聚焦三角函數(shù)和解三角形中的經(jīng)典問(wèn)題

■江蘇省平潮高級(jí)中學(xué)高中數(shù)學(xué)組 張曉萍

高考對(duì)三角的考查,主要圍繞“和差角及倍角公式、三角形中的三角變換及最值、圖像變換(平移和伸縮)、圖像性質(zhì)的應(yīng)用、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題”等展開(kāi),凸顯方程思想、整體變量觀念和數(shù)形結(jié)合思想方法的具體應(yīng)用。

聚焦1——利用二倍角及“二次函數(shù)關(guān)系”變結(jié)構(gòu)求值或最值

例1 (2017年第三次全國(guó)大聯(lián)考新課標(biāo)卷Ⅰ)函數(shù)f(x)=sinx+cosxsinxcosx+1的值域?yàn)?。

聚焦2——三角變換中“恒等變形湊角”求值

剖析：給值求值,關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間角的差異。從湊角入手,已知角為一個(gè)時(shí),待求角用已知角和特殊角表示或用已知角有“倍的關(guān)系”或“互余互補(bǔ)關(guān)系”表示;已知角為兩個(gè)時(shí),待求角一般表示為已知角的和或差的代數(shù)式。

聚焦3——三角函數(shù)圖像變換方法

例3 (2017年廣東珠海市高三摸底)已 知 曲 線 C1：y=sinx,C2：y=

A.把曲線C1上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2

B.把曲線C1上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2

C.把曲線C1向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,得到曲線C2

D.把曲線C1向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,得到曲線C2

解析：依據(jù)“先周期后相位”或“先相位后周期”的兩種思維方法對(duì)選擇支分別驗(yàn)證。

故選B。

剖析：三角函數(shù)圖像變換,首先要利用誘導(dǎo)公式將不同名函數(shù)轉(zhuǎn)換成同名函數(shù),常用行圖像變換時(shí)有兩種途徑：一是先伸縮再平移,二是先平移再伸縮。特別注意：y=Asin(ωx+φ1)到y(tǒng)=Asin(ωx+φ2)的平移單位是Δx=,當(dāng)Δx＞0時(shí),將y=Asin(ωx+φ1)圖像上的點(diǎn)向左平移Δx個(gè)單位得到,當(dāng) Δx<0時(shí),將y=Asin(ωx+φ1)圖像上的點(diǎn)向右平移-Δx個(gè)單位得到。

聚焦4——結(jié)合三角變換求解三角函數(shù)問(wèn)題

(1)設(shè)方程f(x)-1=0在(0,π)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,求f(x1+x2)的值;

剖析：利用向量數(shù)量積的運(yùn)算和三角變換化歸余弦函數(shù),借助余弦函數(shù)區(qū)間上的對(duì)稱性簡(jiǎn)化求值,利用圖像變換得到函數(shù)表達(dá)式,運(yùn)用整體變量解出其單調(diào)區(qū)間,凸顯了三角函數(shù)的工具性、應(yīng)用性及交匯性。

聚焦5——三角形中的三角變換及最值

例5(2017年第二次全國(guó)大聯(lián)考)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,

(1)求角A;

(2)若a=3,求△ABC面積的最大值。

(2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bc·cosA,且a=3,所以(3)2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc。

因?yàn)閎2+c2≥2bc,所以3≥2bc-bc,即bc≤3,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí),bc取得最大值。又a=3,故bc取得最大值時(shí),△ABC為等邊三角形,此時(shí)三角形面積最大值為

剖析：三角形中挖掘隱含條件“三角形內(nèi)角和定理、正弦定理、余弦定理”,目標(biāo)意識(shí)下化統(tǒng)一：“邊化角”或“角化邊”,常常從尋求角的差異入手,合理降元選用公式進(jìn)行變換,對(duì)于最值或范圍問(wèn)題,將目標(biāo)函數(shù)變換——邊化角,利用正余弦的有界性求解或者借助余弦定理溝通邊滿足的關(guān)系,運(yùn)用不等式放縮可得到三角形面積最大值和周長(zhǎng)最大值。

熱點(diǎn)6——應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題

例6 (2017年第二次全國(guó)大聯(lián)考)如圖1所示,為了測(cè)量A,B兩處島嶼的距離,小明在D處觀測(cè),A,B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向行駛40海里至C處,觀測(cè)B在C處的正北方

向,A在C處的北偏西60°方向,則A,B兩處島嶼間的距離為( )。

圖1

解析：依據(jù)已知的方位角的意義構(gòu)建一系列的三角形,合理應(yīng)用正余弦定理求解。如圖1,在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,由正弦定理可得202。在Rt△DCB中,∠BDC=45°,所以BD=2CD=402。

在△ABD中,由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=800+3200-2×202×402×=2400,解得AB=206。

剖析：解三角形應(yīng)用題的方法步驟：(1)讀懂題意,理解問(wèn)題的實(shí)際背景,明確已知和所求,理清量與量之間的關(guān)系。(2)根據(jù)題意畫出示意圖,將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形模型。(3)選擇正弦定理或余弦定理求解。(4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題,注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等。