微積分學(xué)中的極限思想及其應(yīng)用

王宏軍+賈月仙

摘 要：極限指的是從數(shù)量上描述了變量在無限的變化過程中所表現(xiàn)的變化趨勢，在無限變化的過程中對(duì)變量變化趨勢進(jìn)行考察研究的思想稱為極限思想。對(duì)于將要進(jìn)行考察研究的未知變量，可以先通過一種方法構(gòu)思出一個(gè)跟它相關(guān)的變量，通過對(duì)這個(gè)變量在無限變化過程中得到的結(jié)果進(jìn)行確認(rèn)就能得到要求的那個(gè)未知量，再通過極限思想進(jìn)行計(jì)算，從而得到最終的結(jié)構(gòu)，上述就是通過極限思想解決數(shù)學(xué)問題的過程步驟。本文分析了幾種常見的極限思想模式，重點(diǎn)闡述了極限思想在數(shù)學(xué)微積分中的應(yīng)用和對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的重要作用。

關(guān)鍵詞：微積分 極限思想 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G623 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2017）11（c）-0252-02

極限思想反映的是一個(gè)變量和另一個(gè)已知量之間的無限接近，通過這個(gè)已知量得出另一個(gè)變量的最終極限值。微積分在數(shù)學(xué)歷史上的產(chǎn)生過程同時(shí)也是人類對(duì)極限思想的逐步深入認(rèn)識(shí)和明確的一個(gè)過程。極限思想是數(shù)學(xué)微積分中的最基本數(shù)學(xué)思想。微積分中導(dǎo)數(shù)、多重積分、曲面積分、函數(shù)連續(xù)性、定積分和曲線等重要概念的定義都需要通過極限思想完成。由此可見，微積分是在極限思想支持下，以極限理論為主要的研究工具，對(duì)函數(shù)進(jìn)行更深層次研究的一門學(xué)科。

1 極限思想

1.1 無窮分割方法下的極限思想

無窮分割方法下的極限思想是微積分思想的重要基礎(chǔ)。這種極限思想的實(shí)質(zhì)是通過無數(shù)個(gè)同維度的無窮小的元素之和去定某些立體的體積、物體的質(zhì)量和曲邊形的面積。定積分的理論來自與求曲邊梯形的面積，指的是將曲邊梯形看作無數(shù)個(gè)小梯形的面積之和。這一思想也被應(yīng)用在求面積、求弧長和求旋轉(zhuǎn)體體積方面。在這一思想影響下，結(jié)合相關(guān)的解析幾何手段和代數(shù)方法，產(chǎn)生了直角坐標(biāo)系下二重積分的定義和求解方法。由此可以看出極限思想為微分學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

1.2 無窮大，無窮小方法下的極限思想

通過內(nèi)接正多邊形的面積的極限值求圓的面積，相當(dāng)于兩個(gè)相關(guān)的變量，一個(gè)變量在另一個(gè)變量發(fā)生變化的過程中，與另一個(gè)已知變量之間的差不斷減小，從而可以通過這個(gè)已知量得到相關(guān)變量的最終極限值，這個(gè)極限值的概念就是“極限”。由此可知極限思想理論就是一個(gè)變量和另一個(gè)已知量之間的一種無限接近，最終通過這個(gè)已知量反映出相關(guān)變量的最終極值[1]。

2 極限思想的應(yīng)用

2.1 一種新研究方法

在對(duì)速度的研究過程中，利用極限思想，可以對(duì)平均速度的極限值進(jìn)行研究，從而對(duì)瞬時(shí)速度的值進(jìn)行確定。在密度研究過程中也可以依據(jù)對(duì)密度的極限值進(jìn)行研究，對(duì)密度的極限值進(jìn)行確定?？梢?，極限思想在許多方面都有著重要應(yīng)用，并且其也是力學(xué)等其他理工學(xué)科的一種重要研究方法。極限思想的確立，促進(jìn)了數(shù)學(xué)微積分的進(jìn)一步發(fā)展，為對(duì)龐大的分支體系進(jìn)行研究做鋪墊，從而使分析方法真正成為分析學(xué)。

2.2 極限思想為數(shù)學(xué)微積分的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)

極限思想是數(shù)學(xué)微積分中的基本理論，是微積分概念由來的基礎(chǔ)，也是微積分與其他教學(xué)不同的一個(gè)重要表現(xiàn)。

極限思想需要在微積分教學(xué)中全面貫穿，多數(shù)學(xué)術(shù)概念都以極限思想作為基礎(chǔ)。例如，在研究函數(shù)過程中對(duì)某一點(diǎn)的定義，如果自變量近乎零增長時(shí)，此時(shí)函數(shù)值的增長量也接近于零[2]。

極限思想在一定程度上使分析學(xué)的研究面發(fā)生了擴(kuò)大，促進(jìn)了微積分的發(fā)展和完善。例如，在研究過程中，將一般的積分發(fā)展為廣義積分。

2.3 在其他學(xué)科中的應(yīng)用

（1）實(shí)數(shù)系的確立離不開極限思想的支持，極限運(yùn)算的進(jìn)行需要在封閉型數(shù)域中開展。例如，四則預(yù)算的開展就必須要在封閉型數(shù)域中開展。極限預(yù)算在開展過程中需要完善的數(shù)系，這個(gè)數(shù)系指的就是實(shí)數(shù)系。實(shí)數(shù)系由魏爾斯特拉斯邏輯結(jié)構(gòu)組成，這導(dǎo)致了在數(shù)學(xué)分析中，無論出現(xiàn)何種概念以及極限都能夠利用實(shí)數(shù)與其基本關(guān)系和運(yùn)算進(jìn)行精確的表述。以分析學(xué)為基礎(chǔ)的邏輯基礎(chǔ)指的是實(shí)數(shù)系、極限系、微積分三者間的聯(lián)系。

（2）概率論中的大部分中心極限定理和定律都是通過極限思想對(duì)大量隨機(jī)性現(xiàn)象進(jìn)行研究統(tǒng)計(jì)其規(guī)律性的。概率論中最著名的一項(xiàng)結(jié)果就是中心極限定理，中心極限定理為獨(dú)立性隨機(jī)變量之和近似率的計(jì)算提供了較為簡單的方法，同時(shí)也有利于對(duì)自然群體自身經(jīng)驗(yàn)頻率呈正態(tài)分布曲線的原因分析。在對(duì)微分討論中，涉及到解的極限值，分析泛函時(shí)，其中存在的馬氏鏈?zhǔn)怯袠O限性質(zhì)的，土體的極限分析，算法中的極限編程理論和經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的極限趨勢思想等都可以體現(xiàn)出極限思想的應(yīng)用廣泛性。

3 極限思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用

3.1 有利于全面落實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要目標(biāo)，是促進(jìn)學(xué)生智力發(fā)展的關(guān)鍵因素，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的理論基礎(chǔ)，同時(shí)也是教學(xué)素養(yǎng)中的重要組成部分。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，掌握極限思想的含義，充分發(fā)揮極限思想的重要作用，能夠促使學(xué)生在面對(duì)較難的數(shù)學(xué)問題時(shí)可以自主通過極限思想理論進(jìn)行解讀，有助于學(xué)生真正全面的理解和掌握極限思想方法，同時(shí)也能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施時(shí)全面落實(shí)數(shù)學(xué)思想方法[3]。

3.2 能夠充分感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡潔美

在數(shù)學(xué)中一個(gè)簡單的數(shù)字“1”就可以體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的簡潔美。數(shù)學(xué)的簡潔主要表現(xiàn)在其數(shù)學(xué)理論體系、表示方法和證明方法等在組成結(jié)構(gòu)上比較簡潔明了。在數(shù)學(xué)中所有公式都可以用簡潔的語言進(jìn)行表述和概括，有利于人們的理解掌握。任何證明也都可以通過簡潔的語言進(jìn)行表達(dá)。數(shù)學(xué)中的各種概念理論之間關(guān)系比較清晰明了，結(jié)構(gòu)簡潔。極限思想同樣可以通過幾句簡單的語言就可以進(jìn)行總結(jié)和概括。極限思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的利用不僅可以作為學(xué)生的一種解題思路，也可以充分發(fā)揮學(xué)生的思維能動(dòng)性。

3.3 有利于提高數(shù)學(xué)水平

所謂數(shù)學(xué)水平，指的是學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)利用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解題的一種能力。主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的表達(dá)能力、抽象思維能力、空間思維與概念深刻程度、廣闊性、閱讀能力、計(jì)算能力、邏輯思維能力和敏捷性等方面共同組成的開發(fā)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。采用極限思想的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，能夠大大提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，幫助學(xué)習(xí)記憶數(shù)學(xué)公式，解答數(shù)學(xué)難題，從而提高學(xué)生的思維邏輯能力。例如利用極限思想求曲邊梯形的面積，這類問題能夠有效激發(fā)學(xué)生的興趣[4]。

3.4 提高解決數(shù)學(xué)問題的能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中充分發(fā)揮極限思想的重要作用，能夠有效降低數(shù)學(xué)問題的難度系數(shù)，幫助學(xué)生理順解題思路，使學(xué)生能夠在較短的時(shí)間內(nèi)找到正確的解題方法，能夠取得事半功倍的學(xué)習(xí)效果。通過對(duì)極限思想的掌握和應(yīng)用，能夠極大地幫助學(xué)生解決函數(shù)問題、立體幾何問題、不等式問題、平面解析問題、數(shù)列問題和定積分問題等多種數(shù)學(xué)問題。

4 結(jié)語

綜上所述，極限是從數(shù)量上對(duì)相關(guān)變量在無限變化過程中的變化趨勢進(jìn)行描述，在此無限變化過程中對(duì)相關(guān)變量變化趨勢的考察研究就是極限思想。利用極限思想解決數(shù)學(xué)問題，能夠有效降低問題的難度，優(yōu)化學(xué)生的解題思路。不僅能夠加深學(xué)生對(duì)極限思想的理解掌握，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，開闊學(xué)生眼界，同時(shí)也會(huì)使學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)得到提高。在教學(xué)過程中重視數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，有利于學(xué)生主動(dòng)、獨(dú)立的解決問題，探索新知識(shí)，加速推進(jìn)知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的過程。

參考文獻(xiàn)

[1] 李美華.極限思想及其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].科教導(dǎo)刊，2013（36）：44，107.

[2] 袁凌，崔宏亮.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中極限思想的辯證思考與理解[J].商情，2011（22）：81.

[3] 董國陽.淺談微積分的起源與發(fā)展[J].大觀周刊，2011（39）：91.

[4] 朱永強(qiáng).高等數(shù)學(xué)中函數(shù)極限計(jì)算方法[J].科技風(fēng)，2010（23）：30-31.endprint