漆光宗

一、曲線的代數(shù)刻畫——方程

為了保證點(diǎn)在某曲線上運(yùn)動(dòng)則它的坐標(biāo)就應(yīng)該滿足一定的條件，即動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y之間應(yīng)該滿足一定的關(guān)系，我們可以把這個(gè)關(guān)系式（關(guān)于x，y的等式）看作方程，如果同時(shí)滿足如下兩個(gè)條件：一是坐標(biāo)滿足這個(gè)方程的所有的點(diǎn)都在這條曲線上，二是這條曲線上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)也都滿足這個(gè)方程，那么這條曲線就可以用這個(gè)方程來(lái)加以刻畫，這個(gè)方程就叫作這條曲線的方程.

那么如何建立一條曲線的方程？有沒有一般的求曲線方程的套路？在求曲線方程的過(guò)程中需要注意哪些問(wèn)題？嗯，面對(duì)問(wèn)題，我們得跟往常一樣，到課本中去尋找答案！

二、直線點(diǎn)斜式方程給我們的啟示

課本中第一次研究的曲線是直線（可以看成特殊的曲線），第一次建立的直線方程是點(diǎn)斜式方程，那么它就應(yīng)該是求曲線方程的第一次示范，讓我們來(lái)回顧一下這次經(jīng)歷，看看能從中得到什么樣的啟發(fā)，能否從中窺探出求曲線方程的一般步驟？

課本摘錄：

若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，3），斜率為 2，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)P（x，y）滿足什么條件？

當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)（除點(diǎn)A外），點(diǎn)P與定點(diǎn)A（-1.3）所確定的直線l的斜率恒等于-2，故有（y-3）/（（x-（-1））=-2即y-3=-2[x-（-1）]，顯然，點(diǎn)A（-1，3）的坐標(biāo)也滿足此方程，

一般地，設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P₁（x₁，y₁），斜率為k，直線l上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y）.

當(dāng)點(diǎn)P（x，y）（不同于點(diǎn)P₁）在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PP₁的斜率恒等于k，故有（y-y₁）/（x-x₁）k，故Y-Y₁=k（x-x₁），可以驗(yàn)證：直線l上的每一個(gè)點(diǎn)（包括點(diǎn)P₁）的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，反過(guò)來(lái)，以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l上.這個(gè)方程就是過(guò)點(diǎn)P₁，斜率為k的直線Z的方程.

從以上摘錄可以看出，課本上是先建立一條特殊的直線（經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，3），斜率為 2）的點(diǎn)斜式方程，然后再仿照著建立了更一般的一條直線（經(jīng)過(guò)點(diǎn)P₁（x₁，y₁），斜率為k）的點(diǎn)斜式方程，不難梳理出求曲線方程應(yīng)該有以下幾個(gè)步驟：

（1）建系：兩處題設(shè)中都是以坐標(biāo)的形式給出點(diǎn)A（-1，3）或P₁（x₁，y₁），這說(shuō)明坐標(biāo)系已經(jīng)給出了，那么如果題設(shè)中沒有給出坐標(biāo)系，我們還得首先去建立坐標(biāo)系.因?yàn)橹挥杏辛俗鴺?biāo)系才有坐標(biāo)，才能運(yùn)用坐標(biāo)來(lái)刻畫畫點(diǎn).

（2）設(shè)點(diǎn)：“點(diǎn)P（x，y）在直線l上運(yùn)動(dòng)，……，直線l上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y）”就是設(shè)出直線上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），這里要注意的是需強(qiáng)調(diào)“任意”，因?yàn)樗枰磉@條曲線上的所有點(diǎn).

（3）尋找?guī)缀螚l件：尋找曲線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式（方程），需要想辦法找到保證點(diǎn)在曲線上所應(yīng)滿足的幾何條件，如“點(diǎn)P與定點(diǎn)A（-1，3）所確定的直線l的斜率恒等于2”，“當(dāng)點(diǎn)P（x，y）（不同于點(diǎn)P₁）在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PP1的斜率恒等于k”.

（4）將幾何條件坐標(biāo)化：把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）代入到幾何條件中，如（y-3）/（（x-（-1））=-2，（y-y₁）/（（x-（-1）0=k

（5）化簡(jiǎn)、驗(yàn)證：為了使得方程呈現(xiàn)形式簡(jiǎn)單，一般需要對(duì)前面坐標(biāo)化的幾何條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，而且還需要對(duì)方程進(jìn)行驗(yàn)證以確保兩個(gè)條件：一是坐標(biāo)滿足這個(gè)方程的所有的點(diǎn)都在這條曲線上，二是這條曲線上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)也都滿足這個(gè)方程.如方程（y-3）/（（x-（-1））=-2就不表示整條直線，因?yàn)橹本€上的點(diǎn)（ 1，3）就不滿足這個(gè)方程，而方程y-3=-2[x-（-1）]就同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件，它才是直線l的方程.

三、領(lǐng)會(huì)課本示范意圖，形成求線方程的一般套路

由此可見，求曲線方程是有一定的套路可循的：建系，設(shè)點(diǎn)一尋找?guī)缀螚l件一將幾何條件坐標(biāo)化一化簡(jiǎn)，驗(yàn)證.

中學(xué)課本中網(wǎng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立，以及后續(xù)將要學(xué)習(xí)的橢圓、雙曲線以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立都是這一套路的不斷重復(fù).看來(lái)我們得好好體會(huì)，并努力讓它逐漸成為一種白覺.

例1 直角三角形OAB的斜邊長(zhǎng)為4，若點(diǎn)A，B分別在過(guò)點(diǎn)O（原點(diǎn)）且相互垂直的兩條直線l₁，l₂上運(yùn)動(dòng)，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程.

例2 如圖1，平面內(nèi)，已知圓O₁的半徑為2，圓O₂的半徑1，兩圓的圓心距為10，求一曲線E，使得從曲線E上任一點(diǎn)P分別作兩圓切線PA，PB，PC，PD，切點(diǎn)分別為A，B，C，D，恒有∠DPC=∠APB，求曲線E的方程.

四、讓用方程刻畫曲線的意識(shí)

成為一種自覺

解析幾何的核心是用解析法研究幾何問(wèn)題，因此，在解決解析幾何問(wèn)題時(shí)，要有意識(shí)地用坐標(biāo)刻畫點(diǎn)，用方程刻畫曲線，并從數(shù)與形兩個(gè)方面去思考，實(shí)現(xiàn)兩者的相互轉(zhuǎn)換，找到讓問(wèn)題得以快速、有效地解決的辦法，并努力讓這種意識(shí)成為一種自覺，

例3 已知點(diǎn)A（-2，o），B（l，3），對(duì)圓C：（x-a）²+（y-6）²=36上任意一點(diǎn)P，PA/PB恒為定值λ，求實(shí)數(shù)a和λ的值.

方法二：注意到題中給出的幾何條件PA/PB恒為定值λ，那么滿足幾何條件PA/PB=λ的動(dòng)點(diǎn)P應(yīng)在某條曲線D上運(yùn)動(dòng)，我們只需設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）并代入幾何條件PA/PB=λ，把其坐標(biāo)化即可得到曲線D的方程：

同學(xué)們，課本中的例題、練習(xí)、習(xí)題以及一些知識(shí)點(diǎn)的描述都具有很強(qiáng)的基礎(chǔ)性、典型性與示范性，我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中需要自覺地去重視課本的示范功能，常梳理，多體會(huì)，勤總結(jié)，提煉內(nèi)化成自己的解題策略，并白發(fā)地運(yùn)用到平時(shí)的解題中去.endprint