淺談多面體外接球半徑的求法

廣東省深圳市羅湖區(qū)翠園中學(518003)吳漫華

近年來,求多面體的外接球半徑成為全國各地高考的熱點問題,是考察學生空間想象能力、畫圖能力和分析問題能力的一類綜合題型,難度中等偏上.這類問題也是學生失分的重災(zāi)區(qū),主要存在以下難點:一不能選擇恰當?shù)慕嵌日J識多面體;二不能準確分析幾何體的線面關(guān)系找到球心.這兩個困難讓學生對此類問題無從下手,漸漸地對此類問題失去信心.本文從“畫法”到“算法”,簡單歸納出幾類多面體的外接球半徑的典型求法,試圖突破此類問題在高三復(fù)習中的教學難點.

一、通過補形直接求半徑

若多面體的每個頂點都落在長方體(或直三棱柱)的頂點上,那么該多面體的外接球也是該長方體(或直三棱柱)的外接球.直三棱柱的外接球球心是上下底面外心連線的中點.已知直三棱柱ABC-A1B1C1,設(shè)其上下底面√的外接圓半徑為r,三棱柱的高為h,則其外接球半徑長方體的外接球球心是體對角線的中點.設(shè)長方體的長寬高分別為a,b,c,則其外接球半徑

(一)墻角錐

若在一個三棱錐中,共頂點的三條棱兩兩垂直,那么我們可以把它補形成一個長方體.

例1 三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,三_個側(cè)面的面積分別是則該三棱錐的外接球的體積是( )

圖1

(二)三對對棱分別相等的四面體

若一個三棱錐的三對對棱分別相等,那么我們可以把這個三棱錐看成是由一個長方體的六個面對角線構(gòu)成的.

例2 在三棱錐A-BCD中,則三棱錐A-BCD外接球的半徑為___.

分析如圖2,易得a=1,b=1,c=2,所以

圖2

(三)四個面都是直角三角形的三棱錐

利用長方體的線面關(guān)系,可將四個面都是直角三角形的三棱錐放在長方體內(nèi).

例3 (2017屆廣州一模,10)《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬;將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐P-ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為( )

圖3

A.8πB.12πC.20πD.24π

分析如圖3,三棱錐P-ABC四個面都是直角三角形.因為PA=AB=2,所以所以

(四)可補形成直三棱柱的四棱錐

例4 某幾何體的三視圖如圖4-1所示,則該幾何體的外接球的表面積為___.

圖4-1

圖4-2

圖4-3

分析由三視圖還原幾何體如圖4-2所示,把該四面體補成一個直三棱柱,如圖4-3.底面ABC的外接圓半徑r=2,所以

二、畫球找球心求半徑

若題目給出的多面體無法通過“補形”構(gòu)造出相應(yīng)的三棱柱或四棱柱等特殊幾何體,那么應(yīng)當選擇合適的角度畫出該多面體的外接球,從而找出球心求半徑.

要畫好多面體的外接球,通常先畫球,再根據(jù)多面體的性質(zhì)把多面體放入球內(nèi).如何畫好球?先畫球的兩個互相垂直的截面⊙O和⊙O′(如圖5),其中點A、點B是兩個截面圓的公共點.由面面垂直的性質(zhì)可知,OO′⊥⊙O′.要求外接球半徑R,只需求出底面外接圓半徑r,和球心到底面的距離d即可(如圖6),其中

圖5

圖6

圖7

(一)多面體中有一條側(cè)棱垂直于底面

若多面體有一條側(cè)棱垂直于底面,設(shè)為PA,因為⊙O⊥⊙O′,AB是這兩個垂面的交線,所以由面面垂直的性質(zhì)定理可得,P點一定落在大圓上.在大圓⊙O中,PA⊥PB,因為∠PAB=90°,所以連接PB一定經(jīng)過圓心O,如圖7,所以

例5 一個六棱柱的底面是正六邊形,其側(cè)棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,且該六棱柱的體積為底面周長為3,則這個球的體積為____.

圖8

例6 若三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SA⊥平面AB=1,AC=2,∠BAC=120°,則球O的表面積為____.

圖9

(二)多面體的高經(jīng)過球心

如圖10所示,若多面體的高經(jīng)過球心,則多面體的頂點落在大圓上,如圖P點.設(shè)多面體的高為H,底面ABC在小圓⊙O′上,其外接圓半徑為r,所以PO=R,d=OO′=PO′-PO=H-R,列方程R2=(H-R)2+r2,即可求出外接球半徑R.

圖10

例7 在正三棱錐P-ABC中,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60°,則該三棱錐外接球的體積為( )

圖11

三、利用球心定義求半徑

多面體的每個頂點都落在其外接球的球面上,所以球心O到每個頂點的距離相等.若能找出到多面體各頂點距離相等的點,即可確定球心.

(一)有兩個共斜邊的直角三角形形成的四面體

若四面體中有兩個有公共斜邊的直角三角形,根據(jù)直角三角形中,斜邊的中線等于斜邊的一半可知BO=DO=AO,BO=DO=CO,所以點O到四面體的每個頂點距離都相等,則O是其外接球球心.此方法也可解決前面例3.

圖12

例8 在三棱錐S-ABC中,SB⊥BC,SA⊥AC,SA=AC,SB=BC,AB邊長是SC一半,且_三棱錐S-ABC的體積為則該三棱錐的外接球半徑為( )

圖13

A.1B.2C.3D.4

分析因為SB⊥BC,SA⊥AC,所以SC是Rt△SCA和Rt△SCB的斜邊,所以球心O在SC中點上.又因為SA=AC,SB=BC,所以SC⊥AO,SC⊥BO,所以SC⊥平面ABO.如圖13因為OA=OB=R,所以△OAB是等邊三角形,所以所以R=3.

(二)通過面的外心垂線找球心四面體中任意兩個面過其外心的垂線的交點既是球心.△ACD的外心是O1,△ABC的外心是O2,分別過O1,O2作該面的垂線,則垂線OO1,OO2上的點到△ACD,△ABC的三個頂點距離相等,所以O(shè)A=OB=OC=OD,則O為球心.

例9 (2017年太原一模)如圖14,平面四邊形ABCD中,BD⊥CD,將其沿對角線BD折成四面體A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面體A′BCD的頂點在同一個球面上,則該球的表面積為( )

圖14

分析如圖15所示,底面BCD為Rt△,其外心為BC中點E,過E作垂線t.又側(cè)面BDA′也為Rt△,其外心為BD中點F,過F作該面的垂線u,則u與t的交點E為其外接球球心,易得該外接球表面積S=3π.

圖15

例10 (2017年太原二模)已知三棱錐A-BCD中,AB=AC=BC=2,BD=CD=點E是BC中點,點A在面BCD的射影恰好在DE的中點,則該三棱錐外接球表面積為____.

圖16

分析如圖16,因為所以∠BDC=90°,所以△BCD的外心是BC中點E,過E作△BCD的垂線n.因為△ABC是等邊三角形,所以外心是中線AE的三等分點F,過F作△ABC的垂線m,所以m,n的交點O即為外接球球心.易得△OEF～△EAH,所以其中所以所以

例11 (2017高考全國1卷文科第16題)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為____.

圖17

分析如圖17,SC是球的直徑,則SA⊥AC,SB⊥BC.且平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,所以O(shè)B⊥OA,OS⊥OB,OA⊥OS,所以所以R=3,所以S=36π.

(三)建立空間直角坐標系求半徑

例12 已知三棱錐A-BCD中,AD=BD=CD=2,∠BDA=∠CDA=120°,面ABD⊥面ACD,則三棱錐A-BCD的外接球表面積為____.

圖18

圖19

分析因為面ABD⊥面ACD,∠BDA=∠CDA=120°,以D為原點建立空間直角坐標系.如圖18,易得D(0,0,0),A(2,0,0),設(shè)球心O(x,y,z),由球心性質(zhì)知OA=OB=OC=OD,由兩點距離公式得:x2+y2+z2=(x-2)2+y2+z2,所以R2=|OD|2=x2+y2+z2=7,所以S=28π.