李 輝，陳安軍,2

(1.江南大學 包裝工程系，江蘇 無錫 214122；2.國家輕工業(yè)包裝制品質(zhì)量監(jiān)督檢測中心，江蘇 無錫 214122)

Mindlin首次提出產(chǎn)品易損度概念，奠定了包裝動力學的基礎(chǔ)，但產(chǎn)品的易損度難以準確地確定[1]。在產(chǎn)品防護中，為更好地描述產(chǎn)品的損傷規(guī)律，Newton提出單自由度線性系統(tǒng)的破損邊界理論[2]，Schell、Goff和 Pierce 嘗試使用后鋒鋸齒加速度脈沖和半正弦脈沖測定產(chǎn)品破損邊界[3–4]。Burgess發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品受到的損害可以累加，提出疲勞破損邊界概念[5–6]，為將破損理論進一步運用到實際工程，王振林提出位移易損度概念，建立位移破損邊界曲線[7–8]。實際緩沖材料多為非線性，王志偉使用統(tǒng)一的方法研究線性和非線性系統(tǒng)在典型脈沖激勵下的沖擊響應(yīng)譜和破損邊界曲線[9–10]。由于跌落沖擊是產(chǎn)品破損的主要原因之一，王志偉提出跌落破損邊界概念，研究了線性和典型非線性系統(tǒng)的跌落破損邊界曲線[11]?？紤]到產(chǎn)品破損最先出現(xiàn)在易損件，文獻[12–15]將包裝系統(tǒng)的跌落破損邊界擴展到考慮易損件的兩自由度非線性系統(tǒng)，豐富了產(chǎn)品跌落破損邊界理論。

緩沖包裝研究中，人們注意到懸掛系統(tǒng)的幾何非線性表現(xiàn)出良好的緩沖性能，徐筱分析了彈簧吊裝系統(tǒng)跌落沖擊響應(yīng)特性[16]，吳曉研究了懸掛彈簧非線性減振系統(tǒng)的自振特性及基礎(chǔ)位移激勵下系統(tǒng)固有振動特性[17–18]，王蕾等研究了懸掛系統(tǒng)在典型脈沖激勵下的沖擊特性和破損評價[19–23]，在跌落工況下，宋爽等應(yīng)用變分迭代法獲得系統(tǒng)一階近似解，探討系統(tǒng)參數(shù)對跌落破損影響[24–27]；以上研究模型均未考慮易損件，因而懸掛系統(tǒng)的跌落破損評價需在考慮易損件的基礎(chǔ)上進一步研究。

本文基于單自由度懸掛系統(tǒng)模型，建立考慮易損件懸掛系統(tǒng)動力學模型，引入無量綱參數(shù)，獲得系統(tǒng)無量綱動力學方程，以系統(tǒng)參數(shù)和無量綱沖擊速度為基本評價量，取頻率比、阻尼比或懸掛角為第三評價量，構(gòu)建易損件跌落破損邊界曲面，探討系統(tǒng)頻率比，系統(tǒng)阻尼比以及懸掛角等參數(shù)對易損件跌落破損邊界曲面的影響。

1 動力學模型

考慮易損件懸掛緩沖系統(tǒng)模型如圖1（a）所示，其中m1為系統(tǒng)易損件質(zhì)量，m2為產(chǎn)品主體質(zhì)量，c1為易損件與產(chǎn)品連接處阻尼，c2為產(chǎn)品與基礎(chǔ)連接處阻尼，k、k1分別為產(chǎn)品與基礎(chǔ)連接和易損件與產(chǎn)品之間的彈性系數(shù)，φ0為懸掛角，l0為懸掛彈簧原長。

考慮系統(tǒng)跌落沖擊動力學評價，假設(shè)系統(tǒng)從高度為H跌落，以易損件和主體靜平衡位置為原點，垂直向下為正，易損件、主體受力分析如圖1(b)所示，則易損件的動力學方程為

由文獻[17–27]知，小變形條件下運用泰勒級數(shù)簡化處理后，懸掛彈簧在垂直方向?qū)χ黧w的作用力

結(jié)合主體的受力分析，產(chǎn)品主體的動力學方程為

其中a0=sin2φ0，b0=(1-6sin2φ0+5sin4φ0)/2 。聯(lián)立方程（1）和（3）可得考慮易損件懸掛系統(tǒng)動力學方程為

跌落沖擊初始條件為

其中x1、x2為易損件及產(chǎn)品位移 ；為易損件及主體速度 ；為易損件及主體加速度；t為時間參數(shù)；H為系統(tǒng)跌落高度。

引入無量綱參數(shù)：易損件及主體的無量綱位移y1=x1/l0和y2=x2/l0，無量綱時間τ=t/T,易損件及主體的頻率參數(shù)，主體周期參數(shù)T=1/ω2，系統(tǒng)無量綱動力學方程為

初始條件變?yōu)?/p>

其中y′1=dy1/dτ、y″1=d2y1/dτ2分別為易損件的無量綱速度和加速度，y′2=dy2/dτ、y″2=d2y2/dτ2分別為產(chǎn)品無量綱速度和加速度，分別為易損件與產(chǎn)品間和產(chǎn)品與基礎(chǔ)連接處的阻尼比，λ1=m1/m2為系統(tǒng)質(zhì)量比，λ2=ω1/ω2為頻率比。

圖1 考慮易損件懸掛系統(tǒng)模型及受力分析圖

2 易損件跌落破損評價

引入產(chǎn)品脆值A(chǔ)c和系統(tǒng)參數(shù)β=l0/T2=8kl0/m2，由 d2x1/dt2=β(d2y1/dτ2)注意到當易損件加速度響應(yīng)峰值達到其脆值時，即(d2x1/dt2)m=Acg，可獲得易損件跌落破損評價方程

應(yīng)用4階龍格庫塔法求解無量綱動力學方程（6），獲得易損件無量綱最大加速度y′1m，當產(chǎn)品脆值A(chǔ)c確定后，通過方程（8）轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)參數(shù)，構(gòu)建易損件跌落破損評價。由于影響系統(tǒng)跌落沖擊響應(yīng)因素較多，構(gòu)建跌落破損三維邊界曲面可更直觀反映相關(guān)參數(shù)對系統(tǒng)跌落沖擊性能的影響。取系統(tǒng)參數(shù)作為第一評價參數(shù)；考慮到無量綱跌落沖擊速度V與跌落高度H有關(guān)系，而H非常直觀且易把握，因此將無量綱跌落沖擊速度作為破損曲面的第二評價參數(shù)；頻率比、阻尼比或系統(tǒng)懸掛角（幾何參數(shù)）均為系統(tǒng)敏感參數(shù)，可作為破損邊界曲面的第三評價參數(shù)。

2.1 頻率比對易損件跌落破損的影響

取λ1=0.01，ζ1=0，φ0=60°，Ac=30，以系統(tǒng)參數(shù)β、無量綱沖擊速度V和頻率比λ2為評價量，不同阻尼比ζ2下，易損件跌落破損邊界曲面如圖3所示。

由圖2知，小阻尼條件下（ζ2=0,0.05,0.07,0.1），較低頻率比時，不僅安全區(qū)域小且存在波動現(xiàn)象；當系統(tǒng)頻率比λ2＞5時，易損件跌落破損邊界較為穩(wěn)定，且安全區(qū)域較大。

2.2 阻尼比ζ2對易損件跌落破損的影響

取λ1=0.01，ζ1=0，φ0=60°,Ac=30；以系統(tǒng)參數(shù)β，無量綱沖擊速度V和阻尼比ζ2為評價量，不同頻率比λ2=5,6,7,9時,易損件跌落破損邊界曲面如圖3所示。

由圖3分析知，一定質(zhì)量比、頻率比和系統(tǒng)懸掛角條件下，系統(tǒng)具有最佳阻尼比，但最佳阻尼比隨其他參數(shù)的變化（本例為頻率比參數(shù)）又表現(xiàn)出不同值。當系統(tǒng)阻尼比小于最佳阻尼比時，隨阻尼比增加系統(tǒng)安全區(qū)域增大，當系統(tǒng)阻尼比大于最佳阻尼比時，隨阻尼比增加，系統(tǒng)安全區(qū)域減小。

2.3 懸掛角對易損件跌落破損的影響

取λ1=0.01，ζ1=0，ζ2=0.05，Ac=30；以系統(tǒng)參數(shù)β，無量綱跌落沖擊速度V和頻率比λ2為評價量，φ0=60°,70°,80°,90°時，系統(tǒng)跌落破損邊界曲面如圖4所示。由圖4知，相對線性系統(tǒng)（懸掛角為90°）降低懸掛角，破損邊界曲面上移，產(chǎn)品安全區(qū)域增大，較低的懸掛角對提高產(chǎn)品的抗沖擊性能有利。

為進一步研究懸掛角的影響，取λ1=0.01，λ2=5，ζ1=0，ζ2=0.05，Ac=30；以懸掛角為第三評價量，構(gòu)建跌落破損評價曲面如圖5，由圖5可知，減少懸掛角，易損件安全區(qū)域增加。

3 結(jié)語

圖2 考慮頻率比λ2時易損件跌落破損邊界曲面

圖3 考慮阻尼比ζ2時易損件跌落破損邊界曲面

圖4 懸掛角φ0對易損件跌落破損邊界曲面的影響

基于單自由度懸掛系統(tǒng)模型，構(gòu)建考慮易損件的兩自由度系統(tǒng)力學模型，采用4階龍格庫塔數(shù)值分析方法求得易損件響應(yīng)，并構(gòu)建易損件跌落破損邊界曲面。在跌落沖擊條件下，影響易損件跌落破損邊界面的重要參數(shù)包括系統(tǒng)的懸掛角、系統(tǒng)的頻率比及阻尼比等，分析各參數(shù)對跌落破損邊界曲面的影響。數(shù)值分析表明：

(1)易損件跌落破損邊界曲面對系統(tǒng)的頻率比敏感，相對于較低頻率比條件下（λ2＜5）的系統(tǒng)安全區(qū)域，較高頻率比（λ2＞5）條件下，系統(tǒng)的安全區(qū)域較大且較為穩(wěn)定。因此，系統(tǒng)設(shè)計應(yīng)遠離低頻率比區(qū)，選擇較高的頻率比值。

(2)易損件跌落破損邊界曲面對系統(tǒng)的阻尼比同樣敏感，系統(tǒng)存在最佳阻尼匹配，進一步分析表明，阻尼比在一定范圍內(nèi)，可對產(chǎn)品具有較好的保護作用。該范圍在小阻尼條件下成立，同時注意到，阻尼比并非越大越好。

圖5 考慮懸掛角φ0時易損件跌落破損邊界曲面

(3)與線性系統(tǒng)相比，較小的懸掛角條件下，易損件更安全，但同時也應(yīng)關(guān)注當懸掛角較小時，系統(tǒng)的位移響應(yīng)增加，可能出現(xiàn)觸底問題。

(4)系統(tǒng)的特征參數(shù)和無量綱跌落沖擊速度對產(chǎn)品的保護具有重要的意義。較低的系統(tǒng)參數(shù)可使系統(tǒng)承受較大的無量綱沖擊速度，由系統(tǒng)參數(shù)β=8kl0/m2知,較低的系統(tǒng)參數(shù)可以選擇較小的彈性系數(shù)和懸掛彈簧的長度，但同時注意無量綱沖擊速度增加，且可能產(chǎn)生較大的位移，出現(xiàn)觸底問題。因此，懸掛系統(tǒng)的設(shè)計為更好地保護產(chǎn)品，需綜合系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)的選擇。

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