孫大猛
(安徽省壽縣第二中學)
具體思路為:(1)首先分清條件是什么,結(jié)論是什么;(2)接著嘗試用條件推結(jié)論(說明充分性),或用結(jié)論(作為條件)推條件(作為結(jié)論)(說明必要性);(3)最后指出條件是結(jié)論的什么條件。
例1.“a>b”是“l(fā)og2a>log2b”的()
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解:當a或b取負數(shù)時,對數(shù)的真數(shù)小于零,此時對數(shù)無意義,反之,若“l(fā)og2a>log2b”則 a>b>0,故選 B.
點評:在判斷充分條件、必要條件、充要條件時,首先要弄清哪一個是“條件”,哪一個是“結(jié)論”,同樣是A?B若A作為條件,B作為結(jié)論,則A是B的充分條件,若把B作為條件,A作為結(jié)論,則A是B的必要條件,其次在判斷是A蘊含B,還是B蘊含A,即到底向哪一邊推才能得出正確結(jié)果,兼顧這兩個方面就能做出正確的選擇。
根據(jù)充分條件和必要條件的定義,可知如果命題“若p,則q”為真,則p是q的充分條件,q是p的必要條件,可見命題中蘊含著邏輯條件,運用邏輯條件也可判斷命題的真假,這就是命題與邏輯條件之間的關(guān)系:(1)用命題真假判斷邏輯條件,(2)用邏輯條件判斷命題的真假,(3)命題的真假與邏輯條件的循環(huán)轉(zhuǎn)化。原命題與其逆否命題是“同真同假”的等價命題,當我們直接判斷原命題的真假有困難時,可以轉(zhuǎn)化為判斷與其等價的逆否命題的真假,從而聯(lián)系到充分條件與必要條件的判斷,這一點在充分、必要條件的判斷時經(jīng)常用到。
例2.已知p:方程x2+x-m=0沒有實根,q:m≤0則p是q的什么條件?
在本學期我所帶的班級,上課提問學生時,大部分學生在給出的結(jié)果是即不充分也不必要條件,問題原因,學生給出的答案是:該方程沒有實根解得m≤-,不是m≤0,故左邊推不出右邊,探其錯因是學生忽略了因為m≤-,所以m≤0這個邏輯關(guān)系,但是這個命題轉(zhuǎn)化為判斷原命題的真假就容易多了,很顯然原命題為真,故其逆否命題也必為真,則所問的問題左邊能推出右邊,所以答案應是充分不必要條件;再比如判斷p:x≠3且y≠2是q:x+y≠5的什么條件。
點評:等價的兩個命題同真同假,對于某些命題可直接從正面考慮,但是有些問題從正面考慮時可能過程冗繁或難以找到切入點,這時,若改變思考角度,將問題轉(zhuǎn)化,從其等價命題入手,可迅速獲解。
人教A版選修2-1教材13頁習題B組第一題給出這樣一個題目:
1.已知 A={x|x 滿足條件p },B={x|x 滿足條件q }
(1)如果A?B,那么p是q的條件;
(2)如果B?A,那么p是q的條件;
(3)如果A=B,那么p是q的條件;
用集合的觀點解釋條件則有:①若A含于B,則p是q的充分條件,②若B含于A,則p是q的必要條件,③若A=B,則p和q互為充要條件??梢龑W生把此事實形象地記為“小范圍推出大范圍”。
例3(.1)若p(:x+1)(x-3)=0,q:x=3,則p是q的什么條件?
(2)若 p:x>4,q:x>3,則 p 是 q 的什么條件?
解析:根據(jù)上面的結(jié)論,由小范圍推出大范圍可得:(1)中p是q的必要不充分條件,(2)中p是q的充分不必要條件。
點評:對充分條件與必要條件理解的關(guān)鍵兩條是:(1)充分在前,必要在后;(2)小范圍推出大范圍。
當用特殊值、舉反例進行驗證,做出判斷,是正難則反數(shù)學思想的一個重要應用,從而簡化解題過程,這種方法適合于解選擇題,特別是選擇只涉及范圍問題時尤為明顯。
例4方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根的充要條件是( )
A.0<a≤1 B.0<a≤1 C.a<1 D.a≤1
解:利用特殊值驗證:當a=0時,x=-,排除 A,B;當 a=1時,x=-1,排除 C.因此選 D.
點評:作為選擇題,利用舉反例法避免了復雜的邏輯推理過程,使解題方法更加優(yōu)化,節(jié)省了時間,提高了解題的速度,因此同學們在平時的訓練中多積累素材,注意解題方法和技巧的選擇使用。
當然高考中對充分必要條件考查都是與其他知識的綜合,都是對平時所學的基礎(chǔ)題進行變式、重組,這就要求同學們在了解掌握充分必要條件的基礎(chǔ)上,還要加強前后知識的聯(lián)系,舉一反三,熟練地運用以上技巧加深對知識的理解與運用。
[1]張人利.教學有效性判斷是評課的基本依據(jù)[J].現(xiàn)代教學,2007(Z1).
[2]索桂芳,任學印.新課程體系下合作學習教學模式的構(gòu)建[J].課程·教材·教法,2006(8).