一道求微分方程特解習(xí)題的推廣

高 芳，熊艷琴

（1.池州學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽池州247100；2.南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇南京210044）

二階常系數(shù)線性非齊次微分方程y″+py′+qy=f(x)的求解是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，一般的高等數(shù)學(xué)教材[1-2]均會(huì)討論當(dāng)f(x)=Pm(x)eλx時(shí)（其中Pm(x)是m次多項(xiàng)式）特解的形式。

當(dāng)非齊次項(xiàng)f(x)=Pm(x)eλx時(shí)，利用待定系數(shù)法，可得特解的一般形式為y*=xkQm(x)eλx

其中k=0,1,2，分別對(duì)應(yīng)當(dāng)λ不是特征根、單特征根和二重特征根的情形。

一般地，在利用待定系數(shù)法求特解時(shí)，計(jì)算比較繁瑣，計(jì)算量較大，教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。文獻(xiàn)[3-5]討論了二階常系數(shù)非齊次線性常微分方程的一些簡(jiǎn)便求解方法。本文由一道例題求解出發(fā)，給出了當(dāng)Pm(x)為二次多項(xiàng)式時(shí)一個(gè)容易計(jì)算和記憶的特解公式。

1 待定系數(shù)法

先從非齊次項(xiàng)中Pm(x)是最簡(jiǎn)單的二次多項(xiàng)式進(jìn)行分析。

例：求微分方程y″-6y′+9y=x2e3x的一個(gè)特解。

解：由于f(x)=x2e3x，而λ=3是對(duì)應(yīng)的齊次微分方程特征方程的二重根，因此可設(shè)特解為

y*=x2(l x2+m x+n)e3x，對(duì)y*求導(dǎo)得

將y*′,y*′′代入原方程，得

在此例中，通過求解可知m,n均為0，特解形式變得相對(duì)簡(jiǎn)單，特解的系數(shù)只與f(x)=x2e3x的二次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)。對(duì)于f(x)=(ax2+bx+c)eλx的一般情形，二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解形式又該如何？下面我們進(jìn)行具體分析。

2 主要結(jié)論

對(duì)于微分方程

當(dāng)P2(x)=ax2+bx+c(a≠0)時(shí)，分三種情形進(jìn)行討論。

情形一、當(dāng)λ不是特征方程的根時(shí)，即λ2+pλ+q≠0時(shí)，可設(shè)特解為

對(duì)y*求導(dǎo)得：

通過比較系數(shù)，得：

此時(shí)，由計(jì)算結(jié)果可知特解表達(dá)式中的未知系數(shù)由a,b,c和p,q,λ的值唯一確定.

情形二、當(dāng)λ是特征方程的單根時(shí)，即λ2+pλ+q=0，2λ+p≠0時(shí)，可設(shè)特解為

對(duì)y*求導(dǎo)得：

將y*′′,y*′,y*代入方程（*）中，整理化簡(jiǎn)得：

通過比較系數(shù)，可得：

特別地，當(dāng)Pm(x)=ax2時(shí)，

此時(shí)特解由a,p,λ的值唯一確定，且特解形式相對(duì)簡(jiǎn)單.

情形三、當(dāng)λ是特征方程的二重根時(shí)，即當(dāng)λ2+pλ+q=0，且2λ+p=0時(shí)，可設(shè)特解為

y*=x2(a1x2+b1x+c1)eλx，對(duì)y*求導(dǎo)得：

將y*′′,y*′,y*代入（*）中，化簡(jiǎn)整理得：

通過比較系數(shù)，可知

在情形三中，特解待定系數(shù)里的a1,b1,c1可分別由a,b,c唯一確定，且形式簡(jiǎn)單便于記憶。更一般地若f(x)=ax2eλx，在計(jì)算題中，可直接設(shè)特解為y*=a1x4eλx，求導(dǎo)代入方程，可簡(jiǎn)化計(jì)算，通過分析過程可知，當(dāng)λ是特征方程的二重根時(shí)，特解可由較簡(jiǎn)單的形式給出。情形三下的結(jié)果可推廣至f(x)=(ax3+bx2+cx+d)eλx的情形，利用待定系數(shù)法，此時(shí)特解為：y*=x2(a1x3+b1x2+c1x+d1)eλx，其中.若f(x)=ax3eλx，在計(jì)算題中，可直接設(shè)特解為y*=a1x5eλx，求導(dǎo)代入方程，可簡(jiǎn)化計(jì)算，并提高計(jì)算的速度和準(zhǔn)確性。