一類隨機(jī)不確定網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞濾波器設(shè)計(jì)?

李明揚(yáng)， 張 玲??， 褚東升， 于海波

(1.中國海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東省高校海洋機(jī)電裝備與儀器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山東 青島 266100； 2.中國海洋大學(xué)基礎(chǔ)教育中心， 山東 青島 266100)

近年來，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked Control System，NCS)已成為控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。NCS通過網(wǎng)絡(luò)將控制系統(tǒng)的各部分聯(lián)接起來，實(shí)現(xiàn)了分布式的反饋控制。然而，由于網(wǎng)絡(luò)帶寬的限制及信號傳輸中的干擾因素的存在，在NCS的信道中會出現(xiàn)數(shù)據(jù)包的丟失、滯后等現(xiàn)象，而且信號可能受到加性或乘性的噪聲干擾。

NCS的概念由Walsh[1]首次提出，考慮到NCS中的丟包問題，Sahebsara等通過伯努利變量描述了丟包問題，并建立了帶丟包的NCS模型,其中數(shù)據(jù)包丟失同時發(fā)生在傳感器-估值器(Sensor to estimator,S-E)通道和控制器-執(zhí)行器通道(Controller to actuator,C-A)，并設(shè)計(jì)了其H∞和H2濾波器[2-3]；孫書利等[4]針對該多丟包模型，設(shè)計(jì)了線性最小方差意義下的最優(yōu)濾波器，梁彥等[5]將此成果推廣到一般的NCS。同時NCS中的時滯和丟包并發(fā)的情形也得到了廣泛研究，孫書利等討論了觀測通道中同時帶有多步丟包和有限步時滯的模型[6]，但該模型中同一數(shù)據(jù)包需多次發(fā)送，可能導(dǎo)致信道擁塞。文獻(xiàn)[7]對文獻(xiàn)[6]中的模型進(jìn)行了改進(jìn)，模型中數(shù)據(jù)包僅需傳輸一次，減輕了信道壓力，其后此成果被推廣到一般的NCS中[8]。但同時考慮多步時滯和丟包的模型較復(fù)雜，不便于實(shí)際應(yīng)用，而且數(shù)據(jù)經(jīng)多步時滯后的可用性已不大,因此一步時滯和丟包模型正受到越來越多的關(guān)注。孫書利[9]提出了帶有一步時滯和多丟包的NCS模型并研究了最優(yōu)濾波算法，李秀英等[10]又對其模型進(jìn)行了改進(jìn)，減少了增廣維度，并設(shè)計(jì)了其H∞濾波器。

乘性噪聲作為一種重要的信道擾動，在石油地震勘探、衛(wèi)星姿態(tài)估計(jì)、水聲通信、目標(biāo)跟蹤中已有廣泛應(yīng)用。Gershon[11]和張玲[12]等分別研究了帶乘性噪聲系統(tǒng)的H∞濾波和最優(yōu)濾波算法，馬靜等[13]將乘性噪聲引入到含有丟包的NCS模型中來，并推導(dǎo)了相應(yīng)的最優(yōu)濾波算法，在一定程度上推廣了NCS模型，但此文獻(xiàn)并沒有考慮NCS中含有隨機(jī)時滯的情形，而且模型中的乘性噪聲只存在于S-E通道中。

本文改進(jìn)了文獻(xiàn)[10]提出的一步時滯和丟包模型，綜合考慮了S-E和C-A通道中的丟包、時滯、乘性噪聲因素，建立了一類隨機(jī)不確定網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的模型。針對此模型，利用線性矩陣不等式方法設(shè)計(jì)了其H∞濾波器，并對濾波算法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 系統(tǒng)模型建立

帶乘性噪聲系統(tǒng)模型如下：

(1)

η1(k-1))η2(k)]y(k-1)} ，

(2)

ζ1(k-1))×ζ2(k)u(k-1)+[1-(1-

(3)

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 NCS schematic

從上述模型出發(fā)，定義伯努利變量如下：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

對系統(tǒng)(1),(2),(3)進(jìn)行增廣，令

φ(k+1)=

得到增廣系統(tǒng)：

(10)

其中：z(k)為被估計(jì)狀態(tài)；L為常系數(shù)矩陣。隨機(jī)系數(shù)陣滿足:

定義如下：

本文設(shè)計(jì)的H∞濾波器結(jié)構(gòu)如下：

(11)

(12)

其中:

并將上述系數(shù)的期望標(biāo)記如下：

2 H∞性能分析

定義1 對誤差系統(tǒng)(12)，若存在常數(shù)δ>0和0<τ<1，使得對?k>0，當(dāng)輸入u(k)=0，w(k)=0時，E{‖ξ(k)‖2}≤ατkE{‖ξ02}，則系統(tǒng)是均方指數(shù)穩(wěn)定的。

定義2 對誤差系統(tǒng)(12), 當(dāng)輸入u(k)，w(k)∈l2(0,∞)非零時,若存在常數(shù)γ>0使濾波誤差滿足：

ρ‖u(k)‖2},ρ>0

其中,ρ是已知常數(shù)，則系統(tǒng)滿足給定H∞性能指標(biāo)γ。

定理1 當(dāng)誤差系統(tǒng)(12)輸入為零，即u(k)=0，w(k)=0時，如果存在正定矩陣P,使得

E{AT(k)PA(k)}-P<0 。

(13)

那么該系統(tǒng)是均方指數(shù)穩(wěn)定的。

證明 選取Lyapunov函數(shù)V(k)=ξT(k)Pξ(k)，則

E{ΔV(k)}=E{V(k+1)|ξ(k)}-E{V(k)}=

ξT(k)E{AT(k)PA(k)-P}ξ(k)。

(14)

假設(shè)式(13)成立，則P>0，由文獻(xiàn)[2]中命題1可知，系統(tǒng)(12)是均方意義下穩(wěn)定的。

其中：

系數(shù)定義為：

證明 由系統(tǒng)(12)可得

(16)

由E{ΔV(k)}=E{V(k+1)|ξ(k)}-E{V(k)}，得到

E{ΔV(k)}=βT(k)×

β(k)-ξT(k)Pξ(k) 。

(17)

對于任意矩陣Si,Sm,Tj,Tn，有下式成立：

(18)

其中,Sim=Si-Sm,Tnj=Tn-Tj。將系統(tǒng)(12)中各系數(shù)定義代入式(17)，并考慮式(18)，可得式(17)各項(xiàng)為：

將以上各式代入式(17)，可得：

E{ΔV(k)}+E{‖e(k)‖2}-

γ2E{‖w(k)‖2+ρ‖u(k)‖2}=βT(k)Ψβ(k)，

(19)

其中：

(20)

由Schur補(bǔ)引理[14]可得，式(15)等價于Ψ<0，即式(19)是負(fù)定的。因此，當(dāng)k從0到∞時累加式(19)可得：

(21)

由于零初始條件下E{ΔV0}=0，故可得

ρ‖u(k)‖2} 。

(22)

說明此時系統(tǒng)(12)滿足給定的H∞性能指標(biāo)γ，證畢。

3 H∞濾波器設(shè)計(jì)

XY+UVT=I，UTV+X2Y2=I，

XV+UY2=0，UTY+X2VT=0。

對式(15)進(jìn)行合同變換，左右同乘diag{Q,I,I,I,I,I}，得到

(23)

(24)

其中

(25)

Π1=diag{-Π,-Π,-Π,-Π,-Π,-Π,-Π}；

Π2=diag{-Π,-Π,-Π,-Π}；

K1=VCf；K2=VAfUTZ；K3=VBf；K4=LfUTZ。

綜上可知線性矩陣不等式(25)等價于式(15)，故不加證明得給出以下結(jié)論：

定理3 系統(tǒng)(1)～(3)的H∞濾波器設(shè)計(jì)問題可以歸納為:

(26)

不妨取V=VT=-Y，U=UT=Z-1-Y-1，則可以得到濾波器的參數(shù)為Af=-Y-1K2(Z-1-Y-1)-1Z-1，Bf=-Y-1K3，Cf=-Y-1K1，Lf=K4(Z-1-Y-1)-1Z-1。

4 仿真

對帶乘性噪聲系統(tǒng)(1)，考慮如下算例：

上述其他參數(shù)不變，當(dāng)擾動項(xiàng)w(k)為1/k2時，仿真結(jié)果如圖4所示。說明當(dāng)系統(tǒng)中的加性擾動為非高斯噪聲信號時，本文的濾波器也能有效地估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)。

圖2 真值與濾波值Fig.2 True value and estimation

圖3 均方誤差對比Fig.3 Comparison of MSE

圖4 真值與濾波值Fig.4 Ture value and estimation

5 結(jié)語

本文建立了一類帶乘性噪聲網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的模型，在模型中綜合考慮了傳感器-估值器信道和控制器-執(zhí)行器信道中的乘性噪聲、丟包和時滯因素；利用狀態(tài)增廣將信道中的不確定性轉(zhuǎn)化為隨機(jī)的系統(tǒng)參數(shù)，并通過線性矩陣不等式方法設(shè)計(jì)了隨機(jī)參數(shù)系統(tǒng)的H∞濾波器。與傳統(tǒng)的Kalman濾波器相比，本文的濾波器無需已知加性噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，且當(dāng)加性擾動為非高斯噪聲時也能適用。

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