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(北京自動化控制設(shè)備研究所，北京 100074)

0 引言

北斗二代衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國自主研發(fā)、建設(shè)、維護的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)[1]，目前可以滿足亞太地區(qū)的定位需求，對于我國的國防安全、信息安全與導(dǎo)航產(chǎn)業(yè)發(fā)展有著重要的意義[2]。北斗二代系統(tǒng)為區(qū)域系統(tǒng)，一期導(dǎo)航星座于2011年12月開始試運行[3]。截至2017年6月底，北斗二代導(dǎo)航系統(tǒng)已經(jīng)具備了7顆地球靜止軌道(GEO)衛(wèi)星、8顆傾斜地球同步軌道(IGSO)衛(wèi)星和7顆中軌道(MEO)衛(wèi)星在軌正常運行、工作。為了利用有限的資源來滿足亞太地區(qū)導(dǎo)航與定位的需求，北斗二代導(dǎo)航系統(tǒng)利用GEO衛(wèi)星來保證亞太地區(qū)實時有5顆可用星，保證了北斗系統(tǒng)在中國的重點范圍內(nèi)能夠應(yīng)用，而且隨著發(fā)射的衛(wèi)星越來越多，GEO衛(wèi)星可以提高在重點區(qū)域的定位、定速精度，在實際應(yīng)用中有著重要意義。由于GEO衛(wèi)星軌道傾角接近于0°，經(jīng)典GPS廣播星歷參數(shù)中部分參數(shù)定義存在奇異，因此導(dǎo)致經(jīng)典GPS廣播星歷參數(shù)擬合算法擬合精度降低[4]。杜蘭[5]等學(xué)者基于第一類無奇點根數(shù)，分析了無旋轉(zhuǎn)傾角的GEO兩步法星歷參數(shù)擬合算法，采用固定1～2個超限參數(shù)取值的縮減參數(shù)擬合法，取得了較好結(jié)果，但在某些時期擬合的用戶距離誤差較大。而現(xiàn)有北斗系統(tǒng)對其廣播星歷參數(shù)用戶算法進行了修正，即將GEO衛(wèi)星軌道坐標旋轉(zhuǎn)5°。從而在經(jīng)典廣播星歷參數(shù)用戶算法的基礎(chǔ)上提高了GEO衛(wèi)星軌道的擬合精度。但這樣傳統(tǒng)的用戶衛(wèi)星位置計算方法不再適用于GEO衛(wèi)星，需要考慮5°的人為轉(zhuǎn)角[9]。文獻[6]利用Chebyshev多項式擬合算法計算GEO衛(wèi)星位置，但在擬合時間越過星歷更新時刻時，需要多組星歷，增加了計算負擔，并且沒有涉及衛(wèi)星速度計算。文獻[7]采用第二類無奇點軌道根數(shù)，避免了北斗GEO用戶算法中坐標旋轉(zhuǎn)處理過程，但長時間擬合位置和速度精度有所損失。文獻[8]提出了一種基于衛(wèi)星位置差分的GEO衛(wèi)星速度解算方法,但該方法在GEO衛(wèi)星變軌時運算精度較低，無法滿足高精度的導(dǎo)航應(yīng)用需求。文獻[10]給出了GEO衛(wèi)星的速度微分計算方法，但該方法增加了矩陣微分運算，因此運算量較大。為此，本文首先推導(dǎo)了GEO衛(wèi)星速度的位置差分解算方法和微分解算方法，并對兩種計算速度的方法做了對比，分析了兩種方法的優(yōu)缺點，最后提出了基于加速度補償?shù)腉EO衛(wèi)星速度外推算法。仿真結(jié)果表明：該算法在保證GEO衛(wèi)星速度解算效率的前提下，提高了GEO衛(wèi)星在各種復(fù)雜運動狀態(tài)下的速度解算精度，具有較高的工程實踐應(yīng)用價值。

1 GEO衛(wèi)星速度解算方法

北斗系統(tǒng)中GEO衛(wèi)星保證了在中國區(qū)域內(nèi)始終有5顆以上的可用星，地位十分重要。對其速度的解算精度也直接關(guān)系到使用者的定速精度，現(xiàn)一般有兩種方法解算其速度。

1.1 GEO衛(wèi)星速度的位置差分法

由于GEO衛(wèi)星在大部分時刻運動速度較低且運動加速度較小，因此可以采用位置微分運算的方法，該方法的計算如下所示。

(1)

其中，Xk-1、Yk-1、Zk-1是上一時刻所計算出的衛(wèi)星位置，Δt是兩時刻之間的時間間隔。該方法的優(yōu)點是運算量較低，但是該方法計算出的是衛(wèi)星在2個定位時刻之間的平均速度，若是衛(wèi)星加速度較大，則會引入較大的誤差。

1.2 GEO衛(wèi)星速度的位置微分算法

由于北斗ICD中給出了GEO衛(wèi)星軌道參數(shù)的微分量，因此可以采用微分法對GEO衛(wèi)星的速度進行計算。

首先計算GEO的位置如式(2)所示[11]

(2)

(3)

(4)

1)計算觀測歷元的偏近點角變化率

(5)

(6)

2)計算緯度幅角變化率

(7)

(8)

(9)

(10)

4)計算慣性系下衛(wèi)星升交點經(jīng)度變化率

(11)

5)計算衛(wèi)星在自定義旋轉(zhuǎn)坐標系中的速度

(12)

(13)

2 兩種速度解算方法的對比

衛(wèi)星定速時需要實時地解算衛(wèi)星速度，而位置微分算法相較于位置差分算法來說更為準確，它可以解算出定位時刻所需的衛(wèi)星速度，而位置差分算法解出的卻是兩定位時刻之間的平均速度，在衛(wèi)星速度較大時，會給定速帶來誤差。

利用2017年3月3日的renix文件中的北斗星歷，在北斗時間2017年3月2日23點—2017年3月3日23點，分別對兩種方法計算的GEO衛(wèi)星速度進行仿真，其中衛(wèi)星位置差分的時間間隔為1s，以微分法解出的GEO速度為基準計算位置差分法的誤差，結(jié)果如圖1所示。

(a)地固系X向速度誤差(a) Satellites velocity error of X axis in ECEF

(b) 地固系Y向速度誤差(b) Satellites velocity error of Y axis in ECEF

(c) 地固系Z向速度誤差(c) Satellites velocity error of Z axis in ECEF圖1 1號GEO衛(wèi)星在地固系中速度誤差Fig.1 The error of PRN 1 GEO satellites velocity in ECEF

從圖1可知，在X、Y方向(ECEF系)上速度誤差較小，因為GEO衛(wèi)星為同步衛(wèi)星，在這2個方向上的速度分量小，加速度小；Z方向誤差雖然可以達到其他兩方向誤差的10倍，但量級依舊很小，最大只有約3mm/s的速度誤差，遠小于噪聲對定速造成的誤差，所以不會對定速造成影響。

表1 兩種算法時間對比

由以上仿真可知當GEO不存在大的機動時，利用位置差分法得到的GEO衛(wèi)星速度完全可以滿足接收機定速的精度要求，同時該方法可以大幅降低GEO衛(wèi)星的速度解算時間，降低北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的實現(xiàn)難度。

但是該方法的應(yīng)用前提是GEO衛(wèi)星軌道不存在軌道機動。軌道機動是指偏離預(yù)定軌道的衛(wèi)星在發(fā)動機推力的作用下調(diào)整軌道使衛(wèi)星返回到正確位置的工作[13]。軌道機動后，衛(wèi)星位置變化可達數(shù)十km。其中的GEO和IGSO衛(wèi)星由于其地球同步性，軌道機動比較頻繁[14]。但是當GEO衛(wèi)星機動發(fā)生，軌道預(yù)報將很快失效，一直到機動結(jié)束后較長時間內(nèi)星歷都不能有效使用，為此有眾多學(xué)者研究了衛(wèi)星機動期間定軌方法和機動后星歷快速恢復(fù)方法，使得衛(wèi)星機動期間的軌道參數(shù)精度可以接受[15]。為模擬其軌道的機動，選取一顆MEO衛(wèi)星進行對GEO衛(wèi)星軌道機動時的仿真，其結(jié)果如圖2所示。

(a) 軌道機動時地固系X向速度誤差(a) Satellites velocity error of X axis in ECEFduring orbital maneuver

(b) 軌道機動時地固系Y向速度誤差(b) Satellites velocity error of Y axis in ECEFduring orbital maneuver

(c) 軌道機動時地固系Z向速度誤差(c) Satellites velocity error of Z axis in ECEFduring orbital maneuver圖2 GEO衛(wèi)星軌道機動時在地固系中速度誤差Fig.2 The error of GEO satellites velocityduring orbital maneuver in ECEF

在軌道機動時差分算法會帶來很大的衛(wèi)星速度計算誤差。其誤差大小主要與機動時衛(wèi)星的加速度大小有關(guān)。當衛(wèi)星調(diào)整軌道時往往通過其內(nèi)部提供推力，產(chǎn)生較大加速度，在較短時間內(nèi)完成軌道調(diào)整。加速度與誤差關(guān)系如圖3所示。

圖3 衛(wèi)星加速度與速度誤差Fig.3 Satellites acceleration and velocity error

當不考慮任何測量誤差的情況下，地固系中的速度誤差將直接引入到接收機所測量的偽距率中，并按視線系和地理坐標系之間的角度關(guān)系分配到接收機所輸出的速度中，導(dǎo)致接收機的定速有一定偏差，不利于導(dǎo)航系統(tǒng)精度的提高。因此需要對這種方法進行改善。

3 基于速度外推的GEO衛(wèi)星速度計算方法

由之前的分析可知，利用位置差分法雖然可以降低GEO衛(wèi)星速度計算的運算量，但是若GEO衛(wèi)星存在較大的變軌機動時，則現(xiàn)有的位置差分法計算得到的GEO衛(wèi)星速度誤差較大，會影響接收機的定位精度，為了在保證GEO衛(wèi)星速度計算運算量的前提下進一步提高北斗衛(wèi)星導(dǎo)航接收機的定速精度，本文提出了一種基于接收機速度外推的GEO定速方法。

若已知衛(wèi)星的加速度，則可對衛(wèi)星速度進行補償。一種簡單的補償思想為視時間間隔內(nèi)的衛(wèi)星加速度不變，則位置差分算法計算的衛(wèi)星速度實際上是2個時刻中間時的瞬時速度，可以用式(14)進行補償，以減小速度延時造成的誤差，滿足高精度緊組合導(dǎo)航系統(tǒng)的應(yīng)用需求。

(14)

其中，Vxdk、Vydk、Vzdk分別為位置差分算法所計算的衛(wèi)星在地固系中的速度，axdk、aydk、azdk分別為位置差分算法所計算的衛(wèi)星在地固系中的加速度，Vxk、Vyk、Vzk為補償后的衛(wèi)星速度，利用式(2)對時間求導(dǎo)計算衛(wèi)星在地固系中的加速度。

(15)

(16)

(17)

其中，Vxdk -1、Vydk -1、Vzdk -1是上一周期位置差分所計算的衛(wèi)星速度。為驗證此種方法的可行性，在機動條件下將兩種方法得到的加速度做差對比，其結(jié)果如圖4所示，誤差基本在10-7量級，所以用式(17)計算完全可以滿足使用需求。

圖4 兩種方法計算衛(wèi)星加速度之差Fig.4 The difference of satellites accelerationcomputed by two methods

除式(14)外，還可以用多項式擬合法、引入加加速度法等對誤差進行補償，以上方法對誤差補償有一定改進效果，但由于加加速度較小而且衛(wèi)星機動的不確定性，有時也會產(chǎn)生更大誤差，本文僅討論式(14)的補償方法。

4 仿真分析

利用上述算法對第2節(jié)中軌道機動時的GEO衛(wèi)星速度差分算法進行補償，仿真結(jié)果如圖5所示。

(a) 補償后軌道機動時地固系X向速度誤差(a) Satellites velocity error of X axis in ECEF aftercompensating during orbital maneuver

(b) 補償后軌道機動時地固系Y向速度誤差(b) Satellites velocity error of Y axis in ECEF aftercompensating during orbital maneuver

(c) 補償后軌道機動時地固系Z向速度誤差(c) Satellites velocity error of Z axis in ECEF aftercompensating during orbital maneuver圖5 補償后的軌道機動GEO衛(wèi)星在地固系中速度誤差Fig.5 GEO satellites velocity error during orbitalmaneuver after compensating in ECEF

對比圖2，圖5中的速度誤差縮小到近1/4，尤其較好地補償了Z方向上的誤差，證明了加速度補償速度外推算法的有效性。

表2 差分法和速度外推法時間對比

兩種算法執(zhí)行效率相當，而補償后的精度卻可以提升約4倍以上，仿真結(jié)果證明了此算法的優(yōu)越性。

由于目前接收機的輸出頻率通常為5Hz，所以將接收機輸出的步長減小為0.2s時，使用差分法得到的軌道機動時GEO衛(wèi)星速度誤差如圖6所示。

當接收機輸出的時間間隔為0.2s時，利用速度外推法補償后的速度誤差如圖7所示。

(b)軌道機動時地固系Y向速度誤差(時間間隔0.2s)(b) Satellites velocity error of Y axis in ECEFduring orbital maneuver (time interval 0.2s)

(c)軌道機動時地固系Z向速度誤差(時間間隔0.2s)(c) Satellites velocity error of Z axis in ECEFduring orbital maneuver (time interval 0.2s)圖6 GEO衛(wèi)星軌道機動時在地固系中速度誤差(時間間隔0.2s)Fig.6 The error of GEO satellites velocity during orbitalmaneuver in ECEF(time interval 0.2s)

(a) 補償后軌道機動時地固系X向速度誤差(時間間隔0.2s)(a) Satellites velocity error of X axis in ECEF aftercompensating during orbital maneuver (time interval 0.2s)

(b) 補償后軌道機動時地固系Y向速度誤差(時間間隔0.2s)(b) Satellites velocity error of Y axis in ECEF aftercompensating during orbital maneuver (time interval 0.2s)

(c) 補償后軌道機動時地固系Z向速度誤差(時間間隔0.2s)(c) Satellites velocity error of Z axis in ECEF aftercompensating during orbital maneuver (time interval 0.2s)圖7 補償后的軌道機動GEO衛(wèi)星在地固系中速度誤差(時間間隔0.2s)Fig.7 GEO satellites velocity error during orbital maneuverafter compensating in ECEF (time interval 0.2s)

由圖7可以看出，衛(wèi)星位置之間的時間間隔越小，衛(wèi)星速度越準確，相應(yīng)的定速精度也就越高。而經(jīng)過補償?shù)乃俣日`差也達到了毫米量級，能夠滿足應(yīng)用需求。

由以上仿真結(jié)果可知：本文提出的基于速度外推的GEO衛(wèi)星速度計算方法在保證GEO衛(wèi)星速度解算速度的前提下，提高了GEO衛(wèi)星在各種復(fù)雜運動狀態(tài)下的速度解算精度。

5 結(jié)論

針對現(xiàn)有北斗GEO衛(wèi)星速度解算方法存在的缺陷，為了提高北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)在各種復(fù)雜環(huán)境下的導(dǎo)航精度，本文在已有的GEO衛(wèi)星速度解算方法的基礎(chǔ)上提出了一種基于速度外推的GEO衛(wèi)星速度計算方法，仿真結(jié)果表明：該算法在保證GEO衛(wèi)星速度解算速度的前提下，提高了GEO衛(wèi)星在各種復(fù)雜運動狀態(tài)下的速度解算精度，具有較高的工程實踐應(yīng)用價值，可以有效地提高北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的應(yīng)用效果。

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