求解直線問(wèn)題有竅門

熊杰

直線是解析幾何所研究的基本對(duì)象之一，我們就以與直線相關(guān)的問(wèn)題為例，談?wù)劷忸}中的注意點(diǎn)及方法選擇，助你掌握此類問(wèn)題的解題竅門.

一、選哪種形式好

直線方程有五種形式，各有各的特點(diǎn)，在使用的時(shí)候要根據(jù)條件合理選擇，同時(shí)還不能忽略各種形式的適用范圍.

例1 求過(guò)點(diǎn)A（1，2）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線.

錯(cuò)解 由直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等，設(shè)直線方程為想x/a+y/a=1，代人點(diǎn)A（l，2），得a=3，直線方程為y=-x+3.

此處使用截距式看似簡(jiǎn)單直接，其實(shí)隱含了一個(gè)不能忽略的要點(diǎn)，即直線方程的截距式在使用時(shí)是有限制的，它所表示的直線不能垂直于坐標(biāo)軸，也不能過(guò)原點(diǎn).因此本題在求解時(shí)應(yīng)該對(duì)這兩種情況進(jìn)行單獨(dú)討論.

解答補(bǔ)充 當(dāng)截距為0時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，滿足題意，直線方程為y=2x，

所以直線方程為y=2x或y=-x+3.

當(dāng)然本題還可以用另一類直線方程求解，因?yàn)樗笾本€上一點(diǎn)已經(jīng)明確，因此為了減少未知參數(shù)，我們可以采用點(diǎn)斜式來(lái)求解.但在使用點(diǎn)斜式時(shí)要注意是否有直線斜率不存在的特殊情況.

另解 由題意，直線斜率存在，設(shè)直線方程為y-2=k（x-1），

當(dāng)x=0時(shí)，y=2-k，當(dāng)y=0時(shí)，x=1-2/k

2-k=1-2/k，解得k=2或-1

所以直線方程為V=2r或y=-x+3.

此兩種方法均為代數(shù)法解答，即為設(shè)直線方程并求參數(shù)的基本方法，區(qū)別僅在于運(yùn)用了不同形式的直線方程進(jìn)行運(yùn)算，兩種方法各有特點(diǎn)，同學(xué)們要仔細(xì)體會(huì)，當(dāng)然，如果你看出了本題的幾何背景，那么也可以用幾何解法求解，

變式 已知直線l過(guò)（0，1），且點(diǎn)A（-3，-4），B（6，3）到直線l的距離相等，求直線l的方程.

鑒于幾何圖形的直觀特點(diǎn)，本題很多同學(xué)想要用幾何的方法來(lái)解題，但同時(shí)也出現(xiàn)了很多問(wèn)題.

幾何解法分析：

如圖1，本題的直線l存在兩種情況，它既可以是一條平行于AB的直線，也可以是一條過(guò)AB中點(diǎn)的直線，在分析過(guò)程中，有一些同學(xué)出現(xiàn)了漏解的情況，有的只注意到平行于AB的直線，有的只想到過(guò)AB中點(diǎn)的直線，思考不全面讓他們失分.而直接用代數(shù)的方法求解則可避免這種失誤，也就是說(shuō)解析法可能更加適合這類問(wèn)題.二、不能忽略圖形

例2 已知直線z經(jīng)過(guò)直線l₁：2x+y5=0與l₂：x-2y=O的交點(diǎn).

（1）若點(diǎn)A（5，O）到l的距離為3，求l的方程；

（2）求點(diǎn)A（5，O）到l的距離的最大值.

）， 解 （1）由2x+y-5=0，x-2y=0解得交點(diǎn)P（2，1），

當(dāng)直線斜率k不存在時(shí)，直線l：x=2，此時(shí)l到點(diǎn)A距離為3；

當(dāng)直線斜率k存在時(shí)，設(shè)直線方程y

（2）由交點(diǎn)P（2，1），如圖2，過(guò)P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離，則d≤PA（當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立）.

例3 如圖3所示，已知兩點(diǎn)A（4，o），B（0，4），從點(diǎn)P（2，0）射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，求光線所經(jīng)過(guò)的路程.

本題若想分別計(jì)算三段光線的長(zhǎng)度顯然是不合理的，由光學(xué)作圖中的對(duì)稱性原理可知做出如下的圖形即可很便利地求解光線所經(jīng)過(guò)的路程，

常見(jiàn)的作圖有如下兩種情況，

如圖4所示，做P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)P₁，再做p關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P₂，P₁P₂長(zhǎng)度即為所求路程.

如圖5所示，做P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)P₁，再做P₁關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P₃。，P₃P長(zhǎng)度即為所求路程.

兩種作圖方法均利用了圖形對(duì)稱性的原理將原本不在一條直線上的三段路程轉(zhuǎn)化到一條直線上求解，

后續(xù)的問(wèn)題就只要求出相應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)即可，首先我們利用線段P₁P被直線AB垂直平分的特點(diǎn)，先求出P₁的坐標(biāo).

解 設(shè)P₁（x₀，y₀），l_AB：y=-x+4，

由直線AB垂直且平分線段PP₁，得y₀/x₀-2）×（-1）=-1 y₀/2=-（2+y₀）/2+4解得P.（4，2），關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)很特殊，很快可得P₂（-2，0），P。（-4，2）.

除了點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題我們還會(huì)碰到直線的對(duì)稱問(wèn)題，其實(shí)只要關(guān)注直線上的一些特殊點(diǎn)，這種對(duì)稱問(wèn)題的本質(zhì)也可以轉(zhuǎn)化到點(diǎn)的對(duì)稱上來(lái)求解.

笛卡兒曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“我想尋求一種新的，包含兩門學(xué)科的好處，而義沒(méi)有它們?nèi)秉c(diǎn)的方法.”解析幾何包含了兩門學(xué)科的優(yōu)點(diǎn)，我們所要做的就是找出這些優(yōu)點(diǎn)，讓它們?yōu)槲宜?endprint