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      尋根溯源,談向量復(fù)習(xí)“兩法”

      2018-03-08 20:29:59金雅芳
      理科考試研究·高中 2017年12期
      關(guān)鍵詞:兩法向量特征

      金雅芳

      摘要:向量作為初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,兼具了代數(shù)與幾何的“雙重特性”,故利用向量工具編制試題每年均會受到高考命題者的青睞.從浙江卷2016年第15題向量試題的立意看,向量與其他知識的結(jié)合仍是考查重點,但與以往不同的是加入元素“絕對值”,本文以此題為例分析如何運用“頭吃尾”和“解析化”兩種策略來解決向量問題.

      關(guān)鍵詞:向量;特征;推理轉(zhuǎn)化

      一、引題

      (2016年浙江數(shù)學(xué)理15)已知向量a→,b→,a→=1,b→=2,若對任意單位向量e→,均有a→·e→+b→·e→≤6,則a→·b→的最大值為.

      解法1(a→+b→)·e→≤a→·e→+b→·e→≤6.

      即(a→+b→)·e→≤6.

      只需(a→+b→)·e→max≤6.

      又因為(a→+b→)·e→的最大值為a→+b→,

      即a→+b→≤6a→2+2a→·b→+b→2≤6.

      a→·b→≤12,即a→·b→的最大值為12.

      解法2設(shè)=α,=β,

      可得=α-β,

      由題可得cosα+2cosβ≤6.①

      不妨設(shè)sinα+2sinβ=t.②

      由①2+②2可得:5+4cos(α-β≤6+t2對一切α,β均成立,

      故5+4cos(α-β)≤(6+t2)min5+4cos(α-β≤6.

      所以cos(α-β)≤14.

      所以a→·b→=2cos(α-β)≤12.

      解法3不妨設(shè)a→=(1,0),b→=(2cosθ,2sinθ),e→=(cosα,sinα).

      由題可得:cosα+2cos(θ-α)≤6.

      所以cosα+2cos(θ-α)≤6.

      所以(1+2cosθ)cosα+2sinθsinα≤6.

      所以(1+2cosθ)2+(2sinθ)2sin(α+φ)≤6對一切α均成立.

      所以[(1+2cosθ)2+(2sinθ)2sin(α+φ)]max≤6.

      故(1+2cosθ)2+(2sinθ)2≤6cosθ≤14.

      即a→·b→=2cosθ≤12.

      從試題的編制來看,考查的點無外乎就是向量的數(shù)量積、模及夾角,但入口比較寬、方法較多,加上個別同學(xué)對題意的理解不夠,對絕對值的處置不當,導(dǎo)致產(chǎn)生錯誤的結(jié)論.介于此筆者認為,我們?nèi)粘=虒W(xué)也應(yīng)重視對符號語言的詮釋,尤其是課本中曾出現(xiàn)的符號,一定要讓學(xué)生從本質(zhì)上了解并理解他們.在向量的復(fù)習(xí)時應(yīng)著眼基礎(chǔ),即立足基本定理;應(yīng)放眼圖形,即緊抓圖形特征,這樣才能做活試題.

      浙江卷高考考查中向量試題經(jīng)常作為小題出現(xiàn),但事實是“小題”不小,今年的向量試題又作為拉分點,區(qū)分度很大,要引起重視.解決此類問題基本思路利用向量的加減運算(“頭吃尾”)處理,或是將向量問題“解析化”處理,利用坐標進行代數(shù)轉(zhuǎn)化,從而將推理轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.

      二、重視基礎(chǔ),做好“頭吃尾”文章

      從向量的運算公式看,AB+BC=AC,即后一個向量的起始點“吃掉”前一個向量的終點.在解題過程中,巧妙利用分拆

      AC=AB+BC=AO+OB=…,進而找尋題中點與點之間的關(guān)系,化繁為簡.

      例1如圖1,已知:長方體ABCD-A1B1C1D1,AB=2,AD=4,AA1=4,O為對角線AC1的中點,過O的直線與長方體表面交于兩點M,N,P為長方體表面上的動點,則PM·PN的取值范圍是.

      解析本題是動態(tài)問題,從題中已知條件看,P,M,N三個均為動點,但考慮到題中O為對角線AC1的中點,又過O的直線與長方體表面交于兩點M,N,即可得OM=-ON.

      故PM可分解為PM=PO+OM,同理PN可分解為PN=PO+ON=PO-OM.

      PM·PN=(PO+OM)·(PO-OM)=PO2-OM2.

      又P,M均為長方體表面上的動點,故PO最大值為對角線的一半,最小值為棱長AB的一半,OM也如此,所以PM·PN∈[-8,8].

      這是一個較好的“頭吃尾”試題,利用題中的O的特殊性,把向量PM分解為PM=PO+OM(O是前一個向量的“尾”,又是后一個向量的“頭”),變?nèi)齻€動點P,M,N為兩個互不牽制的動點P,M,大大簡化了本題.

      變式如圖2,ABCD是邊長為4的正方形,動點P在以AB為直徑的圓弧APB上,則PC·PD的取值范圍是.

      解析(“頭吃尾”)取AB的中點為O,連接PO,PA,PB,則PA+PB=2PO.

      因為PA·PB=0.

      所以PC·PD=(PB+BC)·(PA+BC)=PB·PA+BC·(PA+PB)+BC2=0+2BC·PO+16=2×2×4×cos+16.

      由圖可得=[π2,π].

      當且僅當P在弧AB中點時向量夾角為π,PC·PD取到最小值0;P在點A或B處時向量夾角為π2,PC·PD取到最大值16.綜上PC·PD取值范圍為[0,16].

      三、關(guān)注技巧,做好“解析化”文章

      向量作為集數(shù)、形于一體的量,其運算蘊含豐富的幾何意義.尤其是向量的模,可以把其理解為兩點間的距離或是線段的長度,深度挖掘做好“解析化”文章,用形助數(shù),對向量來說成效是顯著的.

      例2如圖3,設(shè)a→,b→為單位向量,若向量c→滿足c→-(a→+b→)=a→-b→,則c→的最大值是.

      解析由題可得,知點C在以M為圓心,CM=a→-b→為半徑的圓上運動.

      所以

      c→max=a→+b→+a→-b→.

      又由平行四邊形性質(zhì)可得:a→+b→2+a→-b→2=2(a→2+b→2)=4.

      所以c→2max = (a→ + b→ + a→-b→)2≤(1 + 1)(a→ + b→2 + a→-b→2) = 8.

      即c→的最大值是22.

      變式如圖4,已知向量a→,b→滿足a→=2,a→2=2a→·b→.對于給定向量b→,滿足條件(a→-c→)·(b→-c→)=0的向量c→的模的最大值和最小值分別為M,m,則M-m的最小值為.

      解析由圖4可得,c→=OC,則M=a→+b→2+a→-b→2.

      m=a→+b→2-a→-b→2.

      故M-m=a→-b→.

      由已知a→2=2a→·b→得,(a→-b→)2=b→2a→-b→=b→,且a→-b→+b→≥a→=2.

      即M-m=a→-b→≥1,故M-m最小值為1.

      參考文獻:

      [1]張樹鵬破解向量最值問題的三種有效途徑[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2017(11).

      [2] 陳曉敏拓展思維,簡潔直觀——例談向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的妙用[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2014(05).

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