江蘇省新沂市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 李妍妍

我們對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識教學(xué)，目的是為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，而不是簡單地讓學(xué)生掌握這些死的數(shù)學(xué)知識。那么，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力包括哪些方面呢？對于這個(gè)問題，歷來眾說紛紜。在教學(xué)中，我們還要進(jìn)一步探討和實(shí)驗(yàn)，以使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)增強(qiáng)針對性和實(shí)效性。

在選擇專門實(shí)驗(yàn)方法之前，筆者擬定了一個(gè)可以辨別有能力的學(xué)生和能力差的學(xué)生在學(xué)習(xí)上有明顯差別的領(lǐng)域，作為我們的初步指標(biāo)。換句話說，我們假定在數(shù)學(xué)能力的一般結(jié)構(gòu)中包含著某些成分。分析心理學(xué)和數(shù)學(xué)的文獻(xiàn)以及探察實(shí)驗(yàn)（由于受篇幅所限，對于所引用的文獻(xiàn)不再一一注明，敬請諒解），都給我們指明了探索數(shù)學(xué)能力的方向。

在許多著作中都提到了概括能力。拉祖爾斯基和他的同事做了一個(gè)有趣的分離學(xué)習(xí)算術(shù)能力的嘗試。他們“在其他課程中很少使用的心理機(jī)能”之中，抽出了“概括能力”。但是，他們并沒有充分揭示這種“機(jī)能”的心理實(shí)質(zhì)。還應(yīng)提到的是，美國心理學(xué)家桑代克的一本著作中，也談到了“概括能力”，并把它看作是“代數(shù)”能力的一種。

在謝瓦列夫、梅欽斯卡婭和她的同事的著作中有些很有價(jià)值的材料。謝瓦列夫證實(shí)，在解代數(shù)題時(shí)，概括的聯(lián)想同個(gè)別的聯(lián)想一樣是有價(jià)值的。多布拉耶夫、斯捷潘諾夫、塔雷齊娜和雅羅楚克等人的著作都提到了概括數(shù)學(xué)材料上的個(gè)別差異。

筆者進(jìn)一步假定有能力學(xué)生和能力差的學(xué)生的“縮短”率應(yīng)當(dāng)是不同的一一即在解題過程中“縮短”推理過程和“縮短”有關(guān)運(yùn)算系統(tǒng)。有才能的學(xué)生推理和運(yùn)算系統(tǒng)的“縮短”速度很可能極其迅速。

上述謝瓦列夫和梅欽斯卡婭的著作，對理解這個(gè)問題很有價(jià)值。謝瓦列夫曾指出，學(xué)生在解答代數(shù)問題時(shí)，并不需要把推論的全部環(huán)節(jié)，即解題的完整而詳細(xì)的邏輯結(jié)構(gòu)全部再現(xiàn)出來。梅欽斯卡婭也曾證實(shí)，甚至學(xué)生在解答算術(shù)問題時(shí)，推理過程的中間環(huán)節(jié)也在逐漸“縮短”。塔雷齊娜、英豕克和索科洛夫用解答幾何、化學(xué)、物理問題的材料探索了推理過程的逐漸縮短問題。

最后，筆者假定數(shù)學(xué)能力不同的學(xué)生從正方向思維靈活地向逆方向思維轉(zhuǎn)換的能力是不同的。很明顯，有才能的學(xué)生相當(dāng)容易而較自由地完成這種運(yùn)算，而大多數(shù)學(xué)生從直接證明轉(zhuǎn)到間接證明，或從正定理轉(zhuǎn)向逆定理則有一定的困難。

從心理學(xué)角度可以區(qū)別出兩種不同類型的聯(lián)想：“正向”聯(lián)想——從前一個(gè)刺激聯(lián)想到后一個(gè)刺激；“反向”聯(lián)想——從后一個(gè)刺激聯(lián)想到前一個(gè)刺激?？ò椭Z娃—梅勒曾用地理學(xué)的材料表明，不是全部兒童都能獨(dú)立地從“正向”聯(lián)想轉(zhuǎn)到相應(yīng)的“反向”聯(lián)想。成績好的學(xué)生，當(dāng)他在一個(gè)方向上很好地建立起聯(lián)結(jié)之后，就能相當(dāng)容易地在相反的方向上實(shí)現(xiàn)這種聯(lián)結(jié)。能力差的學(xué)生則很困難：他們需要經(jīng)過專門的訓(xùn)練才能形成這種“反方向”的聯(lián)結(jié)。

這種對數(shù)學(xué)能力組成成份的假說是我們設(shè)計(jì)一系列實(shí)驗(yàn)?zāi)康闹饕罁?jù)。這種看法是在我們研究個(gè)別差異的問題時(shí)形成的。在深入研究的階段中，關(guān)于數(shù)學(xué)能力組成成份的假說將以更加完整的形式提出來。

這方面的資料首先是由所提到過的那些實(shí)驗(yàn)中獲得的。這些實(shí)驗(yàn)揭示了有數(shù)學(xué)才能學(xué)生的其他一些心理特點(diǎn)。其次，是從對小學(xué)、初中年齡階段的數(shù)學(xué)天才兒童的初步觀察中得來的。這兩方面的材料都表明有數(shù)學(xué)才能的學(xué)生的特點(diǎn)是能很好地分析綜合題目的條件：既能很快地抓住作為題目本質(zhì)的基本聯(lián)系，同時(shí)又沒有忽略題目中的具體數(shù)據(jù)。

空間觀念在數(shù)學(xué)能力的結(jié)構(gòu)中應(yīng)起一定的作用。這種能力在能力強(qiáng)的學(xué)生身上是以不同方式表現(xiàn)出來的，這可能與數(shù)學(xué)能力的不同類型有關(guān)。

但是，必須承認(rèn)，關(guān)于數(shù)學(xué)能力的結(jié)構(gòu)問題迄今為止還不可能有一個(gè)完整的假說，筆者只涉及了它的個(gè)別方面。為了進(jìn)一步研究，我們需要有一個(gè)相當(dāng)完整的關(guān)于數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)的假說(因?yàn)橥暾膶?shí)驗(yàn)題目體系是按這種假說來設(shè)計(jì)的)。我們并不妄圖更深刻和有意地去分析數(shù)學(xué)科學(xué)(這是數(shù)學(xué)家的事，它已經(jīng)超越了我們老師的工作范圍)，我們?yōu)樽约禾岢隽艘粋€(gè)有限的研究目標(biāo)，僅限于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

如前所述，我們是把數(shù)學(xué)能力作為學(xué)生創(chuàng)造性地掌握學(xué)校數(shù)學(xué)課程的能力來研究的。當(dāng)然，數(shù)學(xué)科學(xué)與作為普通教育中學(xué)校的一門數(shù)學(xué)課程來說，兩者之間有著根本的差別。在方法學(xué)文獻(xiàn)中也曾多次指出過這一點(diǎn)。吉布什寫道：“當(dāng)然，學(xué)校數(shù)學(xué)課的各個(gè)分支(算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角)不是相應(yīng)科學(xué)的翻版?！睂×_夫在他的《作為學(xué)校課程的數(shù)學(xué)》一文中也談到了這個(gè)問題，但是他作了重要的補(bǔ)充。

數(shù)學(xué)的基本特征是公理的方法，這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。事實(shí)上，公理的定義就是在一定概念體系中的每個(gè)概念都是借助于它與這一體系中的其他概念相聯(lián)系的那種關(guān)系而被確定下來的。因?yàn)榘岩粋€(gè)概念放在概念體系中來考慮，就不會(huì)有任何一個(gè)對其他概念來說是毫無關(guān)系的概念了。

在上述所談到的能力中，我們試圖排除那些屬于一般性的東西(例如抽象思維能力)，而是設(shè)法把這一般的東西“分解”為更精確、更具體的東西。這就是我們關(guān)于數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)各種組成成分的假定模式，也是我們進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究的出發(fā)點(diǎn)。