李思桐

【摘要】千百年前人們就開(kāi)始研究數(shù)學(xué)與音樂(lè)之間的關(guān)系，2500年前古希臘的一位著名哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過(guò)進(jìn)行琴弦實(shí)驗(yàn)首次發(fā)現(xiàn)了音樂(lè)與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，是世界上提出這一觀點(diǎn)的第一人。古希臘哲學(xué)中的一個(gè)重要概念“數(shù)”就是由畢達(dá)哥拉斯提出，“數(shù)”概念不僅對(duì)音樂(lè)發(fā)展過(guò)程中的創(chuàng)作理念有很大程度的影響，還對(duì)音樂(lè)的美感追求產(chǎn)生了諸多的影響。本文以畢達(dá)哥拉斯的琴弦實(shí)驗(yàn)為例簡(jiǎn)單地分析了數(shù)學(xué)與音樂(lè)美學(xué)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)以及數(shù)學(xué)對(duì)音樂(lè)發(fā)展的影響。

【關(guān)鍵詞】畢達(dá)哥拉斯 琴弦實(shí)驗(yàn) 數(shù)學(xué) 音樂(lè)發(fā)展

【中圖分類號(hào)】J60 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）02-0214-02

前言

《命運(yùn)交響曲》的宏大氣魄、《月光》的靈動(dòng)優(yōu)美、《梁?！返纳钋楦腥?、甚至寧?kù)o夏夜田野中昆蟲(chóng)啁啾的鳴叫等，當(dāng)在聆聽(tīng)和享受這些美妙的音樂(lè)時(shí)大多數(shù)人都無(wú)法將其與嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)聯(lián)系起來(lái)。感性的音樂(lè)與理性的數(shù)學(xué)可謂是兩個(gè)極端，音樂(lè)是作為我們抒發(fā)感情、表現(xiàn)感情、寄托感情的一種感性藝術(shù)，數(shù)學(xué)則是一種通過(guò)抽象的思辨、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬚撟C等思維方式構(gòu)建起的“思維體操”，從表面看二者并沒(méi)有明顯的聯(lián)系，但是在樂(lè)譜中處處可以看到數(shù)學(xué)。比如音樂(lè)中每個(gè)小節(jié)的拍子、音符、拍號(hào)等等；在譜寫(xiě)樂(lè)譜時(shí)將不同長(zhǎng)度的音符湊成一個(gè)特定節(jié)拍的過(guò)程就與數(shù)學(xué)中找公分母的過(guò)程相似。事實(shí)上，數(shù)學(xué)作為一種在任何領(lǐng)域都會(huì)用到的學(xué)科，其與音樂(lè)之間的關(guān)系極為密切。

一、畢達(dá)哥拉斯簡(jiǎn)介

畢達(dá)哥拉斯（約公元前572年-前497年）作為古希臘偉大的哲學(xué)家、思想家、數(shù)學(xué)家，在西方哲學(xué)、科學(xué)、美學(xué)等方面做出了巨大的貢獻(xiàn)，他所提出的一些理論和思考對(duì)西方的科學(xué)和藝術(shù)理論有著很大的影響。

“數(shù)”被畢達(dá)哥拉斯以及他的門(mén)徒認(rèn)為是世界萬(wàn)物的本源，他們?cè)趯?duì)世界萬(wàn)物進(jìn)行思考時(shí)都是以“數(shù)”作為基礎(chǔ)，試圖用“數(shù)”來(lái)解釋世界萬(wàn)千現(xiàn)象。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為研究數(shù)學(xué)的主要目的不是在于將其運(yùn)用到某一實(shí)際中去，而是為了更加方便、深入地探索自然、世界的奧秘。畢達(dá)哥拉斯與其門(mén)徒從五個(gè)蘋(píng)果和五個(gè)手指等事物中將“5”這個(gè)數(shù)字抽象了出來(lái)，在當(dāng)時(shí)的實(shí)用數(shù)學(xué)界和哲學(xué)界均算是一個(gè)巨大的進(jìn)步，因?yàn)檫@個(gè)發(fā)現(xiàn)使算術(shù)具有了可能性，也使人們開(kāi)始相信“數(shù)”是構(gòu)成實(shí)物世界的基礎(chǔ)。畢達(dá)哥拉斯畢生對(duì)數(shù)論進(jìn)行了大量的研究，僅自然數(shù)方面就將其分為奇偶數(shù)、素?cái)?shù)、完全數(shù)等；畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“數(shù)”不僅僅有量的多寡，還具有幾何形狀，“數(shù)”的數(shù)量和形狀為宇宙提供了概念模型且決定了一切自然物體的形式；基于此畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將“數(shù)”理解為是一切自然事物的根源。點(diǎn)、線、面、體、元素、萬(wàn)物等的形成都是基于“數(shù)”，所以“數(shù)”在物之先，且“數(shù)”決定著自然界的一切現(xiàn)象與規(guī)律，自然現(xiàn)象、規(guī)律與“數(shù)”之間存在著一種必須服從與被服從的關(guān)系。

二、琴弦實(shí)驗(yàn)

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派不僅崇尚數(shù)學(xué)理念還首次將其運(yùn)用到了音樂(lè)藝術(shù)中去，琴弦實(shí)驗(yàn)就是其中一個(gè)最具有代表性的實(shí)驗(yàn)。這個(gè)實(shí)驗(yàn)在保證音樂(lè)遵循“數(shù)”的原則上分別選取了一根只有一半長(zhǎng)度的琴弦和一根長(zhǎng)度完整的琴弦，將這兩根不同琴弦發(fā)出的聲音記錄了下來(lái)并計(jì)算出兩根琴弦之間的音程為八度，數(shù)值比為1：2；接著把一根二分之一長(zhǎng)度琴弦與三分之一長(zhǎng)度的琴弦發(fā)出的聲音記錄下來(lái)并進(jìn)行音高的比較從而計(jì)算出兩者之間的音程為五度，數(shù)值比為3：2；再將長(zhǎng)度四等分的琴弦與三分之一長(zhǎng)度的琴弦進(jìn)行音高的比較且計(jì)算出兩者之間的音程為四度，數(shù)值比為4：3，按照這樣的規(guī)律以此類推下去。因此就實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，八度等于數(shù)學(xué)比值1：2、五度等于數(shù)學(xué)比值3：2、四度等于數(shù)學(xué)比值4：3、那么全音就是數(shù)學(xué)比值的9：8。在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派看來(lái)音樂(lè)是建立在被論證的理性基礎(chǔ)上的，音樂(lè)與秩序和音樂(lè)與比例之間存在著同義關(guān)系。除此之外畢達(dá)哥拉斯還提出過(guò)一個(gè)比較有趣的理論：他認(rèn)為地球是沿著一個(gè)球面圍繞著空間中一個(gè)固定點(diǎn)在進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)的，他將這個(gè)固定點(diǎn)稱為“中央火”，且在另一側(cè)還存在著一個(gè)“對(duì)地星”與其相互制衡。并且畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為這個(gè)“中央火”人類是無(wú)法看到和接觸到的，是宇宙的祭壇。他認(rèn)為十個(gè)天體到中央火之間的距離與音樂(lè)中音節(jié)之間的音程的比例關(guān)系是相同的，且以此來(lái)保證星球之間的平衡與和諧，從而演奏出天體的音樂(lè)。

畢達(dá)哥拉斯通過(guò)將數(shù)學(xué)的理念在音樂(lè)中進(jìn)行滲透，發(fā)現(xiàn)了音樂(lè)與數(shù)學(xué)之間千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，使音樂(lè)不僅僅具有感性的審美體驗(yàn)。本文試圖通過(guò)借助畢達(dá)哥拉斯的琴弦實(shí)驗(yàn)來(lái)簡(jiǎn)單分析數(shù)學(xué)對(duì)于音樂(lè)發(fā)展存在的影響。

三、以畢達(dá)哥拉斯琴弦實(shí)驗(yàn)的角度分析數(shù)學(xué)對(duì)于音樂(lè)發(fā)展的影響

1.對(duì)音樂(lè)的和聲、對(duì)位、復(fù)調(diào)技巧高度發(fā)展的影響

畢達(dá)哥拉斯對(duì)于美學(xué)有著自己獨(dú)特的看法，他認(rèn)為和諧才是美的本質(zhì)且認(rèn)為是否和諧與其中的數(shù)量關(guān)系理想與否有著直接的關(guān)系。為了證實(shí)這一想法畢達(dá)哥拉斯通過(guò)對(duì)弦長(zhǎng)比例的科學(xué)測(cè)定和計(jì)算，首次確定出了四度、五度、八度這三個(gè)協(xié)和音程。畢達(dá)哥拉斯確定出的三個(gè)協(xié)和音程對(duì)于西方多聲部音樂(lè)后期的理論基礎(chǔ)和風(fēng)格取向發(fā)展有著很大的影響，比如從早期的Organon、Discant音樂(lè)藝術(shù)風(fēng)格、到motet即中世紀(jì)開(kāi)始流行的圣詠和經(jīng)文歌、再到巴洛克時(shí)期以巴赫為代表的Fuga音樂(lè)風(fēng)格，這些風(fēng)格迥異的音樂(lè)藝術(shù)具有的完整音程以及和聲體系都是經(jīng)過(guò)音樂(lè)家大量的音樂(lè)創(chuàng)作實(shí)踐才逐步完成的，且在此基礎(chǔ)上還創(chuàng)制出了更為復(fù)雜的和聲對(duì)位技巧以及多聲部、多層次的復(fù)音音樂(lè)。

在這些音樂(lè)藝術(shù)中樂(lè)音都是以邏輯性極強(qiáng)、數(shù)字化的方式相互聯(lián)系、依存的，并且由于受到嚴(yán)格的音程度數(shù)限制導(dǎo)致音列的選擇和走向、和弦的排列以及音樂(lè)主題旋律在聲部中的安排、穿插、變形都受到影響，對(duì)于旋律自身的橫向發(fā)展并沒(méi)有引起重視。畢達(dá)哥拉斯的數(shù)理音樂(lè)思維在早期的西方多聲部音樂(lè)中被大量運(yùn)用，尤其是和弦音程理論即為了保證音響效果的和諧和飽滿度，在音樂(lè)創(chuàng)作中多運(yùn)用一度、四度、五度以及八度的音程。在歐洲中世紀(jì)多聲部音樂(lè)發(fā)展的早期人們認(rèn)為只有這些音程創(chuàng)作出的音樂(lè)才能夠體現(xiàn)出神性的純潔與崇高，認(rèn)為這些音程具有與神溝通交流的能力。而對(duì)于二度、三度、六度、七度音程的運(yùn)用則在巴洛克時(shí)期才開(kāi)始在音樂(lè)創(chuàng)作中得到較多的運(yùn)用。雖然在后來(lái)歐洲的多聲部音樂(lè)藝術(shù)發(fā)展過(guò)程中對(duì)于音程在音樂(lè)中的運(yùn)用逐漸開(kāi)始豐富多樣起來(lái)，但是數(shù)理的創(chuàng)作邏輯在音樂(lè)創(chuàng)作中仍然占據(jù)很高的地位，比如音樂(lè)家為了保證音樂(lè)的飽滿會(huì)盡量避免進(jìn)行連續(xù)的四度、五度、八度，對(duì)于聲部之間的音程對(duì)位具有嚴(yán)格的音程限制。顯而易見(jiàn)，這種以數(shù)學(xué)理性為基礎(chǔ)創(chuàng)作出來(lái)的音樂(lè)具有更好的立體感和縱深感，這一特點(diǎn)作為西方音樂(lè)中的一大傳統(tǒng)創(chuàng)作特色一直延續(xù)至今。endprint

2.對(duì)音樂(lè)結(jié)構(gòu)的影響

以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的音樂(lè)美學(xué)觀對(duì)于音樂(lè)的構(gòu)成形式也具有很大的影響，畢達(dá)哥拉斯在很早之前就在嘗試著用數(shù)學(xué)的表達(dá)形式來(lái)解釋美，即后來(lái)出現(xiàn)的黃金分割比0.618，黃金分割比的精確量化不僅給美賦予了嚴(yán)謹(jǐn)還賦予其科學(xué)的含義?？梢园l(fā)現(xiàn)大部分被大眾認(rèn)可為名曲、優(yōu)美的音樂(lè)其主體旋律的高潮部分大都被安排在了黃金分割點(diǎn)上。而大多數(shù)的作曲家在創(chuàng)作獨(dú)奏樂(lè)器類型的協(xié)奏曲時(shí)，為了能夠更好的將炫技的部分即高潮部分充分體現(xiàn)出來(lái)，會(huì)將其安排在樂(lè)曲的中后段臨近結(jié)尾處，也就是黃金分割點(diǎn)的位置。雖然這并不能代表大部分的音樂(lè)，但是也足以說(shuō)明在創(chuàng)作音樂(lè)時(shí)對(duì)于音樂(lè)結(jié)構(gòu)的設(shè)置以及安排已經(jīng)具備了科學(xué)、理性的數(shù)學(xué)認(rèn)知。另外，還可以從音樂(lè)中對(duì)于樂(lè)句、樂(lè)段的反復(fù)再現(xiàn)手法的運(yùn)用以及對(duì)于音樂(lè)材料的安排、逐漸演變出的各種曲式看出此時(shí)的音樂(lè)發(fā)展已經(jīng)有很強(qiáng)的理性和內(nèi)在思想要求。比如在二部曲式中所體現(xiàn)出來(lái)的平衡原則，三部曲式與三角形的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的相似而蘊(yùn)含的穩(wěn)固感，這些音樂(lè)曲式所體現(xiàn)出來(lái)的已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了音樂(lè)本身純粹的感性；音樂(lè)結(jié)構(gòu)所體現(xiàn)出的比例、平衡感、有序感都讓人們感受到了數(shù)學(xué)公式、定理的抽象、嚴(yán)謹(jǐn)、以及邏輯性很強(qiáng)的形式美感。

3.對(duì)音樂(lè)音值精確性和節(jié)拍均分律動(dòng)的影響

畢達(dá)哥拉斯曾經(jīng)提出過(guò)音樂(lè)的音高和節(jié)奏體系與天地萬(wàn)物中一切形體的運(yùn)轉(zhuǎn)均會(huì)受到數(shù)學(xué)規(guī)律的支配和限制。在畢達(dá)哥拉斯提出的這一思想的影響下，人們開(kāi)始將其中的原理大量運(yùn)用到節(jié)奏的探索過(guò)程中去。比如音樂(lè)中對(duì)于音符數(shù)值的劃分就運(yùn)用到了數(shù)學(xué)原理，最早由德國(guó)人弗蘭克明發(fā)明并提出了有量音樂(lè)記譜和節(jié)奏模式，到中世紀(jì)被僧侶們完善的有量音樂(lè)藝術(shù)，各類音符之間的倍數(shù)關(guān)系被最終確立為以“二”基礎(chǔ)倍數(shù)。此時(shí)，才產(chǎn)生了確切的參數(shù)來(lái)規(guī)定音符的長(zhǎng)短，這一定程度上限制了表演者的自由，要求表演者在處理音值時(shí)把握準(zhǔn)確。另外均分律動(dòng)給音樂(lè)中各類節(jié)拍賦予了更加具體的形象塑造和情感表達(dá)能力，幫助釋放和放大音樂(lè)的感性，成為了音樂(lè)中的重要構(gòu)成要素。

在西方多聲部音樂(lè)的發(fā)展過(guò)程中隨處可見(jiàn)數(shù)學(xué)理論的影子，尤其是其在音樂(lè)節(jié)奏節(jié)拍理論中的運(yùn)用，如中世紀(jì)后期開(kāi)始出現(xiàn)的等節(jié)奏作曲技術(shù)，即音樂(lè)家通過(guò)采用一條旋律音型來(lái)與一條節(jié)奏型進(jìn)行配合。這種等節(jié)奏作曲技術(shù)能夠讓旋律按照精確的數(shù)理節(jié)奏控制和安排，以節(jié)奏中的數(shù)理邏輯作為旋律發(fā)展的基本框架進(jìn)而表現(xiàn)出音樂(lè)創(chuàng)作高度理性的意識(shí)，使創(chuàng)作出來(lái)的音樂(lè)作品具備了內(nèi)在的數(shù)理邏輯，這種作曲思維對(duì)于后期的歐洲音樂(lè)創(chuàng)作產(chǎn)生了很長(zhǎng)一段時(shí)間的影響。

四、結(jié)論

在音樂(lè)漫長(zhǎng)的發(fā)展歷程中，最初的音樂(lè)創(chuàng)作更多的還是處于一種隨意、混沌、散漫的狀態(tài)，而在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)理性與音樂(lè)感性之間的聯(lián)系之后，理性的音樂(lè)作曲意識(shí)被喚醒。古希臘的智慧對(duì)歐洲音樂(lè)創(chuàng)作的理性思維產(chǎn)生了啟迪，特別是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的出現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與音樂(lè)之間密切的聯(lián)系并賦予音樂(lè)理性的意識(shí)。雖然在畢達(dá)哥拉斯的觀念中“數(shù)”是作為一個(gè)寬泛的概念而存在，與我們今天現(xiàn)代數(shù)學(xué)的意義無(wú)法完全等同，但是數(shù)學(xué)作為一種科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治鏊季S模式，經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)時(shí)間的沉淀已經(jīng)與音樂(lè)構(gòu)成了緊密的聯(lián)系，體現(xiàn)出了自律性的音樂(lè)美學(xué)思想，且音樂(lè)作曲中的技巧、形式等受到數(shù)學(xué)理論的影響也獲得了極大的豐富，形成了別具一格的音樂(lè)審美風(fēng)格。

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