☉江蘇省華羅庚中學(xué) 席國(guó)金

我們知道，空間向量可以用來(lái)處理空間中有關(guān)線、面平行的關(guān)系（包括線線平行，線面平行，面面平行），其實(shí)質(zhì)就是把空間中的點(diǎn)、線、面、角等問(wèn)題利用空間坐標(biāo)的代數(shù)形式表示出來(lái)，然后利用空間向量的線性關(guān)系或空間向量的數(shù)量積，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決對(duì)應(yīng)的平行問(wèn)題.

一、線線平行問(wèn)題

利用空間向量解決線線平行問(wèn)題的常見(jiàn)方法：證明兩直線的方向向量共線.

例1 如圖1，ABEDFC為空間多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點(diǎn)O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形.證明直線BC∥EF.

分析：通過(guò)建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，找出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的空間向量的坐標(biāo)，利用兩空間向量平行的特點(diǎn)來(lái)證明相應(yīng)的線線平行關(guān)系.

圖1

圖2

證明：過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AD，交AD于點(diǎn)Q，連QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q—→E為x軸正向，Q—→D為y軸正向，Q—→F為z軸正向，建立如圖2所示空間直角坐標(biāo)系Q—xyz，

點(diǎn)評(píng)：判定空間線線的平行問(wèn)題，利用空間向量的代數(shù)運(yùn)算形式，通過(guò)計(jì)算兩直線所在的方向向量互為共線的關(guān)系，確定兩對(duì)應(yīng)的方向向量互相平行，進(jìn)而判定線線的平行問(wèn)題.這樣處理往往可以省去幾何證明中的嚴(yán)格的敘述，以代數(shù)運(yùn)算的形式通過(guò)計(jì)算來(lái)達(dá)到證明的目的，這樣可以省去不必要的邏輯推理與分析，更為簡(jiǎn)單.

二、線面平行問(wèn)題

利用空間向量來(lái)解決線面的平行問(wèn)題的常見(jiàn)方法：①證明該直線的方向向量與對(duì)應(yīng)平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的某直線的方向向量平行.

例2 如圖3所示，在四棱錐P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠CBA=∠BCD=90°，AB=4，CD=1，點(diǎn)M在PB上，PB=4PM，PB與平面ABCD成30°的角.求證：CM∥平面PAD.

分析：先根據(jù)題目條件，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的定義確定對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)問(wèn)題，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)平面PAD的一個(gè)法向量n的求解，結(jié)合n·C—→M=0的確定來(lái)判斷n⊥C—→M，進(jìn)而結(jié)合線面平行的判定定理加以證明.

圖3

圖4

解析：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系C—xyz.

因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，所以∠PBC=30°.

設(shè)n=（x，y，z）為平面PAD的法向量，

又CM?平面PAD，所以CM∥平面PAD.

點(diǎn)評(píng)：判定空間線面的平行問(wèn)題，往往直接利用直線的方向向量與對(duì)應(yīng)平面的法向量的數(shù)量積為0，通過(guò)空間向量的代數(shù)形式的運(yùn)算，及兩空間向量的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，解決有關(guān)線面平行的問(wèn)題.

三、面面平行問(wèn)題

利用空間向量解決面面平行問(wèn)題的常見(jiàn)方法：①證明兩平面對(duì)應(yīng)的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行的問(wèn)題來(lái)處理.

例3 已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A（2，0，0），B（0，0，2），C（0，2，2），平面β的一個(gè)法向量為n=（2，0，2），則不重合的兩個(gè)平面α和β的位置關(guān)系是______.

分析：根據(jù)平面α內(nèi)的三點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定相應(yīng)的向量坐標(biāo)，進(jìn)而求解平面α的一個(gè)法向量，結(jié)合平面β的一個(gè)法向量得到對(duì)應(yīng)的共線關(guān)系，進(jìn)而得以判定面面平行.

設(shè)m=（x，y，z）為平面α的法向量，

不妨設(shè)z=1，可得m=（1，0，1）.

又平面β的一個(gè)法向量為n=（2，0，2），

可得n=2m，即m∥n，故α∥β.則填答案：平行.

點(diǎn)評(píng)：判定空間面面的平行問(wèn)題，如果利用兩平面的法向量的平行來(lái)證明，直接利用空間向量的代數(shù)形式的運(yùn)算即可；而如果利用線線平行、面面平行的判定定理及空間向量來(lái)表示與轉(zhuǎn)化，還要說(shuō)明相應(yīng)判定定理的條件，千萬(wàn)不能遺漏.

四、平行的探索問(wèn)題

通過(guò)利用空間向量來(lái)探究與平行有關(guān)的存在性等問(wèn)題，將幾何證明轉(zhuǎn)化為空間向量的計(jì)算問(wèn)題，大大降低了對(duì)空間想象能力的要求.對(duì)于這類存在性問(wèn)題，一般是先假設(shè)其存在，然后利用空間向量的運(yùn)算，依據(jù)題中的條件求解、檢驗(yàn)、判斷.

例4 （2016·北京理·17（3））如圖5，在四棱錐P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=.在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.

分析：取AD的中點(diǎn)O，證明PO，OC，AD兩兩互相垂直，進(jìn)而建立對(duì)應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的表示，先求解平面PCD的法向量，再假設(shè)點(diǎn)M在棱PA上，設(shè)出A—→M=λA—→P，根據(jù)參數(shù)的取值的存在性來(lái)分析與判斷對(duì)應(yīng)點(diǎn)的存在性問(wèn)題.

圖5

圖6

解析：如圖6，取AD的中點(diǎn)O，連接PO，CO.

因?yàn)镻A=PD，所以PO⊥AD，

又因?yàn)镻O?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，

因?yàn)镃O?平面ABCD，所以PO⊥CO，因?yàn)锳C=CD，所以CO⊥AD，

如圖6建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，

由題意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，1），

點(diǎn)評(píng)：解決立體幾何中的此類問(wèn)題時(shí)，通常利用空間向量的運(yùn)算來(lái)逆推，目標(biāo)明確，要注意推理過(guò)程是否可逆，不要把必要條件當(dāng)作充分條件來(lái)處理.通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在（或結(jié)論成立），然后在這個(gè)前提下進(jìn)行對(duì)應(yīng)的邏輯推理，若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，則說(shuō)明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明與求解；若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論，則說(shuō)明對(duì)應(yīng)的假設(shè)不成立，即不存在.

其實(shí)，利用空間向量解決立體幾何中的平行關(guān)系時(shí)，可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算或數(shù)量積得出平行關(guān)系.當(dāng)遇到不適合建立空間直角坐標(biāo)系的問(wèn)題時(shí)，也可以根據(jù)題意在立體幾何圖形中選取一個(gè)基底，然后將所需的空間向量用此基底表示出來(lái)，再利用向量的運(yùn)算或數(shù)量積進(jìn)行求解或證明即可.J