劉麗萍(貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

一、引 言

在大數(shù)據(jù)時(shí)代，隨著數(shù)據(jù)可獲得性的提高，金融數(shù)據(jù)的維度呈爆炸式增長。目前，國外已有不少學(xué)者在變量選擇方面對高維數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究[1-2]，但國內(nèi)對于如何估計(jì)高維資產(chǎn)協(xié)方差陣的研究并不多見，協(xié)方差陣在投資組合和風(fēng)險(xiǎn)管理中扮演著重要角色，如何估計(jì)高維金融數(shù)據(jù)的協(xié)方差陣已是統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域中越來越重要的亟待解決的問題。近年來，已有很多學(xué)者對高維協(xié)方差陣的估計(jì)問題進(jìn)行了研究；Fan等不僅提出了基于因子結(jié)構(gòu)的協(xié)方差陣估計(jì)方法，還提出了基于主成分分析的高維協(xié)方差陣估計(jì)方法[3-4]；Cai和Zhou、Cai和Liu提出了基于門限函數(shù)的稀疏協(xié)方差陣估計(jì)方法[5-6]；Wu和Pourahmadi[7]、Li和Wang等[8]將喬列斯基分解法和非參數(shù)收縮法相結(jié)合，提出了基于喬列斯基分解的高維協(xié)方差陣估計(jì)方法；還有學(xué)者提出了高維數(shù)據(jù)的動態(tài)協(xié)方差陣估計(jì)方法。

上述方法都是在數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的假定下進(jìn)行的。但是，金融數(shù)據(jù)大多是服從厚尾分布的，極端風(fēng)險(xiǎn)出現(xiàn)的次數(shù)要明顯多于正態(tài)分布，而考慮金融數(shù)據(jù)的厚尾特征，有助于發(fā)現(xiàn)市場的異常走向，防范和化解金融極端風(fēng)險(xiǎn)。在估計(jì)金融數(shù)據(jù)的協(xié)方差陣時(shí)，通常采用的懲罰最小二乘估計(jì)法不再適用，因其對誤差的分布非常敏感，尤其對于超高維變量而言，由于忽略厚尾分布而產(chǎn)生的噪聲大大影響了協(xié)方差陣的估計(jì)效果，進(jìn)而會影響投資者的投資決策。

在厚尾分布的假定下，如何估計(jì)高維協(xié)方差陣的研究還非常少。Xue和Zou針對厚尾數(shù)據(jù)，提出了基于秩方法的高維協(xié)方差陣的估計(jì)方法[9]，但是該方法的應(yīng)用并不廣泛，因其是在變量之間具有自然順序的假定下進(jìn)行的，針對其研究的不足，本文考慮將Fan、Li、Wang提出的RA-Lasso方法和喬列斯基分解法相結(jié)合，提出新的方法以估計(jì)高維厚尾金融數(shù)據(jù)的協(xié)方差陣(記為ΣRA-Lasso)：首先，通過喬列斯基分解法將復(fù)雜的高維協(xié)方差陣估計(jì)方法轉(zhuǎn)化為一系列的回歸模型；然后，將基于懲罰Huber損失函數(shù)的穩(wěn)健Lasso方法(RA-Lasso)應(yīng)用到這一系列的回歸模型中，并將一些回歸系數(shù)壓縮為0來精簡模型，以達(dá)到降維的目的。Fan、Li、Wang的研究指出：RA-Lasso方法能夠很好地估計(jì)高維厚尾數(shù)據(jù)的回歸模型[10]。因此，筆者將RA-Lasso方法應(yīng)用到基于喬列斯基分解的回歸模型中，在解決維數(shù)詛咒問題的同時(shí)，很好地克服了金融數(shù)據(jù)的厚尾特征對協(xié)方差陣估計(jì)的影響，明顯提高了高維協(xié)方差陣的估計(jì)效率。

二、高維厚尾數(shù)據(jù)協(xié)方差陣的估計(jì)

(一)基于喬列斯基分解法的高維協(xié)方差陣估計(jì)

Wu等提出將喬列斯基分解方法應(yīng)用到高維協(xié)方差陣的估計(jì)中，將繁瑣的協(xié)方差陣估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為一系列回歸模型的估計(jì)問題。對于協(xié)方差陣Σ，其改進(jìn)的喬列斯基分解形式如下：

TΣT′=D

(1)

(2)

式(2)也可以寫成如下形式：

εt=Tyt

(3)

根據(jù)式(1)～(3)得協(xié)方差陣Σ的估計(jì)值為：

(4)

(二)RA-Lasso方法在高維回歸模型中的應(yīng)用

根據(jù)Fan、Li、Wang的研究，本文將RA-Lasso方法應(yīng)用于式(2)所代表的系列回歸模型中。在估計(jì)式(2)時(shí)，首先引入Huber損失函數(shù)[11]，其形式為：

(5)

Huber損失函數(shù)是一種使用魯棒性回歸的損失函數(shù)，相比均方誤差而言，它對異常值不敏感，對于小的yj值該損失函數(shù)是二次的，而對大的yj值該函數(shù)則是線性的。根據(jù)式(5)知，可將最小二乘回歸和最小絕對偏差回歸看成是Huber損失函數(shù)中α取值為0和的兩種極端情況；ια(yj)也被稱為近似穩(wěn)健的二次損失函數(shù)，即RA損失函數(shù)，其中α為調(diào)整參數(shù)，是變化的，其取值直接影響到Huber損失函數(shù)，而如何選取最優(yōu)的α值，將在后文詳細(xì)介紹。

Fan、Li、Wang研究指出：將RA損失函數(shù)和Lasso方法相結(jié)合得到的RA-Lasso方法，能夠解決維數(shù)詛咒問題，并很好估計(jì)高維數(shù)據(jù)的回歸模型。所以，可將RA-Lasso方法應(yīng)用到同樣是高維回歸模型的式(2)中，得到基于RA-Lasso方法的φtj的估計(jì)值：

(6)

在式(6)的估計(jì)中涉及到兩個(gè)未知參數(shù)α和λ，調(diào)整參數(shù)α的選擇直接影響到Huber損失函數(shù)，將采用交叉驗(yàn)證法來選擇最優(yōu)的α。在Wang的研究中指出，懲罰參數(shù)λ依賴于樣本量n以及資產(chǎn)的維度p，Wang給出λ的取值近似為[12]：

(7)

在后文的研究中，均采用式(7)來計(jì)算λ值。

(三)考慮數(shù)據(jù)厚尾特征的高維協(xié)方差陣估計(jì)

(8)

由式(7)進(jìn)一步得到：

(9)

從而得到高維厚尾數(shù)據(jù)協(xié)方差陣的估計(jì)量ΣRA-Lasso：

(10)

在ΣRA-Lasso估計(jì)過程中，先引入喬列斯基分解法將復(fù)雜的協(xié)方差陣估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為一系列的回歸模型；再在回歸模型的估計(jì)過程中引入RA-Lasso方法，該方法在解決了維數(shù)詛咒的同時(shí)，還考慮了由于數(shù)據(jù)的厚尾特征而引起的估計(jì)偏差問題，從而使高維協(xié)方差陣的估計(jì)更加有效。

三、模擬研究

(一)模擬數(shù)據(jù)的產(chǎn)生

為了驗(yàn)證ΣRA-Lasso方法的有效性，筆者在模擬研究時(shí)采用本文提出的ΣRA-Lasso方法來估計(jì)模擬數(shù)據(jù)的協(xié)方差陣，并與其他協(xié)方差陣估計(jì)方法進(jìn)行比較以說明其有效性。模擬數(shù)據(jù)可根據(jù)式(11)產(chǎn)生，這是因?yàn)楸疚奶岢龅摩睷A-Lasso方法是將RA-Lasso法直接應(yīng)用到協(xié)方差陣的喬列斯基分解回歸模型中的，其形如式(11)的回歸模型，即：

(11)

具體的模擬步驟如下：

步驟一：令φtj=1-0.3t-j(1≤j

步驟二：對于誤差εt分布，考慮兩種情況：一種是εt服從于均值為0、方差為2的正態(tài)分布；另一種情況是εt服從于自由度為3的t分布。根據(jù)εt所屬的分布，可以產(chǎn)生n個(gè)服從正態(tài)分布的殘差數(shù)據(jù)和n個(gè)服從t分布的厚尾數(shù)據(jù)。

步驟三：根據(jù)式(11)知y1=ε1，將產(chǎn)生的φtj和εt代入到式(11)中，得到兩組數(shù)據(jù)向量y，y=c(y1，y2,…,yn)′，其中一組為服從t分布的厚尾數(shù)據(jù)。

步驟四：重復(fù)上述步驟N次，便得到了樣本量為N、資產(chǎn)維度為n的數(shù)據(jù)，在本文的研究中取N=200、n=300、n=500。

(二)調(diào)整參數(shù)α的選擇

由式(6)知，在采用ΣRA-Lasso方法估計(jì)高維數(shù)據(jù)的協(xié)方差陣時(shí)，調(diào)整參數(shù)α和λ的選擇至關(guān)重要。將樣本量n和資產(chǎn)維度p代入式(7)可得λ。對于參數(shù)α，通常采用K折交叉驗(yàn)證法選擇最優(yōu)值。本文選取K=5，即采用5折交叉驗(yàn)證法來選取最優(yōu)的參數(shù)α，即將數(shù)據(jù)集等分成5份，輪流將其中4份作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，1份作為測試數(shù)據(jù)而進(jìn)行試驗(yàn)；每次試驗(yàn)都會得出相應(yīng)的正確率，將5次結(jié)果的正確率的平均值作為對算法精度的估計(jì)。

在本文的研究中，采用的交叉驗(yàn)證的統(tǒng)計(jì)量為2-范數(shù)損失函數(shù)，將其定義為：

(12)

圖1 最優(yōu)調(diào)整參數(shù)α選擇圖

由圖1不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)數(shù)據(jù)的維度分別為300和500時(shí)，通過交叉驗(yàn)證法選擇的最優(yōu)調(diào)整參數(shù)α的值分別為5.1和5.4。

(三)ΣRA-Lasso協(xié)方差陣估計(jì)方法與其他方法的比較

為了驗(yàn)證ΣRA-Lasso方法的估計(jì)效果，將其與Wu和Pourahmadi提出的協(xié)方差陣估計(jì)方法(ΣLasso)進(jìn)行比較。ΣLasso方法與本文提出的ΣRA-Lasso方法的思想有些類似，都是在高維協(xié)方差陣的估計(jì)過程中引入了喬列斯基分解方法，只是ΣLasso方法在估計(jì)喬列斯基分解的回歸模型時(shí)，通過引入Lasso方法來壓縮回歸系數(shù)，以解決維數(shù)詛咒問題，而沒有考慮到數(shù)據(jù)的厚尾特征。在比較ΣRA-Lasso和ΣLasso方法時(shí)，采用以下兩種類型的損失函數(shù)作為比較標(biāo)準(zhǔn)：

MSE=

(13)

(14)

四、實(shí)證研究

(一)股票收益率數(shù)據(jù)的正態(tài)性檢驗(yàn)

本文采用上證180指數(shù)成分股進(jìn)行實(shí)證研究，數(shù)據(jù)來自于CSMAR數(shù)據(jù)庫，樣本區(qū)間的時(shí)間范圍為2011年1月4日至2014年9月30日。將交易缺失的數(shù)據(jù)剔除后所有股票共有交易的天數(shù)為906，根據(jù)上海證券市場的CSRC行業(yè)分類標(biāo)準(zhǔn)，可以將180只股票分成8個(gè)板塊，分別為：制造業(yè)、采掘業(yè)、金融保險(xiǎn)業(yè)、交通運(yùn)輸和倉庫業(yè)、房地產(chǎn)行業(yè)、信息技術(shù)業(yè)、電氣水的生產(chǎn)和供應(yīng)業(yè)以及綜合業(yè)。由于數(shù)據(jù)的分布特征會影響到協(xié)方差陣的估計(jì)效果，所以對全樣本股票以及各個(gè)板塊的收益率數(shù)據(jù)的分布進(jìn)行分析。對于樣本股票的收益率，本文采用的是對數(shù)收益率，即第i只股票在第t日的收益率為Ri，t=log(Pi,t)-log(Pi，(t-1))。股票收益率的正態(tài)性分析具體見表2。

表2 股票收益率的正態(tài)性分析表

注：用**表示在5%的水平下顯著。

從表2可以看出，無論是對于全樣本股票還是對于各個(gè)板塊的股票，其收益率的峰度明顯大于3，說明上證股票收益率數(shù)據(jù)具有明顯的尖峰厚尾的特征，并且JB檢驗(yàn)在5%的顯著水平下均拒絕了正態(tài)分布的假定，進(jìn)一步證實(shí)了上證180指數(shù)成分股的收益率并不服從正態(tài)分布。

(二)預(yù)測的動態(tài)條件協(xié)方差陣在投資組合中的應(yīng)用研究

1.投資組合的構(gòu)建。在估計(jì)和預(yù)測出資產(chǎn)的協(xié)方差陣后，將其應(yīng)用于投資組合。本文主要構(gòu)建了兩種類型的投資組合，即最小方差投資組合和等比例風(fēng)險(xiǎn)投資組合。最小方差投資組合思想是通過尋找組合方差的最小值尋找最優(yōu)的組合權(quán)重向量，當(dāng)資本市場不允許賣空時(shí)，該投資組合的權(quán)重滿足下式：

s.t ∑w1t=1 (0≤wit≤1)

(15)

其中wit(i=1，2，…,n)為第i個(gè)資產(chǎn)在t日的權(quán)重向量，Wt=(w1t,w2t，…，wnt)為第t日組合權(quán)重向量。根據(jù)Liu的研究[13]，最小方差投資組合的權(quán)重最優(yōu)解為：

(16)

其中1為全1向量。

等比例風(fēng)險(xiǎn)投資組合是由Maillard等提出的[14]，即主要通過調(diào)整權(quán)重使每個(gè)資產(chǎn)在投資組合中的風(fēng)險(xiǎn)比例相等。當(dāng)資本市場不允許賣空時(shí)，該組合權(quán)數(shù)滿足下式：

s.t ∑w1t=1 (0≤wit≤1)

(17)

2.各投資組合的收益和波動分析。將預(yù)測的160天的協(xié)方差陣ΣLasso和ΣRA-Lasso應(yīng)用于投資組合時(shí)，為了比較二者的實(shí)際應(yīng)用績效，根據(jù)筆者的研究，將組合收益、組合標(biāo)準(zhǔn)差以及夏普比率作為衡量指標(biāo)。夏普比率是由Sharpe提出的，其有效衡量了每單位風(fēng)險(xiǎn)所獲得的收益。顯然，標(biāo)準(zhǔn)差越小收益越高，夏普比率越高的投資組合越受投資者的青睞。表3給出了預(yù)測的協(xié)方差陣在投資組合中的應(yīng)用效果。

表3 不同投資組合的平均收益、組合波動、Sharpe比率表

根據(jù)表3知，無論選擇何種投資組合，較預(yù)測的協(xié)方差陣ΣLasso而言，由ΣRA-Lasso構(gòu)造的投資組合的組合收益更高，組合波動更小，其夏普比率值也更高，從而說明了在收益一定的情況下，由預(yù)測的協(xié)方差陣ΣRA-Lasso構(gòu)造的投資組合風(fēng)險(xiǎn)更小，或者說是在風(fēng)險(xiǎn)一定的情況下，由ΣRA-Lasso構(gòu)造的投資組合的組合收益更高。

圖2中Lasso表示的是由ΣLasso構(gòu)造組合的Sharpe比率值，RA-Lasso表示的是由ΣRA-Lasso構(gòu)造組合的Sharpe比率值。據(jù)圖2易得，無論選擇何種投資組合，由ΣRA-Lasso所構(gòu)造的投資組合的Sharpe比率值顯然要高于ΣLasso。

圖2 動態(tài)Sharpe比率變化示意圖

五、結(jié) 論

在大數(shù)據(jù)時(shí)代，隨著數(shù)據(jù)可獲得性的提高，金融數(shù)據(jù)的維度呈爆炸式的增長。如何估計(jì)高維金融數(shù)據(jù)的協(xié)方差陣已引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，但以往的研究大都是在數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的假定下進(jìn)行的，而金融數(shù)據(jù)大多是服從厚尾分布的，極端風(fēng)險(xiǎn)出現(xiàn)的次數(shù)明顯要多于正態(tài)分布。在估計(jì)高維金融數(shù)據(jù)的協(xié)方差陣時(shí)，考慮金融數(shù)據(jù)的厚尾特征，有助于發(fā)現(xiàn)市場異常走向，防范和化解金融極端風(fēng)險(xiǎn)。本文將RA-Lasso方法和喬列斯基分解法相結(jié)合，提出新的方法來估計(jì)高維厚尾金融數(shù)據(jù)的協(xié)方差陣(記為ΣRA-Lasso)。該方法首先通過喬列斯基分解法將復(fù)雜的高維協(xié)方差陣估計(jì)方法轉(zhuǎn)化為一系列的回歸模型；然后將基于懲罰Huber損失函數(shù)的穩(wěn)健的lasso方法(RA-Lasso)法應(yīng)用到這一系列的回歸模型中，并將一些回歸系數(shù)壓縮為0以精簡模型，達(dá)到降維之目的。RA-Lasso方法能夠很好地估計(jì)高維厚尾數(shù)據(jù)的回歸模型，因此將RA-Lasso方法應(yīng)用到基于喬列斯基分解的回歸模型中，在解決維數(shù)詛咒問題的同時(shí)，很好地克服了金融數(shù)據(jù)的厚尾特征對協(xié)方差陣估計(jì)的影響，明顯提高了高維協(xié)方差陣的估計(jì)效率。通過模擬和實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，考慮了數(shù)據(jù)厚尾特征的ΣRA-Lasso方法明顯優(yōu)于其他協(xié)方差陣估計(jì)方法，并將其應(yīng)用于投資組合時(shí)，投資者獲得了更高的收益。

[1] 馬學(xué)俊.GSIS超高維變量的選擇[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2015(8).

[2] 張景肖,李向杰,郭海明.HD-SIS超高維數(shù)據(jù)穩(wěn)健變量篩選[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2016(4).

[3] Fan J，Liao Y，Mincheva M.High Dimensional Covariance Matrix Estimation in Approximate Factor models[J].The Annals of Statistics，2011(6).

[4] Fan J，Liao Y，Mincheva M.Large Covariance Estimation by Thresholding Principal Orthogonal Complements[J].Journal of the Royal Statistical Society，2013(4).

[5] Cai T，Zhou H.Optimal Rates of Convergence for Sparse Covariance Matrix Estimation[J].The Annals of Statistics,2012(5).

[6] Cai T，Liu W.Adaptive Thresholding for Sparse Covariance Matrix Estimation[J].Journal of the American Statistical Association，2011(106).

[7] Wu W B，Pourahmadi M.Nonparametric Estimation of Large Covariance Matrices of Longitudinal Data[J].Journal of Biometrika，2003(4).

[8] Li Y，Wang N，Hong M，Nancy D T，Joanne R，et al.Nonparametric Estimation of Correlation Functions Inlongitudinal and Spatial Data，with Application to Colon Carcinogenesis Experiments[J].The Annals of Statistics,2007(4).

[9] Xue L，Zou H.Rank-Based Tapering Estimation of Bandable Correlation Matrices[J].Journal of Statistica Sinica，2014(1).

[10] Fan J，Li Q，Wang Y.Robust Estimation of High-Dimensional Mean Regression[J].Journal of Statistics，2014(4).

[11] Huber P J.Robust Estimation of a Location Parameter[J].The Annals of Mathematical Statistics，1964(35).

[12] Wang L.The L1 Penalized LAD Estimator for High Dimensional Linear Regression[J].Journal of Multivariate Analysis，2013(9).

[13] Liu Q.On Portfolio Optimization：How and When Do We Benefit from High-Frequency Data?[J].Journal of Applied Econometrics，2009(4).

[14] Maillard S，Roncalli T，Teiletche J.On the Properties of Equally Weighted Risk Contributions Portfolios[J].Journal of Portfolio Management，2010(4).