李 梟 何 昕 曹雪梅

直齒錐齒輪的齒面為三維曲面，齒面修形以及機(jī)床加工中的誤差都會影響到齒輪副的嚙合性能。加工后直齒錐齒輪的齒面受到機(jī)床精度和熱處理中輪齒變形等因素的影響，與理論設(shè)計(jì)齒面存在誤差。由于實(shí)際齒面進(jìn)行嚙合性能分析是齒面制造數(shù)字化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，為此，國內(nèi)外學(xué)者對此進(jìn)行研究并取得了一定進(jìn)展。文獻(xiàn)[1]對錐齒輪仿真加工后的齒面進(jìn)行NURBS曲面重構(gòu)技術(shù)進(jìn)行了探討；文獻(xiàn)[2]研究了準(zhǔn)雙曲面齒輪齒面參數(shù)化表示的方法；文獻(xiàn)[3]提出了數(shù)字化齒面生成的方法。但是上述文獻(xiàn)僅研究了理論齒面數(shù)字化重構(gòu)的方法，而設(shè)計(jì)階段所設(shè)計(jì)的理論齒面和實(shí)際加工出的齒面是有偏差的，在此基礎(chǔ)上后續(xù)進(jìn)行的分析也是有一定誤差的，無法精確地得到實(shí)際齒面性能。

為分析加工后的齒面性能，本文通過實(shí)測齒面建立精確的齒輪三維有限元網(wǎng)格模型，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行相應(yīng)的齒輪有限元靜力學(xué)分析，對分析直齒錐齒輪的齒面性能具有一定意義。

1.實(shí)測齒面擬合及曲率分析

1.1 實(shí)測齒面參數(shù)化擬合

通過在齒輪檢測中心測量得到直齒錐齒輪的齒面點(diǎn)坐標(biāo)值，根據(jù)實(shí)測點(diǎn)，以齒面擬合數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)，通過曲面重構(gòu)技術(shù)構(gòu)建錐齒輪的數(shù)字化齒面[4-5]。當(dāng)曲面足夠光滑，可以由多項(xiàng)式函數(shù)來近似表示，隨著階數(shù)提高，函數(shù)擬合值與實(shí)際值的偏差趨于零。測得曲面上一組離散點(diǎn)（xi，yi，zi），i=1，2…，n 的坐標(biāo)， 可通過多項(xiàng)式來擬合該曲面，以三階多項(xiàng)式為例，建立多項(xiàng)式過程如下。

取曲面方程為 z=f(x，y)，令 li=（xi，yi），li為曲面 上 測 得 點(diǎn) 坐 標(biāo) ，b（j），(l)為 擬 合 多 項(xiàng) 式 空 間 的 一組基。

則有：

式中 a1，a2，…，an為待定系數(shù)，擬合曲面是由取樣值和實(shí)際的坐標(biāo)值的差值平方和最小原理得到，這種方法不能保證每點(diǎn)都在擬合曲面上，假設(shè)計(jì)算偏差平方和為E(f)，得：

要使E(f)達(dá)到最小，必須滿足：

根據(jù)高斯消元法求得待定系數(shù)ai，可得到參數(shù)化擬合方程。

1.2 數(shù)值擬合曲面二階拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

為了考量所設(shè)計(jì)的理論齒面在任意一點(diǎn)處的彎曲程度和彎曲方向，需要計(jì)算齒面的法曲率。齒輪齒面上任意一點(diǎn)有多個切方向，所以在任意方向上的彎曲型是不能量化的。本文通過Euler公式計(jì)算求解齒輪齒面上任意一點(diǎn)沿各個方向法曲率的變化規(guī)律，進(jìn)而得到齒面法曲率的最大值和最小值，這個數(shù)值為齒面的主曲率。通過計(jì)算出的主曲率求出齒面的高斯曲率和平均曲率，得到齒面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在參數(shù)化的齒輪齒面上任意齒面點(diǎn)P在任意方向(d)=du∶dv上法曲率kn為：

式(6)中，E，F(xiàn)，G 和 L，M，N 分別為曲面 S 的第一類基本變量和第二類基本變量。為計(jì)算齒面的法曲率kn的最值，設(shè)則有：

式(7)轉(zhuǎn)化為求解二次分式的極值，有：

k1，k2（k1≤k2）是式(8)的兩個根 ，由韋達(dá)定理得：

將 kn=k1，k2代入(7)，解出兩個根 λ2，λ1，得到達(dá)到最大值、最小值的方向。k1，k2之間的乘積為齒面在這一點(diǎn)的高斯曲率K：k=k1k2，高斯曲率的作用是描述齒面在任意一點(diǎn)處的彎曲程度。為了描述齒面在任意一點(diǎn)的平均彎曲強(qiáng)度，引入平均曲率H表達(dá)齒面在任意一點(diǎn)處平均彎曲程度。

由式(9)、(10)可以求解其值。

2.算例

2.1 齒面檢測與五階數(shù)字化重構(gòu)

通過以上理論基礎(chǔ)，進(jìn)行直齒錐齒輪實(shí)測齒面實(shí)驗(yàn)，在齒輪檢測中心實(shí)測直齒錐齒輪副的齒面，直齒錐齒輪副參數(shù)如表1示。

表1 直齒錐齒輪參數(shù)

本文使用德國克林貝爾P65齒輪檢測中心對直齒錐齒輪副進(jìn)行采樣分析，以得到加工后實(shí)際齒面點(diǎn)坐標(biāo)值。這種實(shí)測齒面考慮了加工誤差及熱處理變形等因素影響下產(chǎn)生的誤差影響，更能實(shí)際的反映出齒面在工作中的性能。如圖1所示齒輪檢測中心[6-7]。

圖1 齒輪檢測中心

2.2 齒面擬合及擬合誤差

對得到的實(shí)測齒面點(diǎn)進(jìn)行齒面擬合，考慮到齒面擬合過程中會產(chǎn)生誤差，所以在投影到同一平面中對應(yīng)的點(diǎn)不可能完全重合。利用FORTRAN軟件編程計(jì)算得到擬合誤差，通過擬合實(shí)驗(yàn)可知：齒輪齒面擬合隨著擬合階數(shù)的增加，擬合精度也不斷提高，如表2所示。在輪齒接觸分析滾檢齒面觀察其接觸區(qū)域時，齒面上涂抹的紅丹粉厚度為6.35μm，本文擬合階數(shù)達(dá)到五階時，最大誤差量為0.3μm，最大誤差滿足齒輪齒面研究精度要求，所以用五階多項(xiàng)式進(jìn)行齒輪齒面的擬合[8-9]。

表2 擬合誤差

通過實(shí)驗(yàn)室齒輪檢測中心采樣齒面上45個離散點(diǎn)坐標(biāo)，采用五階多項(xiàng)式進(jìn)行齒輪齒面的擬合。

擬合方程中的各階系數(shù)如表3示。

表3 各階系數(shù)

2.3 映射網(wǎng)格劃分

在齒面擬合過程中，標(biāo)記點(diǎn)為節(jié)錐中點(diǎn)，這個點(diǎn)不是在測量齒厚的位置，為了保證齒厚，通過求解方程確保節(jié)錐線上中點(diǎn)錐距上y坐標(biāo)為“0”，這樣測量齒厚兩個齒面節(jié)錐線上中點(diǎn)錐距處的點(diǎn)重合，再按照齒厚寬度旋轉(zhuǎn)出輪齒厚度，如圖2示。

圖2 輪齒齒厚控制圖

通過建立的齒厚控制圖，可知通過擬合齒面旋轉(zhuǎn)φ度后兩齒面節(jié)錐線上中點(diǎn)錐距處點(diǎn)重合，旋轉(zhuǎn)π/z角后生成輪齒齒厚。

2.4 有限元模型建立

根據(jù)建立的齒面擬合方程，依托旋轉(zhuǎn)投影原理，對數(shù)字化齒面進(jìn)行網(wǎng)格劃分，構(gòu)建精確的支持錐齒輪有限元模型[10-12]。單元類型選擇六面體八節(jié)點(diǎn)單元，如圖3所示，單元屬性如表4示。

圖3 實(shí)體單元SOLID45

表4 齒輪有限元單元屬性

將節(jié)點(diǎn)和單元信息導(dǎo)入到ANSYS中進(jìn)行齒輪齒面應(yīng)力分析[13]，如圖4所示，直齒錐齒輪大輪全齒有限元模型。

圖4 直齒錐齒輪有限元模型

考慮到整個齒輪在ANSYS中導(dǎo)入節(jié)點(diǎn)過多，彎曲應(yīng)力求解花費(fèi)時間過長，并且在實(shí)際嚙合過程中參與嚙合的輪齒非常少，可以用邊界條件約束來替代[14]。因此本次網(wǎng)格劃分只選用三個齒進(jìn)行受力分析，并且簡化網(wǎng)格為沿著齒寬取9個節(jié)點(diǎn)。如圖5所示單齒有限元模型。

圖5 單齒有限元模型

將直齒錐齒輪有限元模型面和其對稱面、齒輪底面上的每一個節(jié)點(diǎn)限制6個自由度固定，確保齒輪完全固定。

2.5 載荷施加

齒輪在工作時，會在輪齒齒根位置產(chǎn)生齒根彎曲應(yīng)力，在單對齒進(jìn)入嚙合時，在輪齒結(jié)合點(diǎn)處于單對齒嚙合區(qū)最高點(diǎn)時，齒根所受到的彎曲應(yīng)力最大。為了簡化計(jì)算，便于在輪齒上施加載荷計(jì)算齒面應(yīng)力，本文將載荷作用在輪齒的齒頂[15]。如圖6所示為在三齒模型上的加載簡圖，載荷方向沿著齒頂圓法向壓力角方向。

圖6 加載簡圖

2.6 結(jié)果分析

對加載模型在ANSYS中求解，得到直齒錐齒輪大輪三齒模型的應(yīng)力變形圖，如圖7所示。

圖7 應(yīng)力變形圖

從應(yīng)力變形圖中可以看出：輪齒有彎曲變形，在齒頂受力處等效應(yīng)力最大，齒根處產(chǎn)生彎曲變形，齒根彎曲應(yīng)力強(qiáng)度僅次于齒頂受力處。

3.結(jié)論

（1）對實(shí)測齒面點(diǎn)的擬合，擬合階數(shù)越高，擬合曲面的誤差就越小，精度越高，五階擬合的精度滿足齒輪研究的要求。

（2）對數(shù)字化齒面進(jìn)行網(wǎng)格劃分，構(gòu)建精確的有限元模型。將節(jié)點(diǎn)和單元信息導(dǎo)入到ANSYS中進(jìn)行齒面應(yīng)力分析。這種針對實(shí)測齒面的力學(xué)分析考慮了加工誤差及熱處理變形帶來的齒面誤差，對指導(dǎo)實(shí)際加工具有重要的意義。

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