數(shù)學(xué)微積分在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用分析

王宏軍　賈月仙

摘 要：隨著全球經(jīng)濟(jì)不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)科學(xué)在社會(huì)中的地位也不斷提升。在經(jīng)濟(jì)時(shí)代影響下，數(shù)學(xué)學(xué)科在社會(huì)中的各個(gè)工作領(lǐng)域包括人們的日常生活中都得到廣泛的應(yīng)用，數(shù)學(xué)不再是簡(jiǎn)單的學(xué)科科學(xué)，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一門方便全世界各行業(yè)實(shí)施應(yīng)用的科學(xué)技術(shù)。本文運(yùn)用大量的數(shù)學(xué)實(shí)例從邊際分析、彈性分析、最值分析三個(gè)方面充分分析了高等數(shù)學(xué)微積分理論在經(jīng)濟(jì)方面的具體應(yīng)用，突出了數(shù)學(xué)微積分在經(jīng)濟(jì)管理和經(jīng)濟(jì)理論的定量分析方面具有的重要意義。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)微積分 經(jīng)濟(jì) 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2017）11（b）-0236-02

經(jīng)濟(jì)量化分析法已經(jīng)成為目前經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中最常用的方法。應(yīng)用定量分析法解決經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)領(lǐng)域中遇到的問題，根據(jù)社會(huì)經(jīng)濟(jì)管理的發(fā)展情況，組成經(jīng)濟(jì)學(xué)的整體理論系統(tǒng)。因此學(xué)會(huì)理解和運(yùn)用相關(guān)的定量分析方法和理論也變得越來越重要。本文從邊際分析、最值分析和彈性分析等方面全面接受了數(shù)學(xué)微積分在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用，有利于高等數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展。

1 邊際分析在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面，經(jīng)濟(jì)函數(shù)對(duì)于自變量的相應(yīng)變化率稱作邊際變化。通常情況下兩個(gè)經(jīng)濟(jì)量x和y之間存在一定的函數(shù)關(guān)系y=f（x），并且存在y對(duì)于x的導(dǎo)數(shù)是y'=f'（x），則這個(gè)經(jīng)濟(jì)量y對(duì)于x的邊際變化可以利用y對(duì)于x的導(dǎo)數(shù)實(shí)現(xiàn)。

例1：某公司制造某種商品，每個(gè)月的總經(jīng)濟(jì)成本C（萬元）是商品產(chǎn)量x（個(gè)）的函數(shù)，假如每個(gè)商品的售價(jià)定為20萬元，要求該公司每個(gè)月分別生產(chǎn)8、10、15、20個(gè)商品時(shí)取得的邊際利潤(rùn)，同時(shí)說明在經(jīng)濟(jì)方面的意義。

解：根據(jù)題意，每個(gè)月生產(chǎn)x個(gè)商品的總經(jīng)濟(jì)收入函數(shù)是：

R（x）=20x

所以，制造x個(gè)商品的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)函數(shù)是：

L（x）=R（x）-C（x）=20x-（x2-10x+20）=-x2+30x-20

因此，邊際利潤(rùn)函數(shù)是：

L'（x）=（-x2+30x-20）'=-2x+30

得出每個(gè)月制造8、10、15、20個(gè)商品時(shí)產(chǎn)生的邊際利潤(rùn)是：

L'（8）=-2×8+30=14（萬元/件）

L'（10）=-2×10+30=10（萬元/件）

L'（15）=-2×15+30=0（萬元/件）

L'（20）=-2×20+30=-10（萬元/件）

具有的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)每個(gè)月制造8個(gè)商品時(shí)，每增加一個(gè)，利潤(rùn)會(huì)增加14萬元；當(dāng)每個(gè)月制造10個(gè)商品時(shí)，每增加一個(gè)，利潤(rùn)會(huì)增加10萬元；當(dāng)每個(gè)月制造15個(gè)商品時(shí)，每增加一個(gè)，利潤(rùn)不會(huì)增加；當(dāng)每個(gè)月制造20個(gè)商品時(shí)，每增加一個(gè)，利潤(rùn)會(huì)減少10萬元。

2 最值分析在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，為了提高經(jīng)濟(jì)收益，很多問題的解決方法都關(guān)系到最大值、最小值問題。如何在減少生產(chǎn)的投入量的前提下，提高生產(chǎn)的產(chǎn)出量，利用最低的成本，實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化。利潤(rùn)是決定企業(yè)經(jīng)濟(jì)收益的主要因素，在實(shí)際生產(chǎn)過程中，合理的解決經(jīng)濟(jì)方面的最值問題，對(duì)企業(yè)管理具有重大意義。

例2：某公司制造某種商品，其商品的固定成本大概是3萬元，每制造一百件商品，其固定成本會(huì)提高2萬元，則公司經(jīng)濟(jì)收入R關(guān)于商品產(chǎn)量q的函數(shù)是：

R=5q-1/2q2

試求利潤(rùn)最大時(shí)的商品產(chǎn)量。

解：根據(jù)題意可知，商品成本的函數(shù)是：

C=3+2q

因此，商品利潤(rùn)的函數(shù)為：

L=R-C=-3+3q-1/2q2

L'=3-q，使L'=0，得出q=3。

由于L"（3）=-1<0，因此當(dāng)q=3時(shí)，函數(shù)能夠取得最大值。而且這是唯一一個(gè)極值點(diǎn)，因此這個(gè)就是最大值點(diǎn)。

當(dāng)商品產(chǎn)量為3件時(shí)能夠取得最大利潤(rùn)。

3 彈性分析在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用

彈性分析是比較容易實(shí)施的一種定量分析法。在經(jīng)濟(jì)計(jì)劃工作和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域研究中得到廣泛的應(yīng)用，例如經(jīng)濟(jì)分析、政策研究、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和經(jīng)濟(jì)決策等方面。理解、學(xué)習(xí)并熟練運(yùn)用彈性分析法有利于促進(jìn)各級(jí)計(jì)劃人員的工作。彈性也稱為彈性系數(shù)，彈性指的是相對(duì)量，主要衡量一個(gè)變量發(fā)生變化導(dǎo)致另一個(gè)變量發(fā)生的相對(duì)變化。彈性是對(duì)于兩個(gè)變量而言的。比如，商品需求對(duì)應(yīng)的價(jià)格彈性考察的兩個(gè)變量指的是商品的需求量和商品的價(jià)格。能源彈性考察的兩個(gè)變量指的是能源消費(fèi)量和工農(nóng)業(yè)的總產(chǎn)值。彈性具有的另外一個(gè)特點(diǎn)是，彈性指的是與被考察變量的計(jì)量單位沒有關(guān)系的一個(gè)數(shù)，是無量綱的數(shù)。因此彈性分析能夠作為一種單獨(dú)的定量分析法，通常用來對(duì)某一問題的獨(dú)立衡量標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分析和研究。

在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面，將需求量和價(jià)格之間的相對(duì)變化率叫做需求彈性。需求彈性是指因商品價(jià)格變化對(duì)商品需求量造成的影響。商品需求量的影響因素有很多，例如有的商品一旦價(jià)格發(fā)生變化，需求量也隨之發(fā)生影響。有的商品價(jià)格發(fā)生變化時(shí)，商品需求量幾乎不受影響。商品需求量的一般規(guī)律是：商品價(jià)格上漲，商品需求量下降；商品價(jià)格下降，商品需求量增加。受不同商品自身的特定屬性和消費(fèi)水平差異的影響，相同的商品價(jià)格變化可能對(duì)商品的需求量造成不同的影響。反應(yīng)靈敏的商品，彈性比較大，價(jià)格上漲可能導(dǎo)致較大的銷售變化，反應(yīng)遲鈍的商品，彈性較小，幾乎不受價(jià)格變化的影響。

4 經(jīng)濟(jì)總量和變動(dòng)分析在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用

經(jīng)濟(jì)總量和其變動(dòng)值直接影響到企業(yè)管理者的經(jīng)營(yíng)決策。對(duì)比并分析企業(yè)的經(jīng)濟(jì)總量變動(dòng)情況，及時(shí)對(duì)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)對(duì)策進(jìn)行調(diào)整，對(duì)企業(yè)的良好發(fā)展具有重要作用。在經(jīng)濟(jì)方面的研究中，常常利用數(shù)學(xué)微積分計(jì)算企業(yè)的經(jīng)濟(jì)總量和變動(dòng)值。

例3：用C'（x）=6+1/2x（千元/千克）函數(shù)表示企業(yè)某商品的邊際成本。C（0）=7千元是商品的固定成本。則邊際收入是R'（x）=12-x（千元/千克）。試求企業(yè)獲得最大利潤(rùn)時(shí)，商品的生產(chǎn)量應(yīng)該是多少，此時(shí)企業(yè)獲得的最大利潤(rùn)是多少。如果再增加生產(chǎn)1千克，此時(shí)企業(yè)獲得的利潤(rùn)會(huì)怎樣變化？endprint

解：（1）企業(yè)獲得最大利潤(rùn)時(shí)商品的產(chǎn)量和利潤(rùn)總的經(jīng)濟(jì)成本函數(shù)是：

R（x）=R（0）+∫0（12-x）dx=-1/2x2+12x

總的經(jīng)濟(jì)收益函數(shù)是：

c（x）=c（0）+∫0x（6+1/2x）dx=1/4x2+6x+7

總經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)是經(jīng)濟(jì)收益和成本之間的差，即：

L（x）=R（x）-C（x）=-3/4x2+6x-7

L'（x）=-3/2x+6

令L'（x）=0，得出x=4。

因?yàn)橹挥形ㄒ灰粋€(gè)駐點(diǎn)，且經(jīng)濟(jì)利益有最大值，則駐點(diǎn)x=4時(shí)一定是最大值的駐點(diǎn)。所以當(dāng)企業(yè)商品的生產(chǎn)量是4噸時(shí)經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為：

L（4）=-3/4×42+6×4-7=5千元

（2）當(dāng)生產(chǎn)總量增加1千克時(shí)，總的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)發(fā)生的變化為：

∫45（-3/2x+6）dx=-0.75

因此當(dāng)利潤(rùn)最大的時(shí)候，商品生產(chǎn)量每增加1千克，經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)則減少0.75千元。

所以日常工作中的問題，企業(yè)不要單純追求增加商品生產(chǎn)量，應(yīng)該結(jié)合各方面因素綜合考慮經(jīng)濟(jì)總利潤(rùn)的情況，確立適當(dāng)?shù)纳唐樊a(chǎn)量才能夠使企業(yè)實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)最大化。

5 結(jié)語

數(shù)學(xué)微積分在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用，體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)活動(dòng)之間的密切聯(lián)系。微積分是數(shù)學(xué)科學(xué)中的一項(xiàng)分支，也是目前最基礎(chǔ)和最重要的一門學(xué)科。數(shù)學(xué)微積分在經(jīng)濟(jì)方面得到了廣泛應(yīng)用，將經(jīng)濟(jì)活動(dòng)概括到數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，從而進(jìn)行求解，對(duì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的發(fā)展具有現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義。隨著計(jì)算機(jī)科技等科學(xué)技術(shù)的深入發(fā)展，數(shù)學(xué)微積分在經(jīng)濟(jì)方面的重要作用日益突出，并且開始逐漸深入到經(jīng)濟(jì)學(xué)的其他行業(yè)領(lǐng)域中。因此必須掌握、理解并且靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)微積分，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的良好發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1] 周洪玲，梁艷楠，趙爽，等.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分中“建構(gòu)式”教學(xué)的研究與實(shí)踐[J].黑龍江科技信息，2014（29）：139.

[2] 侯泉，侯啟龍，劉緯，等.微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的若干應(yīng)用[J].城市建設(shè)理論研究：電子版，2012（12）：75-76.

[3] 楊元慶.《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)：微積分》教學(xué)探索[J].中外企業(yè)家，2014（7）：224-225.endprint