李菁

[摘? ?要]在《祖暅原理及其應用》教學中，采用啟發(fā)引導式教學法，通過構建環(huán)環(huán)相扣的問題體系，運用多媒體課件、微課、3D動畫演示、模具展示、動手實驗等教學手段，引導學生探究新知、突破難點、解決問題，讓學生通過小組合作交流，在完成猜想、實驗、觀察、分析、總結等活動中培養(yǎng)數學素養(yǎng).

[關鍵詞]祖暅原理及其應用;問題體系;實驗探究;小組合作

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2018）35-0003-05

一、教學實錄

（一）引入課題

1.提出問題

教師（出示圖1）：兩個半徑為a的圓柱正交（即兩圓柱的軸垂直相交），公共部分是什么樣的幾何體？

（學生想象圖形，思考問題）

教師：公共部分是圓柱嗎？

學生：不是.

教師：是正方體嗎？

學生：不是.

教師：是球嗎？

學生：不是.

教師：它不是我們學習過的簡單幾何體，它就是我國數學家劉徽熱衷于研究的“牟合方蓋”.如何求這個“牟合方蓋”的體積呢？

教師：我們學習了簡單幾何體的體積公式，這些公式是怎么得到的呢？這節(jié)課我們一起來探討這些問題.

2.介紹數學家祖暅

教師：我國古代數學家祖暅將幫助我們解決這些問題.

[播放視頻（如圖2），介紹相關數學史，板書課題：祖暅原理及其應用]

教師：祖暅原理的提出比國外早了一千多年，非常了不起！同學們，你們知道祖暅與數學家祖沖之是什么關系嗎？

學生：祖暅是祖沖之的兒子.

教師：很好！看來大家對數學知識的了解很多呀！

（二）課堂探究

1.初識原理

教師：通過預習，我們知道祖暅提出了“冪勢既同，則積不容異”的觀點.其中的關鍵詞“冪”“勢”“積”分別是什么意思？

學生：“冪”指面積，“勢”指高，“積”指體積.

教師：這句話怎么解釋呢？

學生：如果兩個幾何體的高和底面積相等，那么這兩個幾何體的體積相等.

教師：大家同意嗎？

學生（發(fā)出質疑聲 ，舉出反例）：高和底面積都相等的圓柱和圓錐體積不相等.

教師：原理中是指滿足怎樣的條件，才能得出體積相等的結論呢？

學生：如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等.

教師：解釋得非常好！

2.原理探究

教師：下面請第1小組的同學給我們舉個特例，來說明祖暅原理.

學生（將完全相同的兩摞本子分別擺成特殊的幾何體——直棱柱和斜棱柱，且每摞本子數量相同，如圖3）：因為每摞本子數量相同，所以這兩個柱體的高相等.因為本子的大小完全相同，所以平行于底面的平面截得兩柱體的截面積總相等，故這兩個柱體的體積相等.

教師：很好！

教師（將兩摞本子改擺成高相同，但形狀任意的兩個柱體）：根據祖暅原理，現在擺成的這兩個任意柱體的體積相等嗎？為什么？

學生：相等.因為這兩個柱體的高相等，且被平行于底面的平面截得兩柱體的截面積總相等，所以這兩個柱體的體積相等.

教師：分析得很好！

教師（添加兩摞完全相同的小本子，改擺成兩個形狀任意的新幾何體）：根據祖暅原理，現在擺成的這兩個任意幾何體的體積相等嗎？為什么？

學生：相等.因為這兩個幾何體的高相等.雖然每個幾何體被平行于底面的平面截得的截面積會發(fā)生變化，但兩個幾何體被平行于底面的平面截得的截面積總相等，所以這兩個柱體的體積相等.

教師：解釋得很棒！

教師：把“兩個幾何體高相等”換成“兩個幾何體夾在平行的平面間”，結論成立嗎？

學生：成立.

教師：祖暅原理又稱等積原理，即夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.

教師：從由兩個特殊棱柱舉例，到由一般幾何體進行解釋說明，我們采用了怎樣的數學研究方法？

學生：由特殊到一般.

【設計意圖：先由學生用本子舉出特例解釋說明原理，再用本子舉出任意幾何體的實例，進一步解釋說明原理，強調原理的條件，使學生體驗“由特殊到一般”的研究方法.】

教師（準備三摞完全相同的本子，其中兩摞本子并排放在一起作為一個幾何體，第三摞本子單獨作為一個幾何體，改擺成兩個任意形狀的新幾何體）：顯然，現在擺成的這兩個新的任意幾何體的高相等，它們被平行于底面的平面截得的截面積相等嗎？

學生：不相等.

教師：它們被平行于底面的平面截得的截面積是什么關系？

學生：2倍.

教師：這兩個幾何體的體積是什么關系？

學生：2倍.

教師：通過剛才的引申，我們得到了新結論：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的平面所截，如果截得的兩個截面的面積之比總為t，那么這兩個幾何體的體積之比為t.

（總結“類比推理”的研究方法）

【設計意圖：對祖暅原理進行引申，使學生體驗“類比推理”的研究方法.】

3.學以致用

教師：同學們對原理理解得很透徹.現在我們學以致用，運用祖暅原理解決下面的問題.首先，我們運用祖暅原理推導柱體的體積公式.我們已知長方體的體積等于底面積乘以高，根據原理，與長方體等底等高的柱體的體積等于什么？（出示圖4）

學生：底面積乘以高.

教師：很好?。ò鍟剑篤柱體=sh）將未知的幾何體的體積轉化為已知幾何體的體積來求，體現了“化未知為已知”的轉化思想.

教師：接下來，我們運用祖暅原理推導錐體的體積公式.請同學們思考問題1：底面積和高分別相等的兩個錐體的體積相等嗎？為什么？

生（上講臺結合圖5講解）：兩個錐體的高相等，它們被平行于底面的截面所截得的截面圖形的面積之比等于相似比的平方，也相等，所以它們的體積相等.

教師：講解得很棒！請繼續(xù)思考問題2：如圖6，錐體的體積和與它等底等高的柱體的體積之比是多少？為什么？

（學生小組討論交流）

教師：請第4組的同學結合他們自制的教具模型為大家講解推導過程.

第4組學生代表（上講臺畫出輔助線，用自制教具說明推導過程）：連接C1A、C1B、C1A1、A1B，把三棱柱分成三個棱錐.棱錐B-AC1C與棱錐B-AC1A1等底等高，體積相等.棱錐C1-A1AB與棱錐C1-A1B1B等底等高，體積也相等，所以三個棱錐的體積相等，每個棱錐的體積等于三棱柱的體積的三分之一.

（板書推導出的公式： [V錐=13V柱=13sh] ）

教師：第4組的同學不僅模具制作得好，講解得也很好！我們將棱柱分割為棱錐來研究，運用了怎樣的解題技巧？

學生：分割幾何體.

教師：很好！我們將錐體的體積問題轉化為柱體的體積來研究，蘊含了怎樣的數學思想？

學生：等體積轉化.

教師：非常好！

【設計意圖：進一步運用祖暅原理，加深學生對祖暅原理的理解，使學生體會“化空間為平面”“等體積轉化”的轉化思想.】

教師：我們運用祖暅原理，通過巧妙的轉化，推導了柱體和錐體的體積公式.球的體積公式也可以由祖暅原理推導，請大家課后探究.

4.拓展提升

教師：生活中，兩個水管正交對接、機械加工中的零件中（如圖7）都能見到“牟合方蓋”.接下來，我們繼續(xù)運用祖暅原理，揭開“牟合方蓋”的體積之謎.

【設計意圖：介紹生活中的“牟合方蓋”，直觀形象，讓學生感受到“數學來源于生活，應用于生活”.】

教師：下面請各小組同學合作，動手切出“牟合方蓋”，看一下它究竟是怎樣的幾何體？

（學生實驗，教師巡視，給予適當指導）

教師（在學生用花泥現場切出“牟合方蓋”后）：請第1組學生代表上臺展示實驗過程.

教師：正如之前同學們的判斷，“牟合方蓋”不是我們學過的簡單幾何體.那它與哪種簡單幾何體最接近？

學生：球.

教師：若要直接求出“牟合方蓋”的體積，好不好求？

學生：不好求.

教師：我們可不可以運用祖暅原理，轉化為簡單幾何體的體積來求呢？

教師：請同學們繼續(xù)觀察“牟合方蓋”模型，并思考問題（1）：能否找到某種學過的簡單幾何體，使它與“牟合方蓋”滿足如下條件：①高度相等，且被平行的平面截得的截面圖形的面積總相等;②高度相等，且被平行的平面截得的截面圖形的面積之比總相等？

學生思考猜想，小組討論，得出結論：面積總相等的沒有，面積之比總相等的可能是球.

教師：請繼續(xù)思考問題（2）：若截得“牟合方蓋”的圓柱半徑為a，為了使“牟合方蓋”與球的高相等，選取半徑是多少的球最適合？

學生：半徑為a的球.

[教師播放視頻（如圖8），對學生的猜想加以肯定]

【設計意圖：通過3D動畫演示，學生動手自制模具，進行實驗觀察.采用直觀感知的學習方式，增強了學生的空間想象力.符合新課標中強調的“利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識簡單組合體的結構特征.運用直觀感知、操作確認等認識和探索空間圖形的性質，建立空間觀念”.】

繼續(xù)引導學生實驗觀察并思考問題（3）：“牟合方蓋”和球被平行的截面截得的兩個截面圖形分別是什么圖形？

教師：球被平行的截面截得的截面圖形是什么？

學生：圓.

教師：那么“牟合方蓋”被平行的截面截得的截面圖形是什么呢？（展示模型，引導學生研究不同截面圖形）老師手中的“牟合方蓋”是由哪兩個方向的圓柱正交得到的？

學生：前后、左右兩個方向.

教師：用豎直的平面切“牟合方蓋”，把它分成前后完全相同的兩部分，截面是什么圖形？

學生（各小組按照提示切割“牟合方蓋”，觀察截面圖形的形狀）：截面圖形是圓形.

教師：? 這個圓的半徑是多少？

學生：半徑為a.

教師：將此截面前后平移，截面圖形還是原圖形嗎？

學生（各小組按照提示切割“牟合方蓋”，觀察截面圖形的形狀是否改變）：截面圖形改變了，不再是圓.

教師：用豎直的平面切“牟合方蓋”，把它分成左右完全相同的兩部分，截面a是什么圖形？

學生（各小組按照提示切割“牟合方蓋”，觀察截面圖形的形狀）：截面圖形是圓形.

教師：? 這個圓的半徑是多少？

學生：半徑為a.

教師：將此截面左右平移，截面圖形還是原圖形嗎？

學生（各小組按照提示切割“牟合方蓋”，觀察截面圖形的形狀是否改變）：截面圖形改變了，不再是圓.

教師：用水平的平面切“牟合方蓋”，把它分成上下完全相同的兩部分，截面是什么圖形？

學生（各小組按照提示切割“牟合方蓋”，觀察截面圖形的形狀）：截面圖形是正方形.

教師：? 這個正方形的邊長是多少？

學生：邊長是2a.

教師：將此截面上下平移，截面圖形還是原圖形嗎？

學生（各小組按照提示切割“牟合方蓋”，觀察截面圖形的形狀是否改變）：截面圖形仍然是正方形，但變小了.

教師：根據實驗分析，用其他方向的平行平面截“牟合方蓋”，截面圖形會不會總是同一種圖形？

學生：不會總是同一種圖形.

[教師播放視頻（如圖9），驗證學生的實驗結果及猜想]

教師：通過實驗觀察及電腦動畫演示，我們選用哪個方向的平行截面更便于研究？

學生：水平方向的平行截面.

教師：這樣截得的兩個截面圖形的面積之比是多少？

教師：這個“牟合方蓋”是由半徑為a的圓柱正交得到的，而球的半徑也是a，這個球是不是可以完全放在“牟合方蓋”的內部？

學生：可以.

教師：根據剛才的實驗，當水平平面將這個“牟合方蓋”截成上下完全相同的兩部分時，截面正方形的中心是否是球心？

學生：是.

教師：此時“牟合方蓋”的截面正方形邊長是多少？

學生：2a.

教師：此時球的截面圓的半徑是多少？

學生：a.

教師：此時兩個截面圖形是什么關系？

學生：圓內切正方形.

教師：那么當截面上下平移時，兩個截面圖形是否仍為正方形和它的內切圓呢？請同學們分組討論交流一下.

教師：歡迎第3組的同學利用他們自制的教具來為我們演示說明.

第3組學生代表：正交得到“牟合方蓋”的圓柱的半徑是a，球的半徑也是a，所以球在“牟合方蓋”的內部.球面與“牟合方蓋”表面的公共點在這兩個大圓上（學生用手指著公共點位置），就是剛才實驗中的兩個截面圓.（學生在黑板圖中畫出公共點軌跡）當水平截面上下平移時截得的截面圓與截面正方形總有4個公共點，分別在正方形四條邊的中點，所以圓與正方形總相切.（學生在黑板圖中標出切點位置）

[教師播放視頻（如圖10），驗證學生的演示說明]

教師：非常感謝第3小組的同學，他們的演示講解得十分形象直觀！

教師：通過觀察分析，我們了解了截面圖形間的關系.那么這兩個截面圖形的面積之比是多少呢？

學生：? [S牟合方蓋的截面圖形S內切球的截面圖形=S正方形S內切圓=（2a）2πa2=4π] .

教師：這個“牟合方蓋”與球的高相等，根據祖暅原理，它們的體積之比是多少？請同學們在學案上補充完整求解過程，并求出這個“牟合方蓋”的體積.

學生：[V牟合方蓋V球=4π] ，[∴V牟合方蓋=4πV球=4π×43πa3] =[163a3] .

教師：同學們的計算結果相同嗎？

學生：相同.

教師：非常好！我們借助球的體積進行轉化，化難為易，求出了這個“牟合方蓋”的體積.

教師：我們借助構造內切球，運用祖暅原理，根據內切球的體積計算得到“牟合方蓋”的體積，體現了“轉化”的數學思想.遵循了“猜想—實驗—觀察—分析—總結”的解題思維流程.

（引導學生回顧解題思想方法和思維流程）

5.歸納總結（略）

6.課后鞏固（略）

二、教學感悟

本節(jié)課是在學生接觸立體幾何學習不久，空間想象能力還有待提高的學情下開設的一節(jié)高一新授課，采用了師生互動的開放式教學模式，教師充分利用課堂這個主陣地，把“祖暅原理及其應用”這一數學知識產生的背景、形成的過程和方法一一呈現，與學生一起重溫這段“歷程”，讓學生親歷了知識的動態(tài)生成過程，親自動手發(fā)現鮮活的數學知識，讓學生學會思考問題、解決問題，體現了新課程標準“學科知識與學科活動是學科核心素養(yǎng)形成的兩翼，學科知識是學科核心素養(yǎng)形成的主要載體，學科活動是學科核心素養(yǎng)形成的主要路徑”的理念.

本節(jié)課先提出問題引入課題，后遵循學生認知規(guī)律，依次設置了“初識原理—原理探究—學以致用—拓展提升—歸納總結—課后鞏固”6個環(huán)節(jié).“原理探究”環(huán)節(jié)通過舉例的變化，體現了“由特殊到一般”“類比推理”的研究方法.“學以致用”中推導柱體的體積公式，體現了“化未知為已知”的轉化思想.推導錐體的體積公式運用了分割幾何體的解題技巧，且也體現了等體積轉化思想.“拓展提升”求“牟合方蓋”的體積.這個難題的攻克，增強學生學習數學的自信心.運用3D動畫演示、模具演示、動手實驗相結合，通過問題逐層遞進啟發(fā)，由“猜想—實驗—觀察—分析—總結”，引導學生突破難點，解決問題.其中運用了構造內切球的解題技巧，且體現了“化難為易”“空間問題平面化”的轉化思想，整節(jié)課處處體現了轉化的數學思想.

為了把這節(jié)課打造成使學生充滿興趣的高效課堂，我主要從以下幾個方面進行設計.

第一，創(chuàng)設“疑”境，激發(fā)學生的探知欲望.本堂課一開始根據學生已有的知識經驗，立足學生的認知起點，首先解讀了祖暅原理，然后設疑：如何求“牟合方蓋”的體積？從而激起了學生的學習熱情和探究的欲望.這樣的設計，符合學生的年齡特點和認知規(guī)律，充分調動了學生學習的主觀能動性.

第二，結合新課標的要求，基于高一學生的已有知識水平，及學生個體的空間認知能力不同等差異，采用了3D動畫演示、模具展示、動手實驗相結合的教學方式，使問題的研究更直觀形象，很好地培養(yǎng)了學生的空間想象能力.

第三，通過構建環(huán)環(huán)相扣的問題體系，逐層遞進啟發(fā)，化難為易，既引導著學生深入探究，又同時解決了研究中不斷出現的新問題.

第四，讓學生在“動”中學，在合作交流中提高，發(fā)揮主體作用.本節(jié)課，學生通過動手制作幾何模具，并通過小組合作交流的形式完成教師交給的展示任務，充分體現了學生在學習過程中的主體地位，不但給學生提供了一個自主探索的空間，同時也培養(yǎng)了學生的合作意識和自主探索能力.

第五，通過數學幾何模具的割補及多媒體的動態(tài)展示將“祖暅原理及其應用”這一教學難點加以突破，使學生掌握了割補幾何體以及構造內切、外接幾何體的解題技巧，增強了學生的空間想象能力.

第六，在“學以致用”環(huán)節(jié)讓學生運用祖暅原理推導柱體體積公式的過程中，讓學生學會了由“特殊”到“一般”的數學研究方法.在“拓展提升”環(huán)節(jié)，讓學生由幾何體的體積相等的條件，進而去探究體積成比例的條件，不僅為后面求“牟合方蓋”的體積提供了理論依據，做好知識上的鋪墊，而且在此過程中讓學生學會了類比的數學研究方法.

第七，由祖暅原理推導柱體、錐體的體積公式，進而解決“牟合方蓋”體積的過程中，教師一直力求有效地引導學生化“未知”為“已知”，化“難”為“易”，化“空間”為“平面”，充分體現了轉化的數學思想方法.

整堂課，遵循“以學生為主體，教師為主導”的原則，充分調動了學生的學習積極性，倡導學生“自主探索、動手實踐、合作交流”的數學學習方式，體現了教師的設計者、組織者和幫助者的地位，突出學生的主體地位.在教學中，既重視知識和技能的形成過程，又重視對學生學習方法的指導、探究能力的訓練和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，引導學生發(fā)現數學的奧妙，體驗求知的樂趣，并且通過學生之間的合作交流，激發(fā)了學生的學習激情.整個課堂氣氛熱烈，教學效果比較好.

（責任編輯 黃桂堅）