仔細(xì)探索規(guī)律，準(zhǔn)確確定范圍

吉沙娟

在圓錐曲線中，很多同學(xué)在求點(diǎn)的軌跡方程時(shí)常常把握不住范圍，其實(shí)范圍的確定是有一定的規(guī)律可循的，下面通過(guò)例題來(lái)揭示這些規(guī)律.

一、定義中的限制條件帶來(lái)的范圍

例1已知一個(gè)動(dòng)圓M與兩定圓C1：（x＋4）2＋y2＝1，C2：（x-4）2＋y2＝9均外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.

解析設(shè)動(dòng)圓圓心M（x，y），動(dòng)圓的半徑為r，則根據(jù)題意得

反思小結(jié)由于雙曲線的定義中有“差的絕對(duì)值”這個(gè)限制條件，所以如果僅是“差”，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡往往是雙曲線的一支.據(jù)此可知，定義中的限制條件帶來(lái)了軌跡方程中的限制范圍.

總結(jié)所有圓錐曲線的定義的限制條件如下：

1.雙曲線的定義中有兩個(gè)限制條件，一個(gè)是“差的絕對(duì)值”，一個(gè)是“差必須小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離”；

2.橢圓的定義中有一個(gè)限制條件，就是“和必須大于兩個(gè)定點(diǎn)的距離”；

3.拋物線的定義中有一個(gè)與橢圓、雙曲線都不一樣的限制條件是“定點(diǎn)不在定直線上”；

4.圓錐曲線的統(tǒng)一定義是“平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l（F不在l上）的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡”，其中也有一個(gè)限制條件，就是“F不在l上”，不僅如此，還需要關(guān)注點(diǎn)F是在l的左方還是右方，或者是上方還是下方，以便確定范圍.

二、題設(shè)中的限制條件帶來(lái)的范圍

例2已知一個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)A（3，20），一個(gè)底角頂點(diǎn)為B（3，5），求另一個(gè)底角頂點(diǎn)C的軌跡.

解析設(shè)點(diǎn)C（x，y），根據(jù)題意有AB＝AC，則15，即（x-3）2＋（y-20）2＝225.

考慮到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是不共線的，所以x≠3，故所求頂點(diǎn)C的軌跡就是以頂點(diǎn)A（3，20）為圓心、15為半徑的圓（除去點(diǎn)B（3，5）和點(diǎn)（3，35））.

例3動(dòng)圓C：（x-1）2＋y2＝1，過(guò)原點(diǎn)O作圓的任意一條弦，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

解法1（直接法）設(shè)OQ為過(guò)O的任一條弦，P（x，y）是其中點(diǎn)，由題知CP⊥OQ，即所以 （x-1，y）·（x，y）＝0，即.考慮到弦的中點(diǎn)在動(dòng)圓C內(nèi)，所以x≠0，即所求的軌跡方程為

解法2（定義法）因?yàn)椤螼PC＝90°，動(dòng)點(diǎn)P在以圓心，OC為直徑的圓上，所以所求點(diǎn)的軌跡方程為

解法3（參數(shù)法）設(shè)動(dòng)弦OQ的方程為y＝kx，由得：（1＋k2）x2-2x＝0.

設(shè)O（0，0），Q（x2，y2），OQ的中點(diǎn)為P（x1，y1），則：

反思小結(jié)題設(shè)中的限制條件有時(shí)是顯性的，有時(shí)是隱性的.比如條件中“三角形”“弦的中點(diǎn)”分別是顯性和隱性的，不管是哪類都需要轉(zhuǎn)化才能獲得正確的范圍，如果多運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想將有利于轉(zhuǎn)化.

三、推理運(yùn)算過(guò)程中帶來(lái)的范圍

例4已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足（為參數(shù)），求動(dòng)點(diǎn) 的坐標(biāo) ，tPxy滿足的普通方程.

解析將兩邊平方，與y＝聯(lián)立消去t，不難得到y(tǒng)＝x2-2，而x＝可知x≥2或x≤-2，所以動(dòng)點(diǎn)P滿足的普通方程是y＝x2-2（x≥2，或x≤-2）.

反思小結(jié)利用參數(shù)法是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一種方法，在消去參數(shù)的過(guò)程中要注意推理的等價(jià)性.

確定軌跡的范圍是處理軌跡問(wèn)題的難點(diǎn)，也是我們最容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方，所以在平時(shí)的學(xué)習(xí)和練習(xí)中，既要對(duì)基本的概念和公式理解透徹，也要準(zhǔn)確理解題意，挖掘隱含條件.另外，這部分研究的對(duì)象是平面幾何，所以圖形是其本質(zhì)，坐標(biāo)法是解決問(wèn)題的方法，在分析題意時(shí)多畫(huà)圖，也便于看清題目的本質(zhì).