金雅芳
(浙江省紹興市上虞區(qū)浙江省春暉中學,浙江 紹興)
【例題】在△ABC中,acosB=bcosA,且邊BC上的中線長為4.求△ABC面積的最大值.
【分析】從面上看,本題非常符合解三角形的考試要求:掌握正弦定理、余弦定理及其應用,并能對面積公式進行適當應用;也非常符合解三角形的本質(zhì):考查方向從邊到角或是從角到邊,在邊角互化的過程中體會函數(shù)思想、化歸思想.其實先利用正弦定理,馬上可得:
sinAcosB=sinBcosA?sin(A-B)=0,即 A=B.
☆流程圖:設(shè)變量→建立函數(shù)關(guān)系式→求一元單變量函數(shù)的最值問題.
【解法1】取線段BC的中點為M,設(shè)AC=BC=2x,則CM=x可得
由①可得:
則
則
研究②式,也可利用asinx+bcosx的最值建立不等式關(guān)系:
可化簡為5S-4ScosC=32sinC
移項得:4ScosC+32sinC=5S ③
☆流程圖:看圖形特征→建立直角坐標系→聯(lián)系一元單變量函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征→求最值.
在代數(shù)式的轉(zhuǎn)化過程中,很多時候均可以采用幾何元素來進行考查.
如研究上面②式也可采用:
【解法2】題中已知三角形為等腰三角形,也可考慮建系完成.
以線段AB所在直線為x軸,中垂線為y軸建立直角坐標系,設(shè) A(-a,0),B(a,0),C(0,b),又設(shè)邊 BC 的中點為
現(xiàn)行新課標數(shù)學教材(普通高中數(shù)學課程標準,人民教育出版社,A版)主編寄語中指出:數(shù)學是自然的,是水到渠成、渾然天成的,不僅合情合理,甚至很有人情味,學習數(shù)學要摸索學習的方法,數(shù)學學習要摸清數(shù)學學科素養(yǎng),積極培育學生的學科思維能力.數(shù)學又是自由的,是包羅萬象的基礎(chǔ),對抽象、一般的事物,要積極發(fā)揮想象的空間.因而,在數(shù)學教學中,也要使數(shù)學概念的呈現(xiàn)、思維的形成發(fā)展、方法的生成應用、學習能力的提升成為自然、必然而水到渠成的,使學生體會到數(shù)學的自然、有用、有趣、嚴謹而生動,從而充滿興趣地積極參與到數(shù)學教學活動中,主動思考探究數(shù)學知識、方法,形成數(shù)學思想,提升數(shù)學學習能力.明年全國推進新一輪的課程改革,浙江省又是改革先鋒,作為數(shù)學老師,期待著數(shù)學“芯片”的產(chǎn)生!