關(guān)于由均勻分布如何得到正態(tài)分布的研究實踐

劉雨晴

【摘要】計算相互獨立分布相同的分布相加后均值與方差的關(guān)系，借助查詢得到的大數(shù)定理方法給出如何由均勻分布得出正態(tài)分布，最后借助Excel軟件模擬驗證結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】均勻分布；正態(tài)分布；大數(shù)定理；Excel模擬

最近學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計學(xué)的內(nèi)容，一個美麗的分布吸引了我的注意力：正態(tài)分布.這個分布是對稱的，在坐標(biāo)系中畫出了一道美麗的弧線，從左邊的地平線，慢慢地爬到最高點，又緩緩地不甘地離我們而去，就像夕陽一樣，掛念著他的大地，一直到右邊的無限遠(yuǎn)處，直到看不到他的影子.

這個分布的函數(shù)看起來很復(fù)雜， f（x）=12πσexp-（x-μ）22σ2，但是看到這個函數(shù)的第一眼，就驚嘆于這個函數(shù)的發(fā)現(xiàn)者的巧妙，這個函數(shù)可以精確的使全坐標(biāo)下的積分為1，不多一絲不少一分，很是完美.就是這樣一個美麗的分布，吸引了我很大的注意力.這個分布的存在對于數(shù)學(xué)究竟意味著什么，為什么這個分布這么重要，甚至被稱為“常態(tài)分布”.

上課教師講到，在現(xiàn)實生活中，遇到測量之類的時候，尤其產(chǎn)生大量的連續(xù)的數(shù)據(jù)，很多時候都是希望得到這種形態(tài)的分布.換句話說，正態(tài)分布是一種很標(biāo)準(zhǔn)的很基本的分布.

既然如此，一個其他的分布在數(shù)據(jù)很大時也有可能產(chǎn)生正態(tài)分布了嗎？我?guī)е@個疑問展開了自己的研究，進(jìn)行了一些推導(dǎo).

假設(shè)X，Y服從于0到1之間的均勻分布，且相互獨立.它們的分布所對應(yīng)的函數(shù)均為f（x）=1，0

f（x）=∫20pX（x0）pY（x-x0）dx0.

在00.當(dāng)0

f（x）=∫101dx=x，0

發(fā)現(xiàn)，均值和方差均為單個分布的兩倍.所以，我打算去嘗試推導(dǎo)一下獨立分布情況下的多個分布相加得到的均值與方差的關(guān)系.

均值（∑ni=1Xi）=∑ni=1均值（Xi）.

方差（X+Y）=方差（X）+方差（Y）+2×協(xié)方差（X，Y）=方差（X）+方差（Y）.當(dāng)X與Y相互獨立分布時，協(xié)方差為0.推廣到n個獨立分布相加時：

方差（∑ni=1Xi）=∑ni=1方差（Xi）+2×∑ni，j=1，i≠j協(xié)方差（Xi，Xj）=∑ni=1方差（Xi）.

根據(jù)均值和方差的性質(zhì)：

均值（n×X）=n×均值（X）；方差（n×X）=n2×方差（X），若Xi是服從于0到1均勻分布的獨立同分布，得

均值1n∑ni=1Xi=0.5，

方差1n∑ni=1Xi=1n2×方差（∑ni=1Xi）

=1n2×n×方差（X1）=112n.

雖然得到了多個均勻分布均值的均值和方差，但是不清楚他們所服從的分布是什么.這時候，我在網(wǎng)上查到了一個定理——大數(shù)定理：當(dāng)n→∞時，方差→0，就可以使用大數(shù)定理，使得在n很大的時候，某測試結(jié)果可以依概率收斂.換句話說，當(dāng)n很大時，0到1分布的多次試驗均值收斂到0.5，這個實驗均值服從于方差為112n，均值為0.5的正態(tài)分布，∑ni=1Xin～N0.5，112n，即12n∑ni=1Xi-n2～N（0，1）.這時，就可以用均勻分布來產(chǎn)生正態(tài)分布了.

在這里，我們借助Excel，產(chǎn)生一萬次數(shù)據(jù)，每次產(chǎn)生一萬個0到1之間均勻分布的數(shù)字，于是產(chǎn)生了一萬個12n∑ni=1Xi-n2結(jié)果.然后我將這個結(jié)果從小到大排列，計算每一個小間隔的個數(shù)，之后除以每個間隔的平均個數(shù)得到分布函數(shù)，得到下圖.

將這個圖與真實的正態(tài)分布相比：

可以看出，模擬的效果很好，也證明了過程推理的正確性，完成由一個均勻分布得到一個正態(tài)分布的過程.這次實踐加深了我對概率統(tǒng)計的理解，并且更進(jìn)一步了解了正態(tài)分布對于整個概率分布、數(shù)學(xué)界的作用，這個分布是所有不確定事件的一個基礎(chǔ)，只有掌握了這些知識，才能更好地進(jìn)行下一步學(xué)習(xí).

這也讓我知道了實踐的重要性，只有親手去做一下，才能真正發(fā)現(xiàn)這其中的奧秘.

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