初中數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)史的價(jià)值研究

蘇漢培+鄭成勇

【摘要】在新課改的背景下，研究數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能以外的價(jià)值與影響具有重要意義.本文在對(duì)初中數(shù)學(xué)教科書上的數(shù)學(xué)史材料進(jìn)行分析、分類、總結(jié)的基礎(chǔ)上，研究數(shù)學(xué)史對(duì)于初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中數(shù)學(xué)思考、情感態(tài)度的價(jià)值與作用，并探討數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)以外的教育影響（如德育影響等）.指明數(shù)學(xué)史不僅對(duì)于數(shù)學(xué)思考、情感態(tài)度的教育有實(shí)踐與應(yīng)用的價(jià)值，在學(xué)科教學(xué)以外，也能產(chǎn)生有價(jià)值的教育影響.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史；初中數(shù)學(xué)

一、初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史的現(xiàn)狀

本文以人教版為例，選取了人教版數(shù)學(xué)教材7年級(jí)上冊(cè)—9年級(jí)下冊(cè)，通過翻查，檢閱并一一記錄，發(fā)現(xiàn)人教版數(shù)學(xué)教材中在數(shù)學(xué)史的使用數(shù)量上有73處.內(nèi)容上多集中在幾何與代數(shù)上，如“勾股定理”“七橋問題”“斐波那契數(shù)列”等，數(shù)學(xué)名人名著上，本國數(shù)學(xué)名人名著的介紹要多于外國數(shù)學(xué)名人名著的介紹.史料來源上，多集中在古代，少有近代及現(xiàn)代的介紹.

在材料類型的分類上，選用華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的汪曉勤教授所建立的分析框架.將材料類型分為點(diǎn)綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式五類，每類的標(biāo)準(zhǔn)見下表[1].

材料類型標(biāo)準(zhǔn)

點(diǎn)綴式孤立的圖片，如數(shù)學(xué)家畫像、數(shù)學(xué)圖案、反映數(shù)學(xué)主題的繪畫或攝影作品等

附加式文字閱讀材料，包括數(shù)學(xué)家生平、數(shù)學(xué)概念和符號(hào)、思想的源泉、歷史上的數(shù)學(xué)問題、思想方法等

復(fù)制式正文各欄目中直接采用歷史上的數(shù)學(xué)問題、問題解法、定理證法等

順應(yīng)式正文各欄目中對(duì)歷史上數(shù)學(xué)問題進(jìn)行改編，使之具有適合于今日課堂教學(xué)的情境或?qū)傩?/p>

重構(gòu)式正文各欄目中借鑒或重構(gòu)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展歷史，以發(fā)生法來呈現(xiàn)知識(shí)

圖1 初中數(shù)學(xué)教材的數(shù)學(xué)史運(yùn)用情況

在上述數(shù)學(xué)史材料的分類標(biāo)準(zhǔn)下，本文發(fā)現(xiàn)，人教版數(shù)學(xué)教材7年級(jí)上冊(cè)—9年級(jí)下冊(cè)中，附加式的材料有35處，順應(yīng)式的材料有22處，復(fù)制式的材料有13處，重構(gòu)式和點(diǎn)綴式的材料分別有2處.建立餅狀圖如圖1所示.從圖1可以看出，數(shù)學(xué)史材料以附加式為最多，為47%，不利于將數(shù)學(xué)史融入實(shí)際教學(xué)當(dāng)中；點(diǎn)綴史與重構(gòu)式所占比例很少，對(duì)直觀教學(xué)的幫助不大；順應(yīng)式占比為30%，在將數(shù)學(xué)史融入實(shí)際教學(xué)中的效果不突出.總體來說，教材中數(shù)學(xué)史教學(xué)受到足夠的重視，但是對(duì)數(shù)學(xué)史的處理方式過于簡(jiǎn)單，同時(shí)也不利于將數(shù)學(xué)史融入實(shí)際教學(xué)當(dāng)中.

二、數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)思考的價(jià)值

數(shù)學(xué)思考，就是在面臨各種現(xiàn)實(shí)的問題情境，特別是非數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠從數(shù)學(xué)的角度去思考，自覺應(yīng)用數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法、思想和觀念去發(fā)現(xiàn)其中所存在的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)律，并運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)和思想方法去解決問題[2].數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).我們的生活離不開數(shù)學(xué)，當(dāng)然也就離不開數(shù)學(xué)思考.數(shù)學(xué)思考從哪里來，從數(shù)學(xué)教育中來.良好的數(shù)學(xué)教育不僅傳承和發(fā)展人類優(yōu)秀的文化，還要發(fā)展學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造想象能力，提升學(xué)生的理性思維、審美智慧和創(chuàng)新精神，還要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思考”問題.

數(shù)學(xué)思考包括的內(nèi)容[3]：

1.建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維和抽象思維.

2.體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機(jī)現(xiàn)象.

3.在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法.

4.學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式.

我們可以發(fā)現(xiàn)，新課標(biāo)提出的十大核心概念基本上是融合在數(shù)學(xué)思考內(nèi)容里的.從這里可以看出，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考多么重要.知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度四個(gè)方面目標(biāo)不是相互獨(dú)立和割裂的，而是一個(gè)密切聯(lián)系、相互交融的有機(jī)整體.數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度的發(fā)展離不開知識(shí)技能的學(xué)習(xí)，知識(shí)技能的學(xué)習(xí)必須有利于其他三個(gè)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).這些目標(biāo)的整體實(shí)現(xiàn)，才能使學(xué)生受到良好的數(shù)學(xué)教育.

在數(shù)學(xué)史中，有丟番圖的墓志問題[4]：“他的生命的六分之一是幸福的童年.再活十二分之一，頰上長(zhǎng)出細(xì)細(xì)須.又過了生命的七分之一才結(jié)婚.再過5年他感到很幸福，得了一個(gè)兒子.可是這孩子光輝燦爛的生命只有他父親的一半.兒子死后，老人在悲痛中活了4年，結(jié)束了塵世的生涯.”

這個(gè)問題很容易轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，這個(gè)數(shù)學(xué)史的經(jīng)典例子來源于生活，具有直觀性，對(duì)于啟發(fā)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為方程來求解無疑有極大幫助.

又如，如圖2所示的柯尼斯堡七橋問題[4]：“18世紀(jì)初普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個(gè)小島，有七座橋把兩個(gè)島與河岸聯(lián)系起來（如圖2右所示）.有個(gè)人提出一個(gè)問題：一個(gè)步行者怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發(fā)點(diǎn)？”

圖2 柯尼斯堡七橋問題

通過一個(gè)直觀又看似簡(jiǎn)單的問題進(jìn)而延伸到一筆畫問題——拓?fù)鋯栴}等數(shù)學(xué)問題.不但加強(qiáng)學(xué)生的對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，也啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考.

三、數(shù)學(xué)史對(duì)情感態(tài)度的價(jià)值

情感態(tài)度的內(nèi)容包括：

1.能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心與求知欲.

2.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.

3.初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系及對(duì)人類歷史發(fā)展的作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性[3].

4.形成實(shí)事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨(dú)立思考的習(xí)慣.

同時(shí)，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教學(xué)要使“學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展”.這就告訴我們：數(shù)學(xué)教學(xué)的過程，既是認(rèn)知活動(dòng)的過程，也是情意活動(dòng)的過程.而直觀性、啟發(fā)性的原則對(duì)情感態(tài)度與價(jià)值觀塑造要求要以具體材料為依據(jù).數(shù)學(xué)本身是抽象的，在情感態(tài)度與價(jià)值觀塑造上不能起很大的作用，而數(shù)學(xué)史在直觀材料上起到很好的補(bǔ)充.endprint

以三次數(shù)學(xué)危機(jī)為例：

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由希帕索斯發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無理數(shù)2而導(dǎo)致的.小小2的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)暴.它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰（畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為所有數(shù)都能以整數(shù)或整數(shù)比的形式表達(dá)），使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌.實(shí)際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊，對(duì)于當(dāng)時(shí)所有古希臘人的觀念都是一個(gè)極大的沖擊.

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的例子在初中無理數(shù)教學(xué)中，讓第一次接觸無理數(shù)的學(xué)生直觀地感受到數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)對(duì)實(shí)事求是的態(tài)度.

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)源于微積分工具的使用.伴隨著人們科學(xué)理論與實(shí)踐認(rèn)識(shí)的提高，17世紀(jì)幾乎在同一時(shí)期，微積分這一銳利無比的數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊布尼茲共同發(fā)現(xiàn).這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力.許許多多疑難問題運(yùn)用這一工具后變得易如反掌.但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴(yán)格的.兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對(duì)作為基本概念的無窮小量的理解與運(yùn)用卻是混亂的.經(jīng)過柯西用極限的方法定義了無窮小量，微積分理論才得以發(fā)展和完善.

這一例子展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性.有助于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的思考方式，樹立起求真求是的價(jià)值觀.

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是由于“羅素悖論”使得康托爾的集合論出現(xiàn)矛盾，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)受到挑戰(zhàn).數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，而這個(gè)問題至今仍沒有完美解決.

“理發(fā)師悖論”是介紹第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的一個(gè)淺顯易懂的解釋.這以例子一下子就極大地拉近了學(xué)生與最前沿?cái)?shù)學(xué)的距離.不但能極大地激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲，也讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)有了更深刻的了解.培養(yǎng)起學(xué)生對(duì)待科學(xué)問題上“學(xué)無止境”的態(tài)度.

四、數(shù)學(xué)史對(duì)德育的價(jià)值

（一）數(shù)學(xué)史有助于國際主義教育

最明顯的例子就是阿拉伯?dāng)?shù)字的起源，這種由印度人發(fā)明的數(shù)字，經(jīng)阿拉伯人傳向歐洲，之后再經(jīng)歐洲人將其現(xiàn)代化，才有了我們今天所熟知的阿拉伯?dāng)?shù)字.這表明數(shù)學(xué)的誕生與成長(zhǎng)不僅是數(shù)學(xué)家們努力的成果，同時(shí)也是國際交流的成果.對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生開放、包容的思想無疑有重大啟發(fā).

（二）數(shù)學(xué)史有助于愛國教育

我國古代著名數(shù)學(xué)家祖沖之算出圓周率（π）的真值在3.141 592 6和3.141 592 7之間，相當(dāng)于精確到小數(shù)第7位，簡(jiǎn)化成3.141 592 6，祖沖之因此入選世界紀(jì)錄協(xié)會(huì)世界第一位將圓周率值計(jì)算到小數(shù)第7位的科學(xué)家.祖沖之還給出圓周率（π）的兩個(gè)分?jǐn)?shù)形式：227（約率）和355113（密率），其中密率精確到小數(shù)第7位[4].祖沖之對(duì)圓周率數(shù)值的精確推算值，對(duì)于中國乃至世界是一個(gè)重大貢獻(xiàn).這一例子無疑大大提高學(xué)生的自信心，也對(duì)激勵(lì)學(xué)生勇于探索，為國家的數(shù)學(xué)發(fā)展做貢獻(xiàn)起到榜樣作用.

（三）數(shù)學(xué)史有助于建立辯證唯物主義的世界觀

數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)客觀上揭示了數(shù)學(xué)的矛盾運(yùn)動(dòng)過程，它表明數(shù)學(xué)不是完美無缺的，不是停滯不前的.數(shù)學(xué)的發(fā)展是其矛盾運(yùn)動(dòng)的結(jié)果.

（四）數(shù)學(xué)史展現(xiàn)了數(shù)學(xué)家為真理而獻(xiàn)身的高尚情操與偉大人格

希帕索斯因發(fā)現(xiàn)無理數(shù)而葬身大海，阿基米德因著迷于數(shù)學(xué)研究而死于羅馬士兵劍下，伽利略、哥白尼因堅(jiān)持日心說而遭教會(huì)迫害.許多數(shù)學(xué)家因?yàn)閳?jiān)持真理，追求真理而遭受貧苦、不公和迫害，但正是因?yàn)樗麄兊膱?jiān)持與努力，才有了現(xiàn)在數(shù)學(xué)大廈的輝煌，才有了現(xiàn)在人類文明的偉大.他們的高尚情操與偉大人格激勵(lì)著一代又一代學(xué)子追求真理，勇攀科學(xué)的高峰.

五、總 結(jié)

數(shù)學(xué)史無疑具有重要價(jià)值，是初中教育中不可或缺的一部分.在數(shù)學(xué)教育上，數(shù)學(xué)史有助于學(xué)生建立起數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣，嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的情感態(tài)度.在其他方面，如德育上，能讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到熱愛科學(xué)、堅(jiān)持真理的道理.

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