guī)范。首先是角的表示不規(guī)范，只能用三個(gè)大寫字母表示角時(shí)只用一個(gè)字母表示角。其次是用三角形內(nèi)角和定理求角度時(shí)書寫不規(guī)范，如∠B+∠BCE=△BCE-∠E。再是字母、全等、角等符號(hào)書寫不規(guī)范，如把“∠”寫成了“<”或“C”，把“≌”寫成“≈”，把“∵”和“∴”寫反了等。二是邏輯不清晰。證明思路不同尋常，條理混亂、繁瑣，條件和結(jié)論不匹配，漏掉關(guān)鍵步驟，寫了很大的篇幅也沒有找準(zhǔn)解決問題的關(guān)鍵。三是卷面不整潔。解答過程字跡潦草、涂改嚴(yán)重、排版混亂，把答案寫到了圖形上甚至超出了規(guī)定的答題區(qū)域。四是條件隨意加。這類問題的學(xué)生主觀意識(shí)太強(qiáng)，看完圖形以后，憑主觀意識(shí)隨意添加條件，比如將度量的角度值或直接認(rèn)為∠BCE=30°作為條件。五是判定不理解。對(duì)全等三角形的判定方法不甚理解，如把HL作為本題全等的判定方法，而且還是把一個(gè)角和一條邊作為HL的判定條件。

二檢如此，中考亦是如此。初三的學(xué)生面對(duì)幾何入門的考查尚存諸多問題，作為教師必須深刻反思平時(shí)的教與學(xué)，尤其是幾何入門的教與學(xué)。教師作為執(zhí)教者和學(xué)生學(xué)習(xí)的引路人，在幾何入門教學(xué)時(shí)就應(yīng)十分重視這些問題的出現(xiàn)，及時(shí)糾正，為學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)。筆者認(rèn)為，如果教師在“教”的這三個(gè)方面下足工夫，那么學(xué)生在“學(xué)”上一定會(huì)大有收獲，快速做好幾何入門，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，提高邏輯推理能力。

一、 培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范書寫的習(xí)慣和能力。

規(guī)范是指按照既定標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)范的要求進(jìn)行操作，使某一行為或活動(dòng)達(dá)到或超越規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)。在幾何入門教學(xué)階段，應(yīng)該在哪些方面作規(guī)范化要求？

1. 符號(hào)書寫規(guī)范化。數(shù)學(xué)符號(hào)包括數(shù)量（π）、運(yùn)算（×）、關(guān)系（<）、性質(zhì)（±）、省略（Rt△）等符號(hào)。在教學(xué)過程中，每當(dāng)出現(xiàn)新的符號(hào)，教師應(yīng)認(rèn)真說明符號(hào)的含義，正確示范符號(hào)的規(guī)范書寫（如“≌”不能寫成“≈”），仔細(xì)區(qū)分與已學(xué)的哪些符號(hào)容易產(chǎn)生混淆（如“<”與“∠”，“△”與“A”）。教師可以把學(xué)生容易寫混的符號(hào)放在一起讓學(xué)生辨識(shí)、訓(xùn)練，還可以借鑒英語學(xué)科訓(xùn)練學(xué)生寫英文字母的要求進(jìn)行符號(hào)書寫訓(xùn)練，保證書寫規(guī)范。endprint

2. 答題排版規(guī)范化。平時(shí)應(yīng)要求學(xué)生養(yǎng)成只在指定區(qū)域答題的良好習(xí)慣，字跡工整，字號(hào)大小適宜；可根據(jù)不同題型將答題區(qū)域用分割線劃分成2～4欄；在劃分好的答題區(qū)域內(nèi)逐題從左往右自上而下逐行書寫，并留有一定的行間距；“∵”“∴”分行書寫。

3. 添輔助線規(guī)范化。解幾何問題經(jīng)常需要添加輔助線，而輔助線的添法必須在解題過程中用文字進(jìn)行準(zhǔn)確表述。因此，很有必要對(duì)學(xué)生進(jìn)行添輔助線的規(guī)范化訓(xùn)練。在教學(xué)時(shí)，每出現(xiàn)一種新的輔助線添加方法，教師就應(yīng)向?qū)W生進(jìn)行準(zhǔn)確表述示范，并不斷總結(jié)歸納常見添加輔助線的方法和準(zhǔn)確表述，讓學(xué)生熟能生巧。學(xué)生在剛接觸添加輔助線時(shí)，會(huì)有表述不完整或不嚴(yán)謹(jǐn)現(xiàn)象，甚至憑主觀意識(shí)讓輔助線具有“一線多得”的功能（如圖7，連接AC，使得AC平分∠BAD），此時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)給予糾正和規(guī)范，向?qū)W生說明錯(cuò)誤緣由。

4. 教師示范規(guī)范化。學(xué)生的規(guī)范書寫完全是基于教師的規(guī)范示范。在教學(xué)過程中，教師在課堂上說的每一句話，板書的每一個(gè)字和符號(hào)，都將直接影響學(xué)生對(duì)問題的準(zhǔn)確表述。因此，教師的言語表達(dá)要精準(zhǔn)，畫圖作圖要嚴(yán)謹(jǐn)，幾何語言、例題示范等板書要規(guī)范，給學(xué)生以標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)范的示范。

例如，在學(xué)習(xí)對(duì)頂角相等時(shí)，這個(gè)結(jié)論的三種文字語言應(yīng)如何板書才規(guī)范呢？

【文字語言】 【圖形語言】

（兩直線相交）對(duì)頂角相等

【符號(hào)語言】

（∵AB與CD交于點(diǎn)O）

∴∠AOC=∠BOD

“對(duì)頂角相等”這個(gè)結(jié)論雖然簡單，但在初學(xué)時(shí)，教師應(yīng)將這個(gè)結(jié)論的文字補(bǔ)齊（上述括號(hào)內(nèi)畫線部分）并工整板書，這樣更容易讓學(xué)生正確理解和使用這個(gè)結(jié)論。

另外，課堂上學(xué)生回答或板演時(shí)不規(guī)范的地方也要及時(shí)糾正；批改作業(yè)時(shí)，教師應(yīng)對(duì)錯(cuò)誤的地方進(jìn)行規(guī)范批注，對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤應(yīng)進(jìn)行歸類、反思，究其錯(cuò)因。如下面劃線部分是學(xué)生在初學(xué)全等時(shí)常見的一種錯(cuò)誤，應(yīng)及早防范，及時(shí)糾正。

∵△DBC≌△ECB

∴△DBC-△ABC=△ECB-△ABC

∴△DBA≌△ECA

5. PPT課件規(guī)范化?，F(xiàn)在，多數(shù)教師都會(huì)使用PPT課件輔助教學(xué)，尤其是公開課。因此，PPT課件中呈現(xiàn)的內(nèi)容是否規(guī)范直接影響教學(xué)效果。質(zhì)量好的PPT課件應(yīng)使用統(tǒng)一的母版、字體、字號(hào)、色彩等元素，排版工整，字號(hào)適當(dāng)，色彩對(duì)比度好，有良好的視覺效果。相反，如果粗制濫造，尤其是字號(hào)和字體不統(tǒng)一，也會(huì)影響學(xué)生的規(guī)范書寫。

二、 培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

很多學(xué)生解幾何問題時(shí)沒有解題思路，久而久之便有畏難情緒甚至失去信心。這是由于學(xué)生在幾何入門時(shí)沒有理解幾何證明的原理，在幾何語言的使用與互化、基本圖形的認(rèn)識(shí)與運(yùn)用、證明的格式與條理等方面沒有形成體系而導(dǎo)致的。因此，在幾何入門教學(xué)中，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生加強(qiáng)這些方面的訓(xùn)練，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

（一） 三種語言交互化

幾何的三種語言是指文字語言、圖形語言、符號(hào)語言。三者之間的互化是以圖形為紐帶，建立語言、符號(hào)之間的聯(lián)系。對(duì)三種語言的能力要求概括起來為“三化”，即每個(gè)幾何知識(shí)點(diǎn)的三種語言表述要規(guī)范化，相近幾何知識(shí)點(diǎn)的三種語言表述要系統(tǒng)化，所有幾何知識(shí)點(diǎn)的三種語言表述要網(wǎng)絡(luò)化。如以中點(diǎn)為例（如下圖），可以將與中點(diǎn)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來。

（二） 玩轉(zhuǎn)圖形意識(shí)化

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的。可見“數(shù)形結(jié)合”是十分重要的數(shù)學(xué)思想之一。作為幾何入門階段，教師應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的圖感，逐步培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖與畫圖、析圖與用圖、變圖與比圖等能力，為學(xué)生逐漸形成數(shù)學(xué)結(jié)合思想提供有力支撐。

識(shí)圖是分析圖形的基礎(chǔ)，識(shí)圖訓(xùn)練應(yīng)從簡到繁、從易到難，重點(diǎn)訓(xùn)練識(shí)別重要的基本圖形。這些圖形通常是考試的重點(diǎn)，也是解題的關(guān)鍵點(diǎn)，教師應(yīng)把它們從教科書中提煉出來作重點(diǎn)講解和梳理。比如“K形圖”“子母型直角三角形”“一線三等角”“雙A型相似三角形”“手拉手全等三角形”等等。

畫圖是從幾何語句到直觀圖形的操作過程，是分析、解決問題的基本環(huán)節(jié)。用尺規(guī)完成基本作圖、根據(jù)題意畫出圖形是學(xué)好幾何的基本技能。教學(xué)時(shí)，教師可只給出文字不給出圖形，采用分步訓(xùn)練法提高學(xué)生的畫圖能力。

例6 已知線段AC=3.3 cm。

（1） 點(diǎn)B在AC的上方，線段AB⊥AC，AB=2 cm，連接BC；

（2） AE⊥BC，垂足為E；

（3） 線段BD平分∠ABC，分別交AE，AC于點(diǎn)F，D；

（4） 線段FG∥BC交AC于G；

（5） 線段FH∥AC交BC于H。

析圖與用圖是指遇到復(fù)雜圖形式，學(xué)生能分析出圖形的生成過程，將其拆解成熟悉的基本圖形，再用基本圖形作為突破口，化整為零，解決問題。（如圖8）

變圖是指由一個(gè)基本圖形利用圖形變換或改變屬性等方式進(jìn)行變化，得出一個(gè)系列圖組，再對(duì)比變化前后的圖形的異同點(diǎn)，從而起到做一題通一類的效果，不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題能力。（如圖9）

學(xué)生的析圖、用圖、變圖、比圖等能力的形成是要有一個(gè)過程，但必須在幾何入門教學(xué)時(shí)教師就要做好引導(dǎo)并時(shí)常給予滲透。做到了這一點(diǎn)，相信學(xué)生的幾何解題能力會(huì)很出色。

（三） 解題析題模式化

雖題海無邊，但解題有法。對(duì)于解幾何題，其通法主要從三個(gè)方面入手：一是析文，仔細(xì)分析題意，找出由條件可直接得出的結(jié)論；二是觀圖，認(rèn)真觀察圖形，拆解圖形，找出其中的基本圖形；三是思論，思考需求的結(jié)論，找出條件與其之間的關(guān)聯(lián)。這三個(gè)方面的有機(jī)結(jié)合是解決幾何問題的關(guān)鍵所在。在幾何入門教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生這三個(gè)方面的能力。endprint

對(duì)毫無解題經(jīng)驗(yàn)的幾何初學(xué)者來說，難以快速找到解題思路和形成解題過程，教師可以采用“閱讀、排序、填空、說理、糾錯(cuò)”等形式呈現(xiàn)解題過程，幫助學(xué)生固化因果關(guān)系，強(qiáng)化邏輯推理意識(shí)，再按照“讀題→分析→猜想→驗(yàn)證→解答→反思”的解題流程對(duì)學(xué)生進(jìn)行模式化訓(xùn)練，讓其形成良好的解題習(xí)慣。

采用模式化訓(xùn)練固然有效，但前提是必須讓學(xué)生先認(rèn)識(shí)模式的產(chǎn)生，這就涉及對(duì)學(xué)習(xí)平面幾何的基本認(rèn)識(shí)以及落實(shí)知識(shí)的基本方法與方式。比如，在定義或定理教學(xué)中，教師不僅僅要關(guān)注定義或定理的內(nèi)容，更重要的是要深究其使用條件及價(jià)值，否則學(xué)生就難以形成解題思路。例如在與平行線有關(guān)的問題中，其關(guān)鍵條件是截線，只有找到截線才能建立起角之間的聯(lián)系。因此，解決平行線問題最常見的解題思路就是找截線到角。

例7 如圖，將△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別放在矩形DEFG的兩條邊上，如果∠ECB=54°，∠B=80°，那么∠BAF= °。

三、 用好教科書中的例題和習(xí)題。

從歷年的中考中發(fā)現(xiàn)，教科書中的例題和習(xí)題經(jīng)常會(huì)以原題或略作改編作為考題出現(xiàn)。因此，用好教科書中的例題和習(xí)題是十分有必要的，除了夯實(shí)幾何基礎(chǔ)，還能讓大部分學(xué)生在中考中輕松得分，何樂而不為呢？

（一） 用好例題的示范作用

教科書中的例題都是精挑細(xì)選，非常具有代表性的，對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)有很好的鞏固作用，對(duì)于幾何初學(xué)者來說，更具有很好的示范作用。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)認(rèn)真、詳細(xì)板書例題的解題過程，用彩筆標(biāo)記解題過程中的注意點(diǎn)或易錯(cuò)點(diǎn)，供學(xué)生閱讀、參考，逐步培養(yǎng)學(xué)生正確的書寫習(xí)慣。

（二） 深挖例題的導(dǎo)向作用

教科書中的例題或習(xí)題，通常還會(huì)被作為中考的母題來源。在教學(xué)過程中，除了講解原題的解法之外，教師還應(yīng)注重對(duì)其進(jìn)行拓展或變式，充分挖掘原題的數(shù)學(xué)價(jià)值和導(dǎo)向作用。

例8 已知△ABC和△CEF是正三角形。Ⅰ.如圖11～12，當(dāng)點(diǎn)B，C，E在同一直線上時(shí)，（1）求∠MCN的度數(shù)；（2）求證：△AEC≌△BFC；（3）求∠AGB的度數(shù)；（4）求證：CM=CN；（5）求證：△MCN是等邊三角形；（6）若CH⊥BF，CK⊥AE，垂足分別是H，K，則請判斷下列三個(gè)結(jié)論：①CH=CK；②GC平分∠BGE；③△HCK是等邊三角形，哪些是正確的？并說明理由；（7）若點(diǎn)H，K分別是BF，AE的中點(diǎn)。求證：①CH=CK；②△HCK是等邊三角形；（8）若CH，CK分別平分∠BCF，∠ACE。求證：①CH=CK；②△HCK是等邊三角形。Ⅱ.當(dāng)點(diǎn)B，C，E不在同一直線上時(shí)，以上結(jié)論中哪些依然成立？請說明理由。

（三） 融合基本圖形的體系作用

在幾何學(xué)習(xí)的不同階段，同一個(gè)基本圖形將體現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)價(jià)值。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)針對(duì)不同的學(xué)習(xí)階段，與學(xué)生一起總結(jié)歸納基本圖形的用法，并與已學(xué)的用法形成體系，這對(duì)不斷提高學(xué)生的解題、析題能力有很大的幫助。

例如，如圖13，子母型直角三角形，這是很重要的一個(gè)基本圖形。它最早出現(xiàn)在七年級(jí)下冊的《三角形》，所涉及的知識(shí)點(diǎn)是“直角三角形兩銳角互余”，用于計(jì)算角度；到八年級(jí)下冊的《勾股定理》，所涉及的知識(shí)點(diǎn)是“勾股定理”，用于計(jì)算線段長度；到九年級(jí)上冊的《圓》，所涉及的知識(shí)點(diǎn)是“圓周角定理”和“垂徑定理”，用于計(jì)算弦長或直徑；到九年級(jí)下冊的《相似三角形》《解直角三角形》，所涉及的知識(shí)點(diǎn)是“相似三角形”和“三角函數(shù)”，用于計(jì)算線段長度和建立邊角關(guān)系?？梢姡煌A段它有不同的作用和價(jià)值。教師應(yīng)不斷總結(jié)歸納，讓學(xué)生理解、領(lǐng)會(huì)這個(gè)基本圖形的價(jià)值和用法。

新課本指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。在幾何入門教學(xué)過程中，教師就應(yīng)著眼中考，多悟多思，不斷改進(jìn)教學(xué)方法，努力培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣和邏輯思維能力，促進(jìn)學(xué)生盡快入門，夯實(shí)基礎(chǔ)，良性發(fā)展。相信經(jīng)過三年的積累，學(xué)生的能力一定會(huì)上升到一個(gè)全新的高度。

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作者簡介：杜強(qiáng)，福建省福州市閩江學(xué)院附屬中學(xué)。endprint