三點(diǎn)共線的帕普斯定理及應(yīng)用探究

羅珊珊，趙臨龍

摘 要：文章對三點(diǎn)共線的帕普斯定理及其應(yīng)用進(jìn)行研究，旨在提高學(xué)生對定理的深入理解和認(rèn)知，并學(xué)會靈活運(yùn)用，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和思維能力。在教學(xué)中，教師要深入鉆研和理解定理的實(shí)質(zhì)，開展好定理教學(xué)活動。

關(guān)鍵詞：三點(diǎn)共線；帕普斯定理；應(yīng)用；思維能力

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1008-3561（2018）01-0086-01

帕普斯是古希臘數(shù)學(xué)家，有大量著作，但只有《數(shù)學(xué)匯編》保存下來?！稊?shù)學(xué)匯編》對數(shù)學(xué)史具有重大的意義，它對前輩學(xué)者的著作進(jìn)行了系統(tǒng)整理，并發(fā)展了前輩的某些數(shù)學(xué)思想，保存了很多古代珍貴的數(shù)學(xué)資料。本文對三點(diǎn)共線的帕普斯定理及其應(yīng)用進(jìn)行研究，旨在提高學(xué)生對定理的深入理解和認(rèn)知，并學(xué)會靈活運(yùn)用，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和思維能力。

一、帕普斯定理

【帕普斯定理】如圖1：直線l上依次有點(diǎn)A，B，C，直線l′上依次有點(diǎn)A′，B′，C′，設(shè)AC′×A′C=M，AB′×A′B=N，BC′×B′C=L，則M，N，L共線。

證明：如圖1：設(shè)A′B×B′C=P，PA′×A′C=Q，PB′×AC′ =R，則在△PQR中，由Menelaus定理，得：A′C為截線， ■■■=1，B′A為截線， ■■■=1，C′B為截線，■■■=1，則■■■ ■■■■■■=1（1）。此時(shí)，在△PQR中，AC為截線，■■■=1，A′C′為截線，■■■=1則■■■■■■=1 （2）。由（1）÷（2），得：■■■=1，即M，N，L共線?，F(xiàn)在，考慮直線MNL與直線l、l′的關(guān)系。如圖2：設(shè)AA′、BB′、CC′共于點(diǎn)O，△AB′C與△A′BC′的對應(yīng)頂點(diǎn)連線交于點(diǎn)O，由Desargues定理，得對應(yīng)邊交點(diǎn)：AB′×A′B=N，BC′×B′C=L，與l、l′的交點(diǎn)共線。

【帕普斯特殊定理1】如圖2：直線l上依次有點(diǎn)A，B，C，直線l′上依次有點(diǎn)A′，B′，C′，設(shè)AC′×A′C=M，AB′×A′B=N，BC′×B′C=L，且AA′、BB′、CC′共于點(diǎn)O，則M，N，L共線于l、l′的交點(diǎn)。

【帕普斯特殊定理2】如圖2：直線l上依次有點(diǎn)A，B，C，直線l′上依次有點(diǎn)A′，B′，C′，設(shè)AC′×A′C=M，AB′×A′B=N，BC′×B′C=L，且M，N，L共線于l、l′的交點(diǎn)，則AA′、BB′、CC′共點(diǎn)于點(diǎn)O。

特例，AA′、BB′、CC′平行的必要充分條件是：直線MNL平分線段AA′、BB′、CC′。因?yàn)?，梯形的對角線交點(diǎn)、兩腰延長線交點(diǎn)與兩底中點(diǎn)四點(diǎn)共線。此時(shí)，在梯形AA′B′B、B′BCC′中，直線MNL平分線段AA′、BB′、CC′。

二、帕普斯定理應(yīng)用

例1：四邊形ABCD被EF分成兩個(gè)四邊形ABFE和EFCD，求證三個(gè)四邊形ABCD，ABFE，EF的對角線交點(diǎn)P，Q，R三點(diǎn)共線。證明： 因?yàn)锳，E，D是一直線上的三個(gè)不同點(diǎn)，B，F(xiàn)，C是另一直線上的三個(gè)不同點(diǎn)，則由帕普斯定理，可得AC×BD=P，AF×BE=Q，EC×DF=R三點(diǎn)共線。

例2：四邊形ABCD，其中AB×CD=X，AC×BD=Y，BC×AD=Z，設(shè)XZ分別交AC，BD于E，F(xiàn)，求證XY，BE，CF共點(diǎn)。證明： 因?yàn)锽，Y，D是一直線上的三個(gè)不同點(diǎn)，X，E，Z是另一直線上的三個(gè)不同點(diǎn)，且XB、EY、ZD共點(diǎn)于點(diǎn)A，則由帕普斯特殊定理1，可得交點(diǎn)：XY×BE=O，BZ×XD=C，BD×XZ=F三點(diǎn)共線，即XY，BE，CF共點(diǎn)。

例3：在四邊形ABCD中，設(shè)AB×CD=E，AC×BD=F，連接EF，在其上任取一點(diǎn)M，求證AB×CM=P，BM×CD=Q，AD×BC=R三點(diǎn)共線。證明： 因?yàn)镻，B，A是一直線上的三個(gè)不同點(diǎn)，Q，C，D是另一直線上的三個(gè)不同點(diǎn)，且交點(diǎn)：PC×BQ=M，BD×AC=F，AP×QD=E三點(diǎn)共線，則由帕普斯特殊定理2，可得PQ、BC、AD共點(diǎn)于點(diǎn)R，即P，Q，R共線。

例4：已知直線a、b以及a、b外一點(diǎn)P，求作通過點(diǎn)P和a、b交點(diǎn)的直線（a、b直線所在區(qū)域有障礙物，交點(diǎn)無法求得）。作法： 任作兩直線l、l′，l分別交a、b于點(diǎn)A和C，l′分別交a、b于點(diǎn)C′和A′，連接A′P交直線l于點(diǎn)B，連接AP交直線l′于點(diǎn)B′，連接BC′×B′C交于Q，則直線PQ為所求直線。證明：因?yàn)锳，B，C是一直線l上的三個(gè)不同點(diǎn)，A′，B′，C′是另一直線上l′的三個(gè)不同點(diǎn).則由帕普斯定理，可得A′B×B′C=P，BC′×B′C=Q，AC′×A′C =a×b共線，即PQ通過a、b的交點(diǎn)。

三、帕普斯定理待研究問題

在帕普斯定理證明中，取△AA′N和△CC′L，若證明兩三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)連線AC′，A′C，NL交于一點(diǎn)，則由Desargues定理，應(yīng)該證明兩三角形對應(yīng)邊的交點(diǎn)：AA′×C′C，A′N×CL，NA×LC′共線，但至今未給出具體證明。

參考文獻(xiàn)：

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