◇鄭毓信

（上接2018年第7-8期第47頁）

三、用研究的精神從事教學(xué)

這里所說的“研究的精神”，主要指問題意識(shí)與探究精神，即我們應(yīng)當(dāng)將這兩者貫穿、滲透于全部的教學(xué)工作。

第一，“問題”應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)研究的直接出發(fā)點(diǎn)，我們應(yīng)切實(shí)立足于從實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)值得研究的問題，而不應(yīng)停留于純粹的“無病呻吟”。

更一般地說，教學(xué)研究應(yīng)有明確的目的性。當(dāng)然，這既不應(yīng)是純粹的標(biāo)新立異，也并非指我們?nèi)绾文軌騽?chuàng)造出某種“宏大理論”，而是應(yīng)當(dāng)始終堅(jiān)持促進(jìn)實(shí)際教學(xué)工作這一基本立場(chǎng)。

對(duì)于所說的“問題”，我們應(yīng)做廣義上的理解：這不僅指通過總結(jié)和反思發(fā)現(xiàn)已有教學(xué)的不足之處，包括由此引發(fā)的各種困惑，而且指各種具有普遍意義的問題，即數(shù)學(xué)教育的基本問題與熱點(diǎn)問題，以及我們?nèi)绾文軌蚝芎玫芈鋵?shí)各種新的理論思想，等等。

從上述角度我們顯然也可以清楚地看出當(dāng)前的教學(xué)研究存在的又一普遍性弊病，即問題意識(shí)缺乏。如很多著作都只是滿足于將大量“優(yōu)秀課例”匯編成冊(cè)，卻沒有認(rèn)識(shí)到應(yīng)以此為基礎(chǔ)做進(jìn)一步的研究，特別是清楚地指明值得深入研究的問題。另外，在各類觀摩教學(xué)中經(jīng)?？梢钥吹竭@樣的現(xiàn)象：承擔(dān)者往往只是重視所謂的教學(xué)創(chuàng)新，即如何能夠不同于各種已有的教學(xué)設(shè)計(jì)，卻沒有認(rèn)識(shí)到對(duì)已有教學(xué)不足之處的分析應(yīng)當(dāng)成為新的教學(xué)設(shè)計(jì)的直接出發(fā)點(diǎn)，包括我們究竟應(yīng)當(dāng)圍繞哪些問題從事新的教學(xué)設(shè)計(jì)。最后，正如前面所提及的，現(xiàn)有的研究問題往往過于細(xì)小、瑣碎，特別是常常集中于相關(guān)教學(xué)活動(dòng)的簡(jiǎn)單總結(jié)和反思，如教學(xué)中有哪些優(yōu)點(diǎn)與不足，學(xué)生在學(xué)習(xí)中為什么會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤等，卻未能從更一般的角度提出值得人們深入思考的普遍性問題。

第二，我們應(yīng)切實(shí)增強(qiáng)教學(xué)研究工作的計(jì)劃性與整體設(shè)計(jì)，特別是，我們不僅應(yīng)當(dāng)圍繞相應(yīng)的普遍性問題積極開展教學(xué)實(shí)踐，也應(yīng)高度重視如何能夠通過深入研究獲得這方面的明確結(jié)論，且后者不應(yīng)是別人已有觀點(diǎn)的簡(jiǎn)單重復(fù)，而是應(yīng)對(duì)實(shí)際教學(xué)工作具有一定的啟示意義，包括我們?nèi)绾文艹鎏囟ǖ慕虒W(xué)內(nèi)容與教學(xué)活動(dòng)獲得更深入的認(rèn)識(shí)。

例如，“計(jì)劃性和整體設(shè)計(jì)”的一個(gè)重要含義是：我們不應(yīng)局限于單純的“事后反思”，特別是臨時(shí)性的、情境性的反思，而應(yīng)具有整體的計(jì)劃和明確的目的，并應(yīng)將此很好地貫穿于全部過程。再者，我們應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)研究工作的艱巨性與長(zhǎng)期性，特別是，我們應(yīng)以已有的研究作為自身工作的重要背景，同時(shí)應(yīng)切實(shí)致力于如何能夠通過認(rèn)真研究不斷深化相關(guān)認(rèn)識(shí)，如：先前所得出的結(jié)論是否真有道理？相關(guān)建議在現(xiàn)實(shí)中是否真的可行？還有哪些容易被忽視的問題或環(huán)節(jié)？等等。

研究方法的規(guī)范性正是我國教育界特別是部分理論研究者當(dāng)前特別關(guān)注的點(diǎn)，在此有必要清楚地指明這樣一點(diǎn)：就一線教師的教學(xué)研究而言，我們應(yīng)當(dāng)更加重視其現(xiàn)實(shí)意義，即相關(guān)研究對(duì)于人們改進(jìn)教學(xué)究竟有哪些新的啟示。這事實(shí)上正是舒爾曼特別強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)：“盡管人們可以將關(guān)注點(diǎn)集中在研究方法上，但是任何方法的分析都難以脫離方法所要解決的問題、研究者的學(xué)科視角、研究進(jìn)行的環(huán)境和研究的目的?！币舱虼?，“好的研究并不是發(fā)現(xiàn)最好的方法，而是先仔細(xì)地提出對(duì)于研究者和研究領(lǐng)域而言最重要的問題，然后確認(rèn)一種規(guī)范地探究該問題的方式”。也就是指：“我們必須避免自己成為盲從于某種研究方法的教育研究者。”[16]更一般地說，我們決不應(yīng)因?yàn)樽非笮问缴系膰?yán)密性和表面上的深刻性而忽視了研究工作的啟示意義和可理解性，乃至完全丟掉了一線工作“有血有肉、原汁原味”這樣一個(gè)特點(diǎn)。

由以下兩個(gè)設(shè)問讀者可以更好地理解上述兩點(diǎn)建議的重要性，特別是，這不僅直接涉及了我們應(yīng)當(dāng)如何從事教學(xué)研究，也包括我們能否真正成為研究的主體，而不是始終處于被動(dòng)的地位：

（1）在提及某一具體內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，你頭腦里會(huì)出現(xiàn)什么？特別是，是否會(huì)出現(xiàn)某些所謂的經(jīng)典課例？

當(dāng)然，這也是我們?cè)谶@方面應(yīng)當(dāng)認(rèn)真思考的又一問題：究竟何者可以被看成真正的經(jīng)典課例？或者說，這樣的“經(jīng)典”是否真的存在？

（2）在圍繞某一內(nèi)容開展教學(xué)研究時(shí)，你會(huì)如何著手？特別是，你是否會(huì)按照某個(gè)龐大的體系（如數(shù)學(xué)知識(shí)、課程標(biāo)準(zhǔn)、教材比較、理論指導(dǎo)、學(xué)情研究、教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂教學(xué)、課后評(píng)價(jià)、校本教研等“維度”）面面俱到地開展研究？

從更深入的角度看，也就是指，教學(xué)研究的主要目標(biāo)究竟是什么？

筆者在這方面的主要看法是：我們應(yīng)很好地確定自己研究的問題，并以此為中心開展積極的教學(xué)研究。我們不應(yīng)局限于做出一個(gè)令人滿意的教學(xué)設(shè)計(jì)，而主要方向是我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^積極的教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)真的總結(jié)與反思不斷深化自身的認(rèn)識(shí)，包括清楚地揭示相關(guān)結(jié)論的普遍意義。

以下就舉出這方面的幾個(gè)實(shí)例，相關(guān)的分析將集中于如何由具體教學(xué)內(nèi)容引出相應(yīng)的研究問題，希望有助于廣大一線教師密切聯(lián)系教學(xué)實(shí)踐積極開展研究，包括各個(gè)層面的集體性教研活動(dòng)。

[例4]“圓的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)。

這是小學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)十分重要的內(nèi)容，也正因此，在相關(guān)刊物上我們可以看到關(guān)于這一內(nèi)容的大量課例，包括同一作者的不斷創(chuàng)新（這方面的一個(gè)典型例子就是特級(jí)教師張齊華老師關(guān)于“圓的認(rèn)識(shí)”的5個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)）。但在筆者看來，相對(duì)于簡(jiǎn)單的示范乃至創(chuàng)造出更多的“經(jīng)典”課例而言，我們應(yīng)更加重視如何能從整體上揭示這一教學(xué)活動(dòng)應(yīng)特別重視的一些問題，從而對(duì)廣大教師發(fā)揮重要的導(dǎo)向作用，即我們究竟應(yīng)當(dāng)圍繞哪些問題進(jìn)行教學(xué)才可以說真正抓住了“圓的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)的關(guān)鍵。當(dāng)然，后者同時(shí)可以被看成為我們具體評(píng)價(jià)各個(gè)相關(guān)的課例提供了必要的標(biāo)準(zhǔn)。另外，由于這些問題顯然具有超出這一特定內(nèi)容的普遍意義，從而對(duì)于廣大教師密切聯(lián)系自己的教學(xué)開展教學(xué)研究也有一定的啟示意義。

在筆者看來，以下就是“圓的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視的一些問題：

（1）如何處理動(dòng)手與動(dòng)腦之間的關(guān)系？這一內(nèi)容的教學(xué)決不應(yīng)停留于“畫圓”這樣的實(shí)際操作，而應(yīng)當(dāng)以此促進(jìn)學(xué)生更深入的思考。

（2）如何處理“內(nèi)”與“外”的關(guān)系？特別是，我們?cè)诖耸欠駪?yīng)當(dāng)明確提倡“由外向內(nèi)的華麗轉(zhuǎn)身”（張齊華語）？

（3）如何幫助學(xué)生很好地實(shí)現(xiàn)由生活經(jīng)驗(yàn)向真正的數(shù)學(xué)知識(shí)，以及由操作性認(rèn)識(shí)向結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)的重要轉(zhuǎn)變？更一般地說，我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^自己的教學(xué)促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)的不斷深化？特別是，如何能夠很好地認(rèn)識(shí)各個(gè)相關(guān)概念與知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別？

（4）這或許可以被看成“圓的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)應(yīng)追求的一個(gè)更高目標(biāo)，即較大的開放性，特別是，我們?nèi)绾文転閷W(xué)生的主動(dòng)探究提供充分的空間，包括為學(xué)有余力的學(xué)生提供更多的發(fā)展機(jī)會(huì)？更一般地說，我們應(yīng)如何很好地處理教師的必要指導(dǎo)與學(xué)生的主動(dòng)探究之間的關(guān)系？

應(yīng)當(dāng)提及的是，上面的分析顯然清楚地表明了教學(xué)活動(dòng)的復(fù)雜性。正因?yàn)榇?，與刻意地尋求在上述四個(gè)方面都能取得重要突破相比較，我們應(yīng)更加重視如何能夠針對(duì)具體情況從中做出適當(dāng)?shù)倪x擇，即應(yīng)當(dāng)更有針對(duì)性地進(jìn)行研究。例如，在筆者看來，從后一角度我們或許可以更好地理解張齊華老師在過去十幾年中為什么會(huì)做出關(guān)于“圓的認(rèn)識(shí)”的5個(gè)不同的教學(xué)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，從總體上說，我們應(yīng)始終保持對(duì)上述各個(gè)問題的高度關(guān)注，因?yàn)橹挥羞@樣，我們才能保證這方面工作的連續(xù)性與相對(duì)穩(wěn)定性，特別是，不會(huì)因片面強(qiáng)調(diào)“創(chuàng)新”而陷入虛無主義，即似乎總是處于不停地“創(chuàng)新”或摸索之中，卻看不到真正的進(jìn)步，也沒有任何真正的積累。

[例5]“度量問題”的教學(xué)。

人們?cè)诋?dāng)前有一項(xiàng)共識(shí)：聯(lián)系的觀點(diǎn)（更恰當(dāng)?shù)卣f，應(yīng)是全局的觀念）對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有特殊的重要性。但是，我們?nèi)绾文軌驅(qū)⑦@一思想很好地落實(shí)于日常的教學(xué)活動(dòng)？以下就以“度量問題”為例做出具體的分析。

首先，由以下事實(shí)我們可以清楚地看出“度量問題”在小學(xué)數(shù)學(xué)中占據(jù)的重要地位：小學(xué)數(shù)學(xué)中有不少學(xué)習(xí)內(nèi)容都可歸屬于這一范圍，包括長(zhǎng)度的度量、質(zhì)量的度量、時(shí)間的度量、角的度量、面積的度量與計(jì)算、體積的度量與計(jì)算，等等。也正因此，相關(guān)教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視這樣一個(gè)問題：如何很好地處理局部與整體之間的關(guān)系？應(yīng)當(dāng)以全局的觀念指導(dǎo)各個(gè)具體內(nèi)容的教學(xué)。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，這直接關(guān)系到數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的落實(shí)。我們不僅應(yīng)當(dāng)通過自己的教學(xué)幫助學(xué)生很好地掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，也應(yīng)幫助他們逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，并能不斷提升自身思維的品質(zhì)，即達(dá)到更大程度的清晰性、深刻性、全面性與合理性。

例如，在這方面應(yīng)當(dāng)深入思考的首要問題是：這些內(nèi)容中什么可以被看成最重要的——采用著名特級(jí)教師俞正強(qiáng)老師的語言，也就是指，什么可以被看成其中的“種子課”[18]？當(dāng)然，與此密切相關(guān)的還有這樣一些問題：我們應(yīng)如何從事“種子課”的教學(xué)？進(jìn)而，在后續(xù)的各個(gè)領(lǐng)域的教學(xué)之中，我們應(yīng)如何很好地發(fā)揮“種子課”的作用？包括我們究竟應(yīng)如何處理已建立的認(rèn)識(shí)與認(rèn)識(shí)的深入發(fā)展這兩者之間的關(guān)系？

其次，從思維教學(xué)的角度看，我們應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步思考：什么是相關(guān)內(nèi)容直接涉及的數(shù)學(xué)思想？我們應(yīng)如何以此為指導(dǎo)從事相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)？例如，容易想到的是，我們?cè)诖藨?yīng)特別重視類比聯(lián)想的思想，因?yàn)?，只有通過對(duì)各個(gè)相關(guān)內(nèi)容的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)的分析，我們才能很好地實(shí)現(xiàn)用生成替代重復(fù)、以深刻達(dá)成簡(jiǎn)約的目標(biāo)[18]，包括幫助學(xué)生很好地認(rèn)識(shí)“度量問題”的共同核心。另外，從更深入的角度看，筆者認(rèn)為，我們?cè)诖藨?yīng)高度重視數(shù)學(xué)化思想的滲透與學(xué)習(xí)——但是，我們究竟應(yīng)如何理解數(shù)學(xué)化思想的具體內(nèi)涵？數(shù)學(xué)化思想對(duì)于我們從事相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)的主要啟示是什么呢？

對(duì)于上面所論及的各個(gè)問題，詳見《用“全局的觀念”指導(dǎo)教學(xué)——由俞正強(qiáng)老師的“種子課”談開去》[19]一文。筆者在此愿再次強(qiáng)調(diào)這樣一點(diǎn)：作為一線教師，我們決不應(yīng)滿足于對(duì)相關(guān)課例的簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)與模仿，而應(yīng)更加重視如何能夠通過問題的提煉積極地開展研究，從而不僅能真正成為專業(yè)成長(zhǎng)的主人，也能通過持續(xù)的努力不斷提升自己的教學(xué)水平，包括更好地理解各種相關(guān)的理論。

[例6]“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的教學(xué)。

眾所周知，對(duì)教材的認(rèn)真研讀是我們能夠超出每一節(jié)課的局限性從更宏觀的角度把握相關(guān)內(nèi)容的一個(gè)重要途徑。在此要強(qiáng)調(diào)的是，在明確肯定這一做法的同時(shí)，我們應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)到這樣一點(diǎn)：即使面對(duì)教材，也應(yīng)堅(jiān)持自己的獨(dú)立思考，包括從更深層面提出一些值得研究的問題，而不只是被動(dòng)地按照“教學(xué)指南”教教材。以下就從這一角度對(duì)我們應(yīng)當(dāng)如何從事“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的教學(xué)做出具體分析。

具體地說，如果單從形式上進(jìn)行分析，分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)似乎與自然數(shù)和小數(shù)的認(rèn)識(shí)十分相似，從而不會(huì)有特別的困難。但任何一位稍有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師都知道，這是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)最困難的題材之一。顯然這也是現(xiàn)行各種小學(xué)數(shù)學(xué)教材將“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”分成“初步認(rèn)識(shí)”與“再認(rèn)識(shí)”這樣兩個(gè)部分的主要原因。但是，從研究的角度看，我們應(yīng)當(dāng)深入思考：分段進(jìn)行“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的教學(xué)是否真有道理？分段教學(xué)的主要依據(jù)是什么？包括不同階段的主要區(qū)別與聯(lián)系是什么？

即使未做深入思考，相信大多數(shù)讀者面對(duì)上述問題也一定會(huì)想到這樣一個(gè)事實(shí)：分?jǐn)?shù)意義的多樣性。從而，我們應(yīng)當(dāng)深入思考：在分?jǐn)?shù)的教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)如何處理所說的“多”與“一”之間的關(guān)系？包括究竟什么可以被看成分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)？

當(dāng)然，面對(duì)上述問題，相信不少讀者會(huì)通過查閱相關(guān)的論著特別是一些著名專家的論述找到答案。但是，正如前面已反復(fù)強(qiáng)調(diào)的，為了促進(jìn)自身的專業(yè)成長(zhǎng)，包括切實(shí)改進(jìn)自己的教學(xué)工作，我們?cè)谌魏螘r(shí)候都應(yīng)堅(jiān)持自己的獨(dú)立思考，而不應(yīng)盲目地追隨各種理論，盡管這些理論確實(shí)為我們深入開展研究提供了重要的背景。進(jìn)而，這事實(shí)上也應(yīng)被看成一線教師開展教學(xué)研究的又一重要內(nèi)涵，即除了理論的實(shí)踐性解讀，我們也應(yīng)通過積極的教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)真的總結(jié)、反思對(duì)各種相關(guān)的理論（包括自身在這方面的已有認(rèn)識(shí)）做出必要的檢驗(yàn)和發(fā)展。

相關(guān)專家關(guān)于分?jǐn)?shù)的論述并不完全一致，有些甚至使問題變得更加復(fù)雜、更加難以理解，而不是變得更加簡(jiǎn)單和容易理解。例如，作為對(duì)于某一關(guān)于分?jǐn)?shù)的實(shí)際課例的“名家點(diǎn)評(píng)”，有專家指出：“在小學(xué)階段，只要從算術(shù)角度學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，不管學(xué)習(xí)什么，怎么學(xué)習(xí)，都會(huì)失敗。所以，在小學(xué)高年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，凡是從算術(shù)的角度進(jìn)行的，教學(xué)法上沒有好壞之分，因?yàn)楦静粦?yīng)該從算術(shù)角度學(xué)習(xí)！應(yīng)該從代數(shù)的角度學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)。”再例如，在筆者看來，以下論述多少也可被看成這方面的實(shí)例：“分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在于它的無量綱性?！薄霸诂F(xiàn)實(shí)生活中，處理分?jǐn)?shù)的加法，有時(shí)候需要分子加分子、分母加分母?！?/p>

總之，與努力尋找某種現(xiàn)成的答案相對(duì)照，我們應(yīng)當(dāng)更加重視如何通過自身的實(shí)踐做出必要的總結(jié)與進(jìn)一步的研究。例如，在這方面有一個(gè)十分重要的認(rèn)識(shí)：以下幾種關(guān)于分?jǐn)?shù)的不同“定義”或理解，事實(shí)上集中反映了人們?cè)谶@方面的認(rèn)識(shí)的不斷深化，即由“平均分”（這是與所謂的“份數(shù)定義”直接對(duì)應(yīng)的）這樣的操作性理解逐步過渡到“量與量之間的關(guān)系”，后者已超出“部分與整體之間的關(guān)系”這一特定的理解而獲得了更普遍的意義，包括同類的量與不同類的量的比較。

進(jìn)而，按照上面的分析，我們顯然可以對(duì)分?jǐn)?shù)的多種不同“定義”做出進(jìn)一步的概括，即主要包括兩種不同的含義：（1）量與量之間的關(guān)系；（2）與自然數(shù)、小數(shù)一樣，分?jǐn)?shù)主要被看成一種數(shù)、一種新的數(shù)。當(dāng)然，就我們目前的論題而言，這進(jìn)一步凸顯了深入思考這樣一個(gè)問題的重要性：在上述兩種理解中，哪一種更加重要？哪一種體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)？

由于現(xiàn)行的教材普遍采取了分段教學(xué)的做法，并分別將上述兩種理解安排于三年級(jí)和五年級(jí)，因此，面對(duì)上述問題，人們?nèi)菀椎贸鲞@樣一個(gè)結(jié)論：“分?jǐn)?shù)是一種數(shù)”更好地體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。這一說法有一定道理，但是，數(shù)學(xué)上的邏輯次序顯然不應(yīng)被簡(jiǎn)單地等同于學(xué)生的認(rèn)識(shí)順序。另外，從教學(xué)的角度看，我們應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步思考：這樣安排究竟有什么優(yōu)點(diǎn)與不足之處？我們?nèi)绾芜M(jìn)行教學(xué)才能盡可能減小所說的局限性，包括幫助學(xué)生很好地實(shí)現(xiàn)由分?jǐn)?shù)的多種意義向單一意義的過渡？

筆者在此愿再次強(qiáng)調(diào)：與唯一強(qiáng)調(diào)某種現(xiàn)成的答案相比較，我們應(yīng)當(dāng)采取更加開放的態(tài)度，即應(yīng)當(dāng)通過積極的探索與研究發(fā)現(xiàn)可能的答案。相信讀者由以下分析可以更清楚地認(rèn)識(shí)這一立場(chǎng)的合理性。

事實(shí)上，上面所說的分?jǐn)?shù)的兩種不同意義在自然數(shù)的學(xué)習(xí)過程中也有同樣的表現(xiàn)，只是出現(xiàn)的順序恰好相反。就出現(xiàn)的順序而言，我們首先強(qiáng)調(diào)的是“自然數(shù)是一種數(shù)”這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)，然后，只是作為自然數(shù)概念的應(yīng)用，我們才又幫助學(xué)生逐步建立起了這樣的認(rèn)識(shí)：我們也可用自然數(shù)表示兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，這就是所謂的“倍數(shù)關(guān)系”，即將兩個(gè)數(shù)中較小的那個(gè)數(shù)看成新的比較單位，看成“相對(duì)意義上的1”。那么，我們是否可因此認(rèn)定“將自然數(shù)看成一種數(shù)”相對(duì)于“用自然數(shù)表示兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系”是更基本的一個(gè)認(rèn)識(shí)？進(jìn)而，上述認(rèn)識(shí)順序是否更加適應(yīng)學(xué)生認(rèn)識(shí)的發(fā)展？從而我們是否應(yīng)當(dāng)按照這一順序去組織分?jǐn)?shù)的教學(xué)，即將目前教材中的安排順序完全顛倒過來？

顯然，簡(jiǎn)單地肯定上述想法應(yīng)當(dāng)說是過于武斷的，這更清楚地表明了“用研究的精神從事教學(xué)”的重要性，包括相關(guān)研究的積極意義，因?yàn)?，這無疑為深入的教材研究指明了一個(gè)重要的方向。（詳見參考文獻(xiàn)[20]）

以下再對(duì)如何做好“用研究的精神從事教學(xué)”做出幾點(diǎn)補(bǔ)充或強(qiáng)調(diào)：

第一，以上主要圍繞具體的教學(xué)內(nèi)容,特別是小學(xué)數(shù)學(xué)中較重要的一些內(nèi)容提煉出了相應(yīng)的研究問題，除此以外，還有很多問題需要我們同樣予以重視，如當(dāng)前教學(xué)中普遍存在的問題，由數(shù)學(xué)教學(xué)的特殊性直接決定的各個(gè)普遍性問題（如我們應(yīng)當(dāng)如何做好數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，“問題解決”與“解題策略”的教學(xué)等），數(shù)學(xué)教育的各個(gè)基本問題，等等。因?yàn)橹挥羞@樣，我們才能通過積極的研究不斷取得新的進(jìn)步，而不是永遠(yuǎn)處于“萬里長(zhǎng)征”的第一步，乃至不斷重復(fù)過去的錯(cuò)誤（詳見參考文獻(xiàn)[21]）。更進(jìn)一步地說，這事實(shí)上十分清楚地表明了倡導(dǎo)“立足專業(yè)成長(zhǎng)，關(guān)注基本問題”這樣一個(gè)立場(chǎng)的重要性（詳見參考文獻(xiàn)[22]）。

第二，除了對(duì)研究問題的清楚界定，我們還應(yīng)十分重視如何圍繞所說的問題開展研究，包括積極的教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)真的總結(jié)與反思。事實(shí)上，對(duì)于已確定的研究問題，往往也有一個(gè)再認(rèn)識(shí)的過程，包括必要的調(diào)整和修改，我們應(yīng)當(dāng)隨著研究的深入不斷提出新的問題。

顯然，這更清楚地表明了這樣一點(diǎn)：教學(xué)研究不應(yīng)局限于單純的反思，而是應(yīng)當(dāng)包含這樣一個(gè)完整的過程：

第三，我們應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)群體的力量，或者說，應(yīng)當(dāng)將相應(yīng)的共同體看成教學(xué)研究的主體。

例如，以上關(guān)于“問題”重要性的分析顯然也為各個(gè)層面的教研活動(dòng)包括教師培訓(xùn)和教學(xué)觀摩提供了直接的啟示，即如何組織才能使參與者有更大的收獲，特別是，能使廣大一線教師真正成為研究活動(dòng)的主體，而不是始終處于純粹的被培訓(xùn)者或觀摩者的地位。

當(dāng)然，為了實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)，廣大教師應(yīng)不斷增強(qiáng)自身的參與意識(shí)與主體意識(shí)。舒爾曼提出，我們應(yīng)將參與和行動(dòng)看成教師專業(yè)成長(zhǎng)的主要要素。由此我們可以引出關(guān)于教師專業(yè)成長(zhǎng)更普遍的一個(gè)模式：

進(jìn)而，教師專業(yè)成長(zhǎng)的關(guān)鍵是：很好地處理教學(xué)與研究、理論與教學(xué)實(shí)踐、個(gè)體與群體之間的關(guān)系。