陸 兵

[摘? 要] 教學(xué)“平方差公式”時(shí)，應(yīng)高度重視方案設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)公式，并掌握公式. 同時(shí)，應(yīng)在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的思維能力. 本文從活動(dòng)設(shè)計(jì)、探究過程、公式符號(hào)和思想滲透四個(gè)層面思考其教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 乘法公式;活動(dòng);模型;思想;符號(hào)

乘法公式是在多項(xiàng)式乘法基礎(chǔ)上，由一般到特殊總結(jié)出的公式，其作為蘇科版七年級(jí)下冊(cè)的重要內(nèi)容，教學(xué)中需要學(xué)生不僅掌握公式的具體內(nèi)容，還要掌握公式的推導(dǎo)過程，并能靈活運(yùn)用公式解決問題. 這就需要教師充分研讀教材，合理處理教學(xué)難點(diǎn)，制定科學(xué)的教學(xué)方案. 下面以第2課時(shí)的“平方差公式”為例，展開教學(xué)思考.

關(guān)注教學(xué)的活動(dòng)設(shè)計(jì)

“平方差公式”作為重要的乘法公式之一，教學(xué)的關(guān)鍵在于如何使學(xué)生充分參與教學(xué)，并充分探究公式，逐步理解公式. 如果采用傳統(tǒng)的記憶訓(xùn)練教學(xué)模式，它雖然也可以使學(xué)生掌握公式，但顯然學(xué)生的積極性不會(huì)高，教學(xué)效果也不會(huì)好，難以形成互動(dòng)的教學(xué)氛圍. 考慮到平方差公式是一類規(guī)律性公式，且知識(shí)源于具體的情境，因此，教學(xué)“平方差公式”時(shí)可以采用活動(dòng)探究的方式——引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出猜想，證明公式，形成認(rèn)識(shí).

采用活動(dòng)探究的方式教學(xué)“平方差公式”時(shí)，需要合理地編排教學(xué)環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)豐富的教學(xué)素材，提升學(xué)生參與度的同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考. 可以按照如下流程來實(shí)施教學(xué)：情境引入，問題給出→活動(dòng)探究，構(gòu)建模型→自主認(rèn)識(shí)，形成公式→合作討論，強(qiáng)化理解. 在第一環(huán)節(jié)的引入階段，可以設(shè)計(jì)具體的問題情境，也可以結(jié)合富有歷史文化感的問題，從問題中引出公式左邊相乘的形式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)式規(guī)律，激發(fā)學(xué)生思考. 接著，在第二環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)圖形面積探究活動(dòng)，借助圖形的直觀性來呈現(xiàn)公式的證明過程，使學(xué)生從“數(shù)”與“形”的角度完成公式的辨析. 而在探究的第三環(huán)節(jié)，則需要引導(dǎo)學(xué)生自主思考，總結(jié)平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和表示方法，完成理解性記憶. 在最后的強(qiáng)化階段，則十分有必要設(shè)計(jì)一些公式變形類試題，讓學(xué)生在討論中完成解答，從中積累經(jīng)驗(yàn)，完成對(duì)公式的強(qiáng)化運(yùn)用.

重視模型的構(gòu)建過程

平方差公式是在多項(xiàng)式乘法基礎(chǔ)上總結(jié)出的規(guī)律性公式，雖然屬于單純的代數(shù)公式，但如果僅采用代數(shù)變換的方式來完成教學(xué)證明，學(xué)生仍然難以理解. 考慮到學(xué)生的認(rèn)知能力，結(jié)合數(shù)式的證明方式，可從數(shù)形結(jié)合角度來完成公式的證明，即構(gòu)建直觀的模型，從模型中衍生出公式，從而證明公式.

平方差公式的證明可以借助幾何的面積模型，通過求解面積的不同方式來完成. 教學(xué)中可以從現(xiàn)實(shí)的問題中抽象出模型，如給出問題：已知邊長(zhǎng)為a的正方形綠化坪，由于道路設(shè)計(jì)要求，需要將它的一邊減小b米（b<a），另一邊增加b米，試分析綠化坪變化后的面積. 此時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建面積模型，如圖1所示，其中①為變化前的正方形——邊長(zhǎng)為a，而變化后的圖形為長(zhǎng)方形，相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為a+b和a-b，如圖1中的②. 學(xué)生很容易利用長(zhǎng)方形的面積公式得出變化后的綠化坪面積為（a+b）（a-b），此時(shí)需要進(jìn)一步讓學(xué)生分析兩個(gè)圖形之間的面積差異，即在同一個(gè)圖形中表示出圖形的變化，如圖2. 學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，如果將長(zhǎng)方形右側(cè)部分移到圖形的下方，則圖形由正方形變?yōu)殚L(zhǎng)方形后，面積減少了右下角一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，即變化后的圖形面積為a2-b2. 結(jié)合長(zhǎng)方形面積的唯一性可得（a+b）（a-b）=a²-b²，于是我們利用圖形完成了平方差公式的幾何證明.

在構(gòu)建證明模型階段，也可以進(jìn)一步采用剪紙的方式，引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手操作，親身體驗(yàn)證明過程. 可讓學(xué)生準(zhǔn)備一張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片，然后按照?qǐng)D3所示的方法剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（b<a），讓學(xué)生思考如何計(jì)算剪去后剩余部分的面積，引導(dǎo)學(xué)生采用拼接的方式（如圖4）將剩余部分拼成新的長(zhǎng)方形，分析其相鄰兩邊的長(zhǎng)度，從而獲得面積關(guān)系. 學(xué)生根據(jù)圖3的剪紙過程很容易得出剪去后剩余部分圖形的面積為a2-b2，而對(duì)于圖4，首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析兩個(gè)梯形的底和高，即底分別為a和b，高為a-b，然后分析組合為長(zhǎng)方形后長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，即長(zhǎng)為a+b，寬為a-b，再利用面積公式得出拼成的長(zhǎng)方形的面積為（a+b）（a-b）. 在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生分析圖形之間的面積關(guān)系，從而得出（a+b）（a-b）=a²-b²，完成對(duì)公式的證明. 學(xué)生在動(dòng)手操作的過程中更能產(chǎn)生深刻的認(rèn)識(shí)，更能理解公式.

強(qiáng)化學(xué)生的符號(hào)意識(shí)

教學(xué)“平方差公式”時(shí)，較為重要的一個(gè)環(huán)節(jié)是使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言描述公式，擺脫機(jī)械的模仿. 該環(huán)節(jié)除了使學(xué)生掌握公式外，還兼具強(qiáng)化學(xué)生符號(hào)意識(shí)的目的，且后者才是公式規(guī)律總結(jié)的意義所在.

進(jìn)行公式的規(guī)律總結(jié)時(shí)，可以采用多種方式，可先引導(dǎo)學(xué)生利用平方差公式的內(nèi)容完成圖5問題的填空——圖中將平方差公式左側(cè)部分用具體的文字、圖形和字母進(jìn)行替換，學(xué)生在分析過程中很容易得出兩數(shù)之差和兩數(shù)之和相乘的公式特征. 然后，在第二環(huán)節(jié)給出具體的平方差公式——（a+b）（a-b）=a²-b²，引導(dǎo)學(xué)生分析公式中字母a和b所表示的具體含義，得出a表示符號(hào)相同的整式，b表示符號(hào)相反的整式，從而使學(xué)生理解公式內(nèi)容的廣泛意義. 而在最后階段，則需要學(xué)生在充分認(rèn)識(shí)公式結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，用文字語言和符號(hào)語言來進(jìn)行概括，充分理解公式的本質(zhì)屬性，從“代數(shù)和”與“代數(shù)差”的角度完成對(duì)公式的認(rèn)識(shí).

利用數(shù)學(xué)語言和文字語言對(duì)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行總結(jié)和規(guī)律概括，是幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)公式、靈活運(yùn)用公式的重要手段，尤其在后續(xù)解決一些平方差變式問題時(shí)，需要學(xué)生利用對(duì)公式的特征理解來完成變通求解，而不拘泥于公式的固定形式. 同時(shí)，在對(duì)公式進(jìn)行語言描述的過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生條理表達(dá)的能力，提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng).

注重思想方法的滲透

平方差公式以及后續(xù)的完全平方公式等乘法公式，均是在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算基礎(chǔ)上進(jìn)行的知識(shí)總結(jié)，而對(duì)于公式的總結(jié)過程和證明過程，其背后均蘊(yùn)含著豐富的思想方法，即公式的形成是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下完成的，因此在教學(xué)中十分有必要結(jié)合具體的內(nèi)容完成數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)揭露.

平方差公式的形成背后蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)從一般到特殊的思想，因此在教學(xué)的初始階段以及最終的應(yīng)用階段，有必要給出一系列的平方差問題，使學(xué)生從一般的數(shù)式運(yùn)算中總結(jié)特殊的規(guī)律，并利用特殊的規(guī)律完成一般問題的求解，實(shí)現(xiàn)規(guī)律的總結(jié)與應(yīng)用，并獲得規(guī)律形成的思想認(rèn)識(shí).

而在公式的概括和證明階段則蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的模型思想、數(shù)形結(jié)合思想和抽象思想. 根據(jù)具體的問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，是模型思想的應(yīng)用體現(xiàn);而利用幾何模型抽象數(shù)學(xué)公式，完成公式的概括，則滲透著數(shù)學(xué)的抽象思想;整個(gè)圖形的證明過程則是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 考慮到學(xué)生的認(rèn)知能力相對(duì)較弱，缺乏相應(yīng)的思想基礎(chǔ)，教學(xué)中，我們不能將數(shù)學(xué)思想剝離開來，也不能直接忽視，以免造成數(shù)學(xué)思想的缺失. 我們應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，設(shè)置具體的教學(xué)環(huán)節(jié)，使學(xué)生充分體驗(yàn)利用數(shù)學(xué)思想方法完成知識(shí)探究的具體過程，并在探究過程中逐步積累應(yīng)用思想方法的技巧. 如在從一般到特殊思想的滲透階段，呈現(xiàn)多樣的平方差公式問題時(shí)，有必要提醒學(xué)生與其他多項(xiàng)式的乘法形式相比較，從而認(rèn)識(shí)其特殊性;而在數(shù)形結(jié)合思想的滲透階段，可以引導(dǎo)學(xué)生掌握該思想的一般思路：分析題干→提煉數(shù)據(jù)→繪制模型→分析模型→構(gòu)建數(shù)式關(guān)系.

數(shù)學(xué)教學(xué)因思想而深刻. 在思想方法的指引下完成對(duì)公式的探究，更能強(qiáng)化學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí)，其對(duì)學(xué)生感悟思想、提升數(shù)學(xué)思維有極為重要的推動(dòng)作用，且對(duì)學(xué)生的后續(xù)發(fā)展意義重大.

總之，“平方差公式”作為通過多項(xiàng)式乘法總結(jié)出的規(guī)律性公式，其探究過程及教學(xué)方式具有一定的代表性，教學(xué)中可采用活動(dòng)探究的方式，利用模型完成公式的證明，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注公式的符號(hào)語言，滲透數(shù)學(xué)思想方法，通過合理的教學(xué)設(shè)計(jì)使學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)接受數(shù)學(xué)思想的熏陶.