☉江蘇省泰興市第二高級(jí)中學(xué) 周余峰

數(shù)學(xué)教學(xué)中所遵循的教師主導(dǎo)、學(xué)生主體的基本原則在師生關(guān)系上應(yīng)表現(xiàn)為教師主導(dǎo)下的學(xué)生主體作用的發(fā)揮，身為教學(xué)組織者、引導(dǎo)者、合作者的教師應(yīng)在教學(xué)中突出學(xué)生這一主體.本文結(jié)合教材中的例題教學(xué)設(shè)計(jì)重點(diǎn)研究了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體在具體教學(xué)中的落實(shí).

一、問題

例1 某工廠加工一零件時(shí)往往會(huì)采用兩道工序，假設(shè)第一道、第二道工序分別會(huì)導(dǎo)致3%和5%的產(chǎn)品不合格，如果這兩道工序不會(huì)相互影響，那么，請(qǐng)大家計(jì)算一下不合格產(chǎn)品的概率會(huì)是多少呢？

二、教學(xué)片段

1.揭示規(guī)律

教師首先讓學(xué)生獨(dú)立思考并在稿紙上自主作答，巡視中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生采取了從反面考慮問題的辦法，正難則反的解題策略得到了很好的體現(xiàn).

師：誰(shuí)能將自己的成果展示一下？

學(xué)生立刻從對(duì)立事件的角度對(duì)解題過程進(jìn)行了表述與展示，教師根據(jù)學(xué)生的回答及時(shí)與學(xué)生一起總結(jié)復(fù)雜事件的解決需要考慮其對(duì)立事件的規(guī)律等.

學(xué)生在自主交流時(shí)往往更關(guān)注如何求解，對(duì)于如此求解的原因常常會(huì)覺得有難度或者直接忽視，因此，教師在教學(xué)中應(yīng)注重解題內(nèi)在規(guī)律與本質(zhì)的探究以促進(jìn)學(xué)生探究高效的實(shí)現(xiàn).

師：零件不合格跟兩道工序之間又會(huì)存在什么樣的關(guān)系呢？

生1：將第一道工序?qū)е碌牟缓细癞a(chǎn)品、第二道工序?qū)е碌牟缓细癞a(chǎn)品、最后鑒定為不合格的產(chǎn)品分別設(shè)為A1、A2、A，A其實(shí)是第一道工序?qū)е碌牟缓细癞a(chǎn)品、第二道工序?qū)е碌牟缓细癞a(chǎn)品、兩道工序都導(dǎo)致的不合格產(chǎn)品的總數(shù)之和，即A=A1+A2+A1A2，因此P（A）=P（A1+A2+A1A2）=P（A1）+P（A2）+P（A1A2）.

（有學(xué)生認(rèn)為此分析有理，課堂上隨即安靜了一陣）

生2：第一道工序?qū)е虏缓细癞a(chǎn)品出現(xiàn)其實(shí)已經(jīng)包含在兩道工序同時(shí)導(dǎo)致的不合格產(chǎn)品中，第二道工序?qū)е庐a(chǎn)品不合格也是這個(gè)道理.因此，概率公式在這三個(gè)事件不互斥時(shí)應(yīng)用不當(dāng)，實(shí)際上，A即為兩道工序中至少有一道工序?qū)е碌牟缓细癞a(chǎn)品數(shù)，即A=A1+A2，因此P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）.

（學(xué)生之間出現(xiàn)了爭(zhēng)執(zhí)）

師：由此看來(lái)我們需要首先探究一下事件A究竟包含了哪幾個(gè)事件.

（稍作停頓）

師：剛才兩位同學(xué)對(duì)于事件A的分析都存在一定的問題，生1在分類時(shí)犯了標(biāo)準(zhǔn)不一致的錯(cuò)誤，生2對(duì)于事件A的分解是對(duì)的，不過A1、A2不互斥，概率公式應(yīng)用不當(dāng).

師：事件A究竟應(yīng)該如何分解呢？（教師隨即告訴了學(xué)生）

生3：事件A為以下三種情況之和：（1）兩道工序都出現(xiàn)的不合格產(chǎn)品，即A1A2；（2）第一道工序不合格但第二道工序合格了，即A1A2；（3）第一道工序合格但第二道工序不合格，即A1A2.這三個(gè)事件是相互獨(dú)立的，即A1、A2、A1、A2彼此獨(dú)立，因此有P（A）=P（A1A2+A1A2+A1A2）.

生4：事件A如此分解之后可得，事件（1）（2）能合并成事件A1，即A=A1+A1A2.

學(xué)生的思考、爭(zhēng)論及師生之間的交流探究使得學(xué)生對(duì)題中相關(guān)概念、事件之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)更加明朗且深刻.

師：將所求事件分解成兩個(gè)或兩個(gè)以上的互斥事件之和、兩個(gè)或兩個(gè)以上獨(dú)立事件的乘積是解決概率問題通常所用的辦法.

與此同時(shí)，教師還應(yīng)及時(shí)設(shè)計(jì)鞏固應(yīng)用以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握.

2.應(yīng)用探究

問題：某車從甲地出發(fā)行駛100km之內(nèi)發(fā)生故障的概率是0.4，行駛200km之內(nèi)發(fā)生故障的概率是0.8，那么，如果該車行駛了100km的路程內(nèi)并未發(fā)生故障，繼續(xù)行駛第二個(gè)100km時(shí)發(fā)生故障的概率會(huì)是多少呢？（故障排除后可繼續(xù)行駛）

教師巡視學(xué)生的解題發(fā)現(xiàn)大多學(xué)生都是在機(jī)械地套用公式，教師隨即投影了學(xué)生的一個(gè)錯(cuò)誤解法.

生5：將行駛100km之內(nèi)發(fā)生故障假設(shè)為事件A，該車行駛200km之內(nèi)發(fā)生故障假設(shè)成事件B，因?yàn)镻（A）=P（B）=0.8，所以答案是0.8.

師：大家覺得這一答案對(duì)嗎？

（給學(xué)生2～3分鐘時(shí)間獨(dú)立思考）

生6：從題中可知事件B和A不是相互獨(dú)立事件，因此P（BA ）≠P（B）P（A），因此該解法不對(duì).

生7：題目所求與行駛了200km發(fā)生故障并不是同一事件，因此該解法不對(duì).

師：很好，由此可知題中要求我們求的是行駛100km到200km之間發(fā)生的故障.

師：大家以為行駛100km之內(nèi)、行駛200km之內(nèi)發(fā)生故障這兩個(gè)事件會(huì)存在什么樣的關(guān)系呢？請(qǐng)大家聯(lián)系例1中的結(jié)論再次思考這一問題.

（有學(xué)生在思考之后上黑板進(jìn)行了演示）

生8：將該車行駛200km之內(nèi)發(fā)生故障這一事件設(shè)為A，將其行駛100km之內(nèi)發(fā)生故障這一事件設(shè)為B，將行駛100km至200km之間發(fā)生故障這一事件設(shè)為C，B、C是獨(dú)

立的，P（A）=0.8，P（B）=0.4，A=B+BC，因此P（A）=P（B+BC）

師：很好，大家以為解決此題的關(guān)鍵是什么呢？

生9：關(guān)鍵在于將行駛200km之內(nèi)發(fā)生故障的這一實(shí)踐應(yīng)如何分解轉(zhuǎn)化.

師：其實(shí)這是模仿例1的解題方法，大家還有其他解法嗎？

生10：將行駛100km之內(nèi)發(fā)生故障這一事件設(shè)為A，將車子行駛100km至200km之內(nèi)發(fā)生故障這一事件設(shè)為B，由事件A、B，P（A）=0.6，行駛200km之內(nèi)發(fā)生故障的對(duì)立事件是AB，則P（A B）=0.2，所以有P（B|A）=1-P（B|A）=

三、教學(xué)反思

1.課前準(zhǔn)備環(huán)節(jié)體現(xiàn)教師的主導(dǎo)

優(yōu)秀的課堂教學(xué)必然要建立在教師充分的課前準(zhǔn)備上，教材內(nèi)容的閱讀與領(lǐng)會(huì)、對(duì)教學(xué)要求的把握、教學(xué)方法的選擇、對(duì)學(xué)情的分析、確立教學(xué)目標(biāo)、設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)等內(nèi)容都是課前準(zhǔn)備環(huán)節(jié)不可缺少的.此外，教材中匯聚眾多專家心血與經(jīng)驗(yàn)的概念引入、例題呈現(xiàn)都隱藏著學(xué)生應(yīng)該掌握的數(shù)學(xué)思想與方法，教師應(yīng)對(duì)這些內(nèi)容進(jìn)行深入挖掘并將其進(jìn)行精心的設(shè)計(jì)，使得這些內(nèi)容能夠在新課程教學(xué)的要求下得到更好的理解、思考與處理.

2.在學(xué)生活動(dòng)的指點(diǎn)與引導(dǎo)中體現(xiàn)教師的主導(dǎo)

教材中的例題是無(wú)法暴露解題的思維過程的，因此，教師應(yīng)對(duì)解題思路的產(chǎn)生過程進(jìn)行剖析并使學(xué)生明白這樣解法的道理、其他的解題解法等，學(xué)生的求知欲望往往會(huì)因?yàn)榻處煹膯l(fā)、追問等手段的落實(shí)而得到激發(fā).

學(xué)生一旦形成思考問題的習(xí)慣，就會(huì)對(duì)所要研究的問題能夠很快厘清題中的條件、求解目標(biāo)并獲得解題的思路，因此，教師在教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)審題的教學(xué)示范并積極引導(dǎo)學(xué)生自主思考問題.面對(duì)一個(gè)新問題時(shí)，教師首先應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行仔細(xì)的閱讀并設(shè)計(jì)出解決問題的思路，當(dāng)大多學(xué)生感覺此問題有難度時(shí)，教師應(yīng)關(guān)注到學(xué)生的難處并與學(xué)生一起審題以此引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目形成正確的理解.比如本文所列舉的概率問題的求解，機(jī)械套用公式是根本無(wú)法解題的，這時(shí)候就需要將題中各個(gè)事件之間的關(guān)系一一理順才能明確各事件的概念屬于條件概率還是同時(shí)發(fā)生的概率，問題的本質(zhì)、概念的理解也會(huì)在這些事件之間關(guān)系的理順過程中得以實(shí)現(xiàn).

同時(shí)，教師在教學(xué)過程中一定要給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間并及時(shí)關(guān)注學(xué)生的思考與探究表現(xiàn)，使學(xué)生能夠在思考中對(duì)問題進(jìn)行比較和研究并使概念內(nèi)涵和外延得到深入的挖掘，學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)往往需要建立在這一基礎(chǔ)之上.學(xué)生自主思考、探究問題的過程就是學(xué)生思維的過程，學(xué)生思維受阻的過程中往往會(huì)特別期待教師或同伴的點(diǎn)撥或提醒，思維被有效激活的同時(shí)解題也就更容易了.

3.教師導(dǎo)學(xué)的策略

教師在教學(xué)過程中應(yīng)面向全體學(xué)生并認(rèn)真傾聽學(xué)生發(fā)出的聲音，做到精心導(dǎo)學(xué)，學(xué)生的展示是學(xué)生思維活動(dòng)的展現(xiàn)，因此，教師應(yīng)積極參與學(xué)生的探究活動(dòng)并幫助學(xué)生提煉出探究的核心內(nèi)容，并進(jìn)行一定的歸納與提升以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，使得學(xué)生在教師有意義的導(dǎo)學(xué)中不斷發(fā)展自己的水平與能力.

精心導(dǎo)學(xué)當(dāng)然要注重導(dǎo)學(xué)時(shí)機(jī)的把握，比如，本文中學(xué)生對(duì)事件之間關(guān)系的理解發(fā)生錯(cuò)誤之時(shí)就應(yīng)該是教師提問引導(dǎo)學(xué)生的導(dǎo)學(xué)時(shí)機(jī)，學(xué)生探究出現(xiàn)停頓或者不得深入的時(shí)候正是學(xué)生需要幫助的時(shí)候，教師此時(shí)的導(dǎo)學(xué)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)就是一場(chǎng)及時(shí)雨.其次，教師的精心導(dǎo)學(xué)還應(yīng)體現(xiàn)在恰當(dāng)問題的設(shè)計(jì)中，面向全體學(xué)生并能使學(xué)生通過努力徹底解決的題目，或者可以一題多變的題目都是可以用來(lái)導(dǎo)學(xué)的好問題.另外，教師的精心導(dǎo)學(xué)還應(yīng)體現(xiàn)在方法的選擇上，根據(jù)學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)與身心特點(diǎn)的方法往往能夠更好地促進(jìn)學(xué)生投入動(dòng)感的數(shù)學(xué)課堂中.F