鄧麗芳 張軍朋

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)校 廣東 廣州 510006)

對(duì)于線性曲線擬合，常用的方法有作圖法[1]，即在作圖紙上人工擬合直線，此方法很方便，但卻不是一種建立在嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)理論基礎(chǔ)上的數(shù)據(jù)處理方法．在作圖紙上人工擬合直線時(shí)存在一定的主觀隨意性，難免會(huì)增大誤差．而最小二乘法是數(shù)據(jù)線性擬合中最常用的一種實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法[2]．但是，如果運(yùn)用最小二乘法手工計(jì)算擬合參數(shù)值，所需的計(jì)算比較繁瑣，且容易出錯(cuò)．

現(xiàn)在計(jì)算機(jī)中的Excel或是Origin等數(shù)據(jù)圖像分析軟件中，在進(jìn)行線性擬合時(shí)大都選用了最小二乘法算法．運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和作圖，有著簡(jiǎn)便快速、精確度更高的優(yōu)點(diǎn)，這也是信息時(shí)代發(fā)展的要求．

本文將選用驗(yàn)證馬呂斯定律實(shí)驗(yàn)為例，介紹運(yùn)用Origin軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)線性擬合的具體方法[3]，并通過(guò)Origin軟件處理實(shí)現(xiàn)消除系統(tǒng)誤差．

1 馬呂斯定律[1]

馬呂斯定律是指：強(qiáng)度為I0的線偏振光通過(guò)檢偏器后，透射光的強(qiáng)度為

Iθ=I0cos2θ

(1)

式中θ為入射光振動(dòng)方向與檢偏器主截面之間的夾角．其實(shí)驗(yàn)圖如圖1所示.

圖1 驗(yàn)證馬呂斯定律光路圖

在本實(shí)驗(yàn)中，需要對(duì)實(shí)驗(yàn)所得的Iθ和θ進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，并擬合Iθ～cos2θ關(guān)系曲線，驗(yàn)證馬呂斯定律．

2 用Origin實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的線性擬合

下面是以驗(yàn)證馬呂斯定律實(shí)驗(yàn)為例，說(shuō)明Origin在運(yùn)用最小二乘法算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)線性擬合的方法步驟．

2.1 數(shù)據(jù)輸入與處理

首先將得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)輸入Origin的工作表worksheet中．按其默認(rèn)設(shè)置打開(kāi)一個(gè)工作表窗口，在本文實(shí)驗(yàn)中共有11組數(shù)據(jù)，將其輸入工作表中，如圖2中A(X1)，I1(Y1), I2(Y1), I3(Y1)所示．然后在工作表中通過(guò)Column/Add New Column新增一列，命名為B(X2)用于存放夾角θ的余弦的平方 ．選中Column B(X2)，右擊然后選Set Column Values將跳出一個(gè)窗口，然后在編輯窗口輸入Column B(X2)的賦值運(yùn)算公式：Col(B)=cos(Col(A)*pi/180)^2，點(diǎn)擊OK，則可快速求得夾角θ的余弦的平方．同樣的方法再新增一列命名為IMean(Y2)．IMean(Y2)用于存放光電流Iθ的平均值，其賦值運(yùn)算公式為：Col(IMean)=(Col(I1)+Col(I2)+Col(I3))/3,即得到電流Iθ的平均值．

2.2 調(diào)用繪圖窗口

點(diǎn)擊Plot菜單的Scatter功能項(xiàng)，將彈出繪圖坐標(biāo)軸選項(xiàng)．將B(X2)設(shè)置為X軸，將IMean(Y2)設(shè)置為Y軸后，出現(xiàn)繪圖Graph窗口下的數(shù)據(jù)點(diǎn)狀分布圖[4]．

圖2 原始數(shù)據(jù)的輸入與處理

2.3 原始數(shù)據(jù)的線性擬合

本實(shí)驗(yàn)要求Iθ～cos2θ為線性擬合．點(diǎn)擊Analysis分析菜單，選擇線性擬合Fit Linear．此時(shí)Origin自動(dòng)調(diào)用內(nèi)置最小二乘法線性擬合工具．圖中新增一條擬合出來(lái)的直線，同時(shí)彈出結(jié)果窗口Results log，顯示擬合結(jié)果，包括線性回歸方程系數(shù)A，B標(biāo)準(zhǔn)差SD，相關(guān)系數(shù)R等參數(shù)．

如圖3所示，本實(shí)驗(yàn)中，A=-5.543 66，B=

1 466.071 08，SD=7.726 54，R=0.999 92．至此，完成了數(shù)據(jù)輸入處理，線性擬合和圖示化表征．

圖3 原始數(shù)據(jù)擬合曲線以及相關(guān)擬合參數(shù)

3 實(shí)驗(yàn)誤差分析

從上面擬合參數(shù)我們可以看到，擬合的直線線性度很高：R=0.999 92．但馬呂斯定律的公式表達(dá)

為

Iθ=I0cos2θ

在理論上擬合的Iθ～cos2θ直線應(yīng)該是一條過(guò)原點(diǎn)的直線，但擬合的直線并沒(méi)有過(guò)原點(diǎn)，而是通過(guò)的點(diǎn)(0，-5.543 66)．也就是在夾角θ=90°時(shí)，光電探測(cè)器探測(cè)到的光電流強(qiáng)度Iθ并不為零．

對(duì)于擬合直線線性度高，但不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，通過(guò)分析，其原因主要有以下兩點(diǎn)：

(1)在普通物理實(shí)驗(yàn)室中使用的偏振片一般認(rèn)為是理想偏振片．而事實(shí)上，偏振片放置時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，或是使用、保存不當(dāng)都會(huì)造成偏振片的退偏振，而存在退偏振現(xiàn)象的偏振片便不能像理想偏振片那樣使光振動(dòng)方向與偏振片透振方向平行的光完全透射，將與透振方向垂直的光完全吸收[5]．所以，當(dāng)實(shí)驗(yàn)室的偏振片存在退偏振時(shí)，在夾角θ=90°時(shí)，光電探測(cè)器探測(cè)到的光電流強(qiáng)度Iθ也并不為零．

(2)實(shí)驗(yàn)室并不是一個(gè)理想的暗室，即使調(diào)節(jié)檢偏器與起偏器完全垂直，以達(dá)到消光的目的，而光電流探測(cè)器的示數(shù)通常情況也不為零，只是示數(shù)為最小值．

4 用Origin修正系統(tǒng)誤差

這一誤差主要是由儀器誤差和環(huán)境誤差等造成的系統(tǒng)誤差．要減小系統(tǒng)誤差，一是消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源：即換用理想偏振片，并在理想暗室進(jìn)行此實(shí)驗(yàn)；二是找出修正值，對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正[6]．在各普通物理實(shí)驗(yàn)室中，要實(shí)現(xiàn)在產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源上消除誤差，并不現(xiàn)實(shí)．但我們可以通過(guò)數(shù)據(jù)處理，找到修正值，對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正．

前面通過(guò)Origin進(jìn)行原始數(shù)據(jù)的線性擬合，我們可以看到，此實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差的修正值為A=-5.543 66．下面將介紹如何運(yùn)用Origin對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正．

4.1 數(shù)值修正

調(diào)出數(shù)據(jù)的工作窗口A，新增一列，命名為Mean1(Y2)，用于存放修正后的光電流Iθ的平均值，其賦值運(yùn)算公式為

Col(Mean1)=Col(IMean)+5.543 66

即得到修正后的數(shù)值，如圖2中的數(shù)列Mean1所示．

4.2 修正系統(tǒng)誤差后的擬合

以B(X2)為X軸，Mean1(Y2)為Y軸重新擬合曲線，如圖4所示.

圖4 修正系統(tǒng)誤差后的線性擬合

4.3 修正系統(tǒng)誤差前后的參數(shù)比較

由表1可以看到通過(guò)修正線性方程系數(shù)A，然后運(yùn)用Origin重新擬合曲線，可以在保證擬合線性度不變的情況下，減小了系統(tǒng)誤差的影響．因此，在受到實(shí)驗(yàn)條件限制的情況下，通過(guò)Origin軟件找到系統(tǒng)誤差的修正值，并進(jìn)行修正是相當(dāng)方便的．

表1 修正系統(tǒng)誤差前后的參數(shù)比較

5 結(jié)論

本文以驗(yàn)證馬呂斯定律實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理和線性擬合并修正其系統(tǒng)誤差為例，介紹了Microcal Origin數(shù)據(jù)分析軟件用于數(shù)據(jù)線性擬合的方法和步驟，并利用其查找系統(tǒng)誤差的修正值，并進(jìn)行系統(tǒng)誤差的修正，更好地驗(yàn)證了馬呂斯定律．整個(gè)Origin軟件的處理過(guò)程簡(jiǎn)潔、快速、有效、直觀．將Origin計(jì)算機(jī)軟件應(yīng)用到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理分析上，可以大大節(jié)省數(shù)據(jù)處理的時(shí)間，提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精度．

1 華南師范大學(xué)物理系，物理學(xué)科基礎(chǔ)課實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心.普通物理實(shí)驗(yàn).

2 裘俊紅,郭天民. 若干數(shù)據(jù)線性擬合方法分析.石油大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1996(06):121～125.

3 王鑫,吳先球,蔣珍美，等.用Origin剔除線性擬合中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的異常值.山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003(01):45～49

4 鄧曉敏,張軍朋,吳先球，等.利用Origin確定實(shí)驗(yàn)中非線性函數(shù)的曲線關(guān)系.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2011,24(1):73～76

5 馬磊,趙琨,李吉夏,等.馬呂斯定律用于退偏振片時(shí)的修正及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.大學(xué)物理,2010(05):58～61

6 張啟德,李新鄉(xiāng),陶洪，等.物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究.北京：科學(xué)出版社,2013.74～75