對稱點(diǎn)的特殊與一般

葉智超

同學(xué)們，我們在課堂上研究了平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，當(dāng)我們把對稱軸、對稱中心進(jìn)行適當(dāng)平移后，這些對稱點(diǎn)的坐標(biāo)又會有什么樣的變化呢？下面，讓我們共同來研究.

請同學(xué)們思考這樣一道題目：

1.在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-4，5），B（-5，2），C（-1，3）.

（1）△A0B0C0與△ABC關(guān)于y軸對稱.在圖1中畫出△A0B0C0，并寫出△A0B0C0三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）觀察圖中對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，寫出直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)：______.

【解析】（1）分別作出各點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，再順次連接即可，圖略，A0（4，5），B0（5，2），C0（1，3）；（2）（-a，b）.

【說明】本題主要考查在直角坐標(biāo)系中根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖，以及圖形的軸對稱變換與點(diǎn)的坐標(biāo)變化之間的關(guān)系.作關(guān)于y軸對稱的圖形是同學(xué)們平常接觸過的問題，難度不大.

請同學(xué)們再觀察下列兩題：

2.在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-4，5），B（-5，2），C（-1，3）.

（1）直線l1經(jīng)過點(diǎn)（1，0），并且與y軸平行， △A1B1C1與△ABC關(guān)于直線l1對稱.在圖2中畫出△A1B1C1，并寫出△A1B1C1三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）比較圖2中△A1B1C1與圖1中△A0B0C0的位置關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）寫出直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l1的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)：______.

3.在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-4，5），B（-5，2），C（-1，3）.

（1）若直線l2經(jīng)過點(diǎn)（2，0），并且與y軸平行，△A2B2C2與△ABC關(guān)于直線l2對稱.在圖3中畫出△A2B2C2，并寫出△A2B2C2三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）比較圖3中△A2B2C2與圖1中△A0B0C0的位置關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）寫出直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l2的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)：______.

【解析】問題2中：（1）圖略，A1（6，5），B1（7，2），C1（3，3）；（2）把△A0B0C0向右平移2個單位，得到△A1B1C1；（3）（-a+2，b）.問題3中：（1）圖略，A2（8，5），B2（9，2），C2（5，3）；（2）把△A0B0C0向右平移4個單位，得到△A2B2C2；（3）（-a+4，b）.

下面請同學(xué)們仔細(xì)觀察上述3個題目：

（1）你能發(fā)現(xiàn)對稱的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)有何關(guān)系嗎？

（2）你能用語言描述你的發(fā)現(xiàn)并解釋其中的道理嗎？

（3）若直線l經(jīng)過點(diǎn)（n，0）（n>0）并且與y軸平行，你能寫出直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

（4）當(dāng)n<0時，情況又怎樣呢？

（5）若直線l′經(jīng)過點(diǎn)（0，m）并且與x軸平行，你能用上面所獲得的活動經(jīng)驗(yàn)研究直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l′的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

同學(xué)們，把對稱軸改變后，這些對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是否具有某種規(guī)律性？經(jīng)過嘗試，我們發(fā)現(xiàn)這種規(guī)律性是存在的，大家應(yīng)該學(xué)著闡述對稱軸的平移和對稱圖形的平移之間的關(guān)系，以及點(diǎn)的坐標(biāo)的變化情況.當(dāng)n>0時，點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（-a+2n，b），當(dāng)n<0時，坐標(biāo)仍然滿足上述規(guī)律.

我們在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要學(xué)會對問題進(jìn)行反思，把問題的條件或結(jié)論一般化，可能就會挖掘出更有價值的知識，形成對圖形變換的整體認(rèn)識.當(dāng)然，再碰到較難問題時，我們也可先將條件或結(jié)論特殊化，去尋找特殊情形時的方法，然后再類比到所求問題中.

因此，同學(xué)們在學(xué)習(xí)與解題時，應(yīng)多去感悟“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想，力爭做一題會一類，掌握研究問題和解題的方法，提高學(xué)習(xí)能力.

練習(xí)：

1.在直角坐標(biāo)系中， △ABC的位置如圖4所示.

（1）先將△ABC向下平移2個單位后，再作該三角形（平移后的三角形）關(guān)于y軸成軸對稱的圖形，記為△A′B′C′，寫出所作△A′B′C′各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若先將△ABC向下平移m（m>0）個單位后，再作該三角形（平移后的三角形）關(guān)于直線l[直線l經(jīng)過點(diǎn)（n，0），并且與y軸平行]成軸對稱的圖形，記為△A′′B′′C′′，你能寫出△A′′B′′C′′的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

【答案】（1）圖略，A′（-3， 2），B′（-2，-1），C′（-6，0）；（2）A′′（-3+2n，4-m），B′′（-2+2n，1-m），C′′（-6+2n，2-m ）.

（作者單位：南京航空航天大學(xué)附屬初級中學(xué)）endprint