張 伏， 鄭莉敏， 王 唯， 邱兆美， 王 俊， 毛鵬軍， 王甲甲， 馬田樂

(河南科技大學農(nóng)業(yè)裝備工程學院，河南洛陽 471003)

在自然界中，采用足式步行方式的動物均具有較好的靈活性。隨著機器人在社會中的廣泛應用，機器人在各種環(huán)境下的穩(wěn)定性判據(jù)研究顯得尤為重要[1-2]。為使足式機器人能更好地達到自身的運動性能，解決在不平坦地面搜索穩(wěn)定性最優(yōu)路徑問題[3]，促使其進行穩(wěn)定作業(yè)，更好地服務于社會，本研究主要對足式機器人穩(wěn)定性的判據(jù)進行分析，并對其使用場景進行歸納與總結(jié)。

1 機器人穩(wěn)定性

機器人穩(wěn)定性是指當機器人處于一個平衡狀態(tài)時，如果受到外部影響，它會經(jīng)過一個過渡過程仍然能夠回到原來的平衡狀態(tài)，即運動平穩(wěn)性。目前足式機器人穩(wěn)定性的評價指標分為靜態(tài)穩(wěn)定性和動態(tài)穩(wěn)定性判別指標。靜態(tài)穩(wěn)定性是指在系統(tǒng)發(fā)生微小擾動時，運行狀態(tài)將發(fā)生變化，當擾動消失后，系統(tǒng)能恢復到原來的狀態(tài)下穩(wěn)定運行的能力。動態(tài)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)受到小或大的擾動后，在自動調(diào)節(jié)和控制裝置的作用下，保持較長過程的運行穩(wěn)定性的能力[4]。

2 機器人穩(wěn)定性判別依據(jù)

2.1 靜態(tài)穩(wěn)定性

靜態(tài)穩(wěn)定性是在牢固不變的支撐面上保持平穩(wěn)的一種性能指標。步行機器人在行走時，機體相對地面始終是向前運動的，而重心始終也在移動。機器人的四條腿輪流抬跨，相對機體也是向前運動的，且不斷地在改變立足點位置。機器人靜態(tài)穩(wěn)定性描述如圖1所示。

其中，三角形區(qū)域△F1F2F3表示機器人3個立足點F1、F2、F3圍成的穩(wěn)定區(qū)域，點E為機器人的重心。當點E位于這一區(qū)域時，機器人是靜態(tài)穩(wěn)定的。若某時刻重心及立足點在水平面(XY平面)的位置投影坐標分別是：E(x，y)、F1(x1，x2)、F2(x2，y2)、F3(x3，y3)。

S△EF1F2+S△EF2F3+S△EF1F3=S△EF1F2F3。

若上式成立，機器人處于靜態(tài)穩(wěn)定。機器人重心垂直投影到其立足點投影三角形各邊的最小距離為其穩(wěn)定裕度di(i=1，2，3)。機器人穩(wěn)定裕度為：

dM=min{d1，d2，d3}。

若dM≥0，機器人是穩(wěn)定的。根據(jù)穩(wěn)定裕度可以分析機器人步行的靜態(tài)穩(wěn)定性。機體的運動和腿相對機體的運動在任何時刻必須是協(xié)調(diào)一致的，這樣才能使機器人重心的垂直投影一直落在三足支撐點構(gòu)成的三角形區(qū)域里面，從而實現(xiàn)穩(wěn)定行走。

2.1.1 重心投影法 1968年，McGhee等提出了重心投影法(center of gravity projection method，簡稱CGPM)，把機器人各個腿與地面的接觸點所構(gòu)成的凸多邊形作為一個穩(wěn)定區(qū)域。當機器人重心的水平投影區(qū)域位于凸多邊形內(nèi)時，機器人處于靜態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)[5]。當Sm≥0時，重心落在水平投影平面內(nèi)，則機器人是穩(wěn)定的，重心投影法表示為：

Sm=min{Sm，f，Sm，r，Sm，s}

其中，Sm為穩(wěn)定裕度；Sm，f、Sm，r、Sm，s分別為機器人重心的水平投影到支撐多邊形前邊界、后邊界、兩側(cè)邊界的絕對水平距離。

李軍科等利用重心投影法，從偏心輪腿六足機器人的機身和三足步態(tài)的特點入手，分析了該機器人在使用三足步態(tài)行走時的特點，并論證了偏心輪腿六足機器人的三足步態(tài)具有靜態(tài)穩(wěn)定性的特點[6]。此法僅僅反映的是在平坦光滑地面上機器人的靜態(tài)穩(wěn)定性，對于機器人在不平坦地面上的穩(wěn)定性難以評判。

2.1.2 靜態(tài)穩(wěn)定邊界法 1979年，McGhee 等提出了靜態(tài)穩(wěn)定邊界法(static stability margin，簡稱SSM)[7]。即基于質(zhì)心與支撐多邊形幾何關(guān)系的判定方法，該方法只考慮機身位置和質(zhì)心分布情況。靜態(tài)穩(wěn)定邊界法主要是利用質(zhì)心在支撐平面上的投影和支撐腿(機器人運動時，位于地面上的腿)所構(gòu)成的多邊形的位置關(guān)系來判斷機器人的穩(wěn)定狀態(tài)[8]。支撐區(qū)域的水平投影是穩(wěn)定區(qū)域，在該區(qū)域內(nèi)，機器人的重心到各邊界距離的最小值就是靜態(tài)穩(wěn)定裕量。付貴永等在此基礎上為解決加速度和外力問題提出了縱向穩(wěn)定邊界法(longitudinal stability margin，簡稱LSM)，表示在支撐區(qū)域內(nèi)將機器人重心投影到支撐區(qū)域前、后邊界的較小縱向距離。它用機器人重心投影到支撐區(qū)域前后兩支撐邊界的穩(wěn)定裕量來度量[9]。屈亮等針對穩(wěn)定域內(nèi)外的不同初始狀態(tài)，進行了零輸入響應時域仿真，驗證了相平面法確定的穩(wěn)定域的有效性和準確性，研究結(jié)果可為飛機結(jié)冰后的穩(wěn)定邊界確定和邊界保護提供一定的參考[10]。而SSM是指質(zhì)心沿重力方向在支撐平面上的投影到支撐多邊形各邊距離中的最小值。四足機器人在斜面上的情況如圖2所示。

SSM法與LSM法度量的穩(wěn)定裕量為：

SSM=min{d1，d2，d3，d4}；LSM=min(L1，L2)。

其中，機器人在斜坡上，其中心點向水平地面作投影。d1、d2、d3、d4分別為機器人的重心投影到機器人投影區(qū)域各邊界的距離；L1、L2分別指重心投影到區(qū)域前后邊界的較小縱向距離。但由于靜態(tài)穩(wěn)定邊界法的不足是基于圖形內(nèi)的幾何計算建立起來的，均未考慮勢能大小等約束因素的影響，故在機器人上下坡行走時會發(fā)生傾覆[11]。

2.1.3 能量穩(wěn)定邊界法 能量穩(wěn)定邊界法(energy stability margin，簡稱ESM)是一種更為準確的描述機器人在不平坦地面上行走的穩(wěn)定性判別方法。從能量角度看，能量穩(wěn)定邊界法是通過計算從當前狀態(tài)到傾翻狀態(tài)所須克服的最小勢能來判定該狀態(tài)穩(wěn)定性的判別方法，主要描述機器人在不平坦地面上的穩(wěn)定性判別方法[12]。穩(wěn)定裕度計算方法如圖3所示。從質(zhì)心P作支撐多邊形各邊的垂線，從P點向豎直平面作垂線交于點r′，P點到lij的距離為r，從位置P沿軸lij旋轉(zhuǎn)到豎直平面內(nèi)交于點P′，r與P′r′的夾角為θ，lij上的垂線與P′r′的夾角為φ，當質(zhì)心從位置P沿軸lij旋轉(zhuǎn)到豎直平面內(nèi)的P′點時，高度增加h，此過程中增加的勢能即為ESM法對應于邊lij的穩(wěn)定裕度，分別計算各邊對應的穩(wěn)定裕度并取其中的最小值，即為機器人此時的穩(wěn)定裕度值。在未考慮運動慣量的影響時，機器人不再受步行機械和支撐地形的約束[13]，沿支撐區(qū)域的任一邊界發(fā)生傾覆所要求的最小勢能穩(wěn)定裕量為：

SESM=min(mghi)(i=1，2，…)。

其中，m是機器人的質(zhì)量；g是重力加速度；i是支撐多邊形被視為旋轉(zhuǎn)軸的邊；hi是機器人沿不同支撐邊界翻轉(zhuǎn)時的重心位置的增量。

hi=|ri|(1-cosθ)cosφ。

但該法不足之處是未考慮機器人自身質(zhì)量的影響，為解決上述問題，在此基礎上Hirose提出了規(guī)范化的能量穩(wěn)定邊界法(normalized energy stability margin，簡稱NESM)，其表達公式為：

式中：各項系數(shù)與ESM法中的表達相同。

朱翔宇通過對實際青蛙跳躍模型的觀察，歸納影響跳躍穩(wěn)定性的因素，分析造成跳躍失敗的原因，運用能量穩(wěn)定邊界法提出了仿生機器人穩(wěn)定著陸的判據(jù)，并對機器人跳躍的穩(wěn)定性過程進行綜合探討，計算出機器人各階段運動姿態(tài)，提出運動軌跡方程和獲得方法，以及肢體末端位置的計算方法[14]，為進一步研究奠定了基礎。

2.2 動態(tài)穩(wěn)定性

機器人動態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)發(fā)展相對于靜態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)較慢，且其方法均是基于靜態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)基礎。故在一定條件下，動態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)既可以判斷機器人靜態(tài)穩(wěn)定性也可以判斷其動態(tài)穩(wěn)定性[15]。

2.2.1 零力矩點法 Vukobratovic在1968年提出零力矩點(zero moment point，簡稱ZMP)法，認為若地面上存在重力、外力和慣性力對該點的合力矩為0的點，該點稱為零力矩點。如果ZMP在支撐區(qū)域內(nèi)，則機器人是穩(wěn)定的。ZMP又稱為壓力中心或地面反作用力中心，其地面反作用力關(guān)于該點的力矩只有垂直分量，沿水平面內(nèi)的2個垂直軸方向的分量為0。ZMP判定方法如圖4所示。

以六足機器人為例，可假設當其中3個腳在地面上時，其他腳騰空，著地腳所組成的三角形為水平面投影區(qū)域。設零力矩點水平投影中的一點的坐標為ZMP(x，y)，i、m、n號著地腳坐標分別為(xi，yi)、(xm，ym)(xn，yn)，fi、fm、fn分別為第i、m、n號著地腳在豎直方向上的足力分量。

ZMP點到支撐多邊形的最小距離即為此時刻機器人的ZMP穩(wěn)定裕度。ZMP落在腳掌的范圍里，機器人可穩(wěn)定行走。徐兆紅等討論了腿式機器人穩(wěn)定性控制與穩(wěn)定性判定準則，基于穩(wěn)定約束條件零力矩點，提出一種干擾下的動態(tài)穩(wěn)定性控制方法[16]。Zhu等利用ZMP法得到了雙足機器人行走的步態(tài)特性[17]。沈繼紅等在ZMP法的基礎上從地面反力和能量的角度在理論上討論了機器人腳跟高度對其行走穩(wěn)定性的影響，證明了適當增加足式機器人的腳跟高度可增強其步行穩(wěn)定性[18]。

2.2.2 壓力中心法 1976年，Orin 提出了壓力中心法(center of pressure，簡稱COP)，一種基于合外力與支撐多邊形幾何關(guān)系的判定方法。該方法計算質(zhì)心沿合力方向到支撐平面的投影，如果該投影在支撐平面多邊形內(nèi)，則處于穩(wěn)定狀態(tài)。他認為在機器人單腳與地面接觸時，如果腳掌受到的壓力與作用于某一點的合外力相等，而且在該點平行于腳掌方向上的合力矩為零，則該點稱為COP點[19]。當COP點在與地面接觸腳掌區(qū)域的內(nèi)部時，機器人處于穩(wěn)定狀態(tài)。COP的結(jié)構(gòu)如圖5所示，F(xiàn)為質(zhì)心處的合外力，O是質(zhì)心，O沿F方向在支撐平面內(nèi)的投影點為C，A3A4的長度是a34，點C到A3A4的距離為da34，O到A3A4的距離為L34，θbij為F與O到支撐多邊形邊線的垂線Lij間的夾角，θdi為F與質(zhì)心O到著地腳點Ai連線Pi間的夾角。夾角愈大，機器人的穩(wěn)定裕度愈大。點C到支撐多邊形各邊距離中的最小值即為COP穩(wěn)定裕度。

SCOP=min(doij)(i，j=1，2，…)。

其中，doij為質(zhì)心O投影點到支撐多邊形各邊線的距離。

王鵬飛等為準確評定足式機器人的行走穩(wěn)定性及穩(wěn)定裕度，運用壓力中心法提出了采用支撐面壓力中心至機器人各足支撐點構(gòu)成的支撐多邊形各邊的最短距離來評定機器人的行走穩(wěn)定性的一般準則[20]。根據(jù)壓力中心的坐標關(guān)系，將壓力中心位置轉(zhuǎn)化為重心坐標表達式，通過重心到支撐多邊形邊緣的最短距離來間接判定機器人的穩(wěn)定性。

2.2.3 力-角法 力-角法(force-angle stability margin，簡稱FASM)是Papadopoulos等提出的一種基于合外力與支撐多邊形幾何關(guān)系的判定方法，是計算質(zhì)心位置處所受合外力和質(zhì)心到穩(wěn)定錐各邊線垂線間的夾角以及合外力和質(zhì)心到各著地腳點連線間的夾角中的最小值[21]。由圖5可知，θbij為合外力F與質(zhì)心O到支撐多邊形邊線的垂線Lij間的夾角，θdi為合外力F與質(zhì)心O到著地腳點Ai連線Pi間的夾角。穩(wěn)定裕度隨夾角的增大而增大。此法優(yōu)點是能分析多種穩(wěn)定裕度。FASM的計算方法如下：

SFASM=min(θbij，θdi)(i，j=1，2，…)。

劉娟秀等為研究機器人的傾翻穩(wěn)定性，針對一種新型輪足式爬樓梯機器人，提出了考慮爬樓梯機器人具有人機交互的特殊性，將地形和人體坐姿對機器人的影響等效為干擾力和干擾力矩，結(jié)合力-角法等計算機器人的動態(tài)穩(wěn)定性指數(shù)[22]，為機器人穩(wěn)定性的進一步研究奠定了基礎。

2.2.4 龐加萊映射-李雅普諾夫判據(jù)法 龐加萊映射是指系統(tǒng)運動的狀態(tài)空間軌跡與其龐加萊截面2個連續(xù)交點處的狀態(tài)變量之間的映射。龐加萊對連續(xù)運動的軌跡用一個截面(即龐加萊截面)將其橫截，根據(jù)軌跡在截面上的穿過情況，可清晰判斷運動的形態(tài)，由此所得的圖像叫龐加萊映像[23]。龐加萊映射函數(shù)是反映由系統(tǒng)的運動方程所決定的狀態(tài)變化軌跡，從龐加萊截面一點的狀態(tài)演變到軌跡與龐加萊截面下個交點的狀態(tài)。李雅普洛夫方法，可用來描述一個動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Koditschek等采用相位和龐加萊映像法分析Raibert的單腿跳躍機器人的穩(wěn)定性，為對機器人穩(wěn)定性的進一步研究提供了依據(jù)[24]。

如果此動力系統(tǒng)任何初始條件在平衡態(tài)附近的軌跡均能維持在平衡態(tài)附近，那該系統(tǒng)可以稱為在該處李雅普諾夫穩(wěn)定，也可指通過系統(tǒng)微分方程解的性質(zhì)進行穩(wěn)定性判別的方法[25]。它不須要求解微分方程即可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但它通常無法提供有關(guān)瞬時響應或系統(tǒng)性能的信息，因而此理論的普遍適用性未達到期望，仍須進一步研究來判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，但對于非線性復雜系統(tǒng)必須進行線性化處理。

3 穩(wěn)定性判據(jù)應用場景分析

由表1可知，對基于質(zhì)心與支撐多邊形幾何關(guān)系的靜態(tài)穩(wěn)定邊界法和縱向穩(wěn)定邊界法等2種判定方法，均適用于坡地；對于能量穩(wěn)定判據(jù)法，在不平坦的地面更加穩(wěn)定；而對于重心投影法和規(guī)范化的能量穩(wěn)定邊界法，只能作為平坦光滑地面上機器人的靜態(tài)穩(wěn)定性判別指標，而對于在不平坦的工作環(huán)境中運行的機器人，該方法則不適用于穩(wěn)定性的判別。

表1 靜態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)應用場景

注：平地是指平坦的地面；坡地是相對于平地來說，崎嶇不平復雜且有一定傾斜的地面。下表同。

由表2可知，對于力-角法和零力矩點法，在平坦和不平坦的地面上都可以作為機器人的靜態(tài)穩(wěn)定性判別指標。其他方法目前還未探索出具體的使用場景。

表2 動態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)應用場景

注：“*”表示還沒有明確適合的場景。

4 結(jié)論

目前機器人的穩(wěn)定性理論研究均已取得較大進展，重心投影法、規(guī)范化的穩(wěn)定邊界法適用于平地；靜態(tài)穩(wěn)定邊界法、縱向穩(wěn)定邊界法和能量穩(wěn)定邊界法適用于坡地；零力矩點法和力-角法既適用于平地又適用于坡地，還有一些方法依據(jù)有待完善。隨著機器人的應用越來越廣泛，對其穩(wěn)定性運用要求越來越高，這就決定了對機器人穩(wěn)定性的研究必將更深入發(fā)展。

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