郎得蘭
(甘肅省古浪縣第三中學(xué),甘肅 古浪)
中國科學(xué)院李邦河院士說:“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的,不是玩技巧?!痹谝痪€教學(xué)多年,也深刻體會到概念教學(xué)的重要性。數(shù)學(xué)教學(xué)的每一章節(jié)開始的概念教學(xué),總叫人頭疼,總是花最大的力氣,最多的精力,最長的時間。但往往學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念遺忘得那么快,特別是經(jīng)過一段時間后,學(xué)生似乎對每個數(shù)學(xué)概念都得要重新認(rèn)識,歸根結(jié)底是學(xué)生沒有很好地理解數(shù)學(xué)概念,只停留在表面,或許只是機(jī)械地記憶。做題時也只能簡單地模仿。一旦稍有變化,就手足無措了。因此我們需要全方位地理解數(shù)學(xué)概念,才能在數(shù)學(xué)解題中得心應(yīng)手,才能不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與思維品質(zhì)。以下筆者結(jié)合在教學(xué)中遇到的一些問題,從數(shù)學(xué)概念的教學(xué)與數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用兩方面加以闡述,敬請各位同仁斧正。
比如在導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)中,我們在學(xué)生初步掌握導(dǎo)數(shù)定義的基礎(chǔ)上,要讓學(xué)生能夠用自己的語言精確地描述導(dǎo)數(shù)的定義,進(jìn)而深入理解導(dǎo)數(shù)的概念。我們要從三個關(guān)鍵點(diǎn)入手:第一個關(guān)鍵點(diǎn)是對定義中區(qū)間(a,b)的理解;第二個關(guān)鍵點(diǎn)是對式子的理解;第三個關(guān)鍵點(diǎn)是要趨近于一個“常數(shù)A”。尤其是第二個關(guān)鍵點(diǎn),我們要特別關(guān)注,一是要注意等式右邊的結(jié)構(gòu)特征,這是一個關(guān)于平均變化率的結(jié)構(gòu),這種結(jié)構(gòu)類型我們可以與函數(shù)的單調(diào)性或>0)的定義來進(jìn)行對比學(xué)習(xí),把這兩種關(guān)系聯(lián)系起來,有助于學(xué)生理解平均變化率。二是在式子中,Δx是一個變化的量,既可以從大到小,也可以從小到大,也就是說這個不一定就是正數(shù),如果從左面遞進(jìn),那它也可以是一個負(fù)數(shù),不論平均變化率如何上下波動,導(dǎo)數(shù)的值同樣是一個常數(shù),也就是定義中的常數(shù)A。
學(xué)生有了對導(dǎo)數(shù)概念的深入理解后,在導(dǎo)數(shù)有關(guān)的題目解答中,才能隨機(jī)應(yīng)變。
利用數(shù)學(xué)概念解題,可以深化理解概念,縮短解題過程,提升數(shù)學(xué)能力,優(yōu)化思維品質(zhì),開發(fā)學(xué)習(xí)潛能。
A是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)
B是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)
C是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)
D是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)
點(diǎn)評:本題考查了奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義以及如何判斷一個函數(shù)的單調(diào)性。本題關(guān)鍵是要熟知奇偶函數(shù)與單調(diào)函數(shù)的定義,只有掌握了定義,才能夠解答題目。
每個數(shù)學(xué)概念都有其深刻嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃枷雰?nèi)涵,是構(gòu)建數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)。近年來高考試卷也很好地考查了數(shù)學(xué)概念,設(shè)計數(shù)學(xué)概念的考題清楚明了,又有一定的深度。由此,在平常的教學(xué)中,應(yīng)該重視概念教學(xué),這會讓我們不斷豐富自己的知識架構(gòu),并能通過本質(zhì)思考更深的現(xiàn)象。
近年來,高考數(shù)學(xué)摒棄了“偏、難、怪”,解法也杜絕“絕、冷、超”,試題更平穩(wěn),更加注重課本,課本中的基本概念是高考試題的源頭,是考生取得理想成績的源頭,脫離了課本概念追求能力培養(yǎng)與核心素養(yǎng)的提升就是無源之水、無本之木。
例2(.2018全國2卷22題)在直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線 l的參數(shù)方程為t為參數(shù)).
(1)求C與l的直角坐標(biāo)方程。
(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求直線l的斜率。
解析:本題考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程的基本數(shù)學(xué)概念,第(1)問考生通過消參的方法很容易就能拿下,要注意直線的直角坐標(biāo)方程要看是否存在斜率,本題通過cosθ是否為零來討論;第(2)問是常規(guī)的相交弦或者中點(diǎn)弦問題,利用設(shè)而不求的基本方法就可以求出直線的斜率,不過要求考生要熟練掌握運(yùn)算方法,尤其要理解參數(shù)的幾何意義,這樣運(yùn)算就更加簡單明了。
這只是高考真題的一例,縱觀近年的高考試卷,每一個試題都可以追溯到一個熟悉概念,甚至多個熟悉概念,例如??嫉臄?shù)學(xué)概念有:復(fù)數(shù)、集合、函數(shù)、向量、圓錐曲線、數(shù)列、概率等。每一個題目的考查萬變不離其宗,這就要求我們老師在平時教學(xué)中,要對教材進(jìn)行充分的鉆研,對課本中的概念、例題、習(xí)題慢慢體會,仔細(xì)琢磨,領(lǐng)會專家編寫教材的意圖,進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)與提高。
數(shù)學(xué)知識的起點(diǎn)是數(shù)學(xué)概念,數(shù)學(xué)概念就是數(shù)學(xué)的本質(zhì),它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),解決數(shù)學(xué)問題都應(yīng)該從正確理解數(shù)學(xué)概念出發(fā),抓住概念的本質(zhì),這樣才能幫助我們更好地制訂解決問題的策略,教學(xué)中緊緊抓住數(shù)學(xué)概念的來龍去脈,才能提升學(xué)生的理解能力,也有助于我們提升課堂教學(xué)的有效性。