充分發(fā)揮“直觀想象”讓解題更具韻味

張圣官

“直觀想象”指的是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程.主要包括：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).

在數(shù)學(xué)解題中充分發(fā)揮直觀想象，可以讓解題過程具體、生動、形象，更具韻味.

一、利用圖形變換，讓解題過程更形象

英國心理學(xué)家查得·斯根普認(rèn)為，幾何圖形是一種視覺符號，與表象的形成密切相關(guān).因此，圖形以及圖形的加工、變換能力在培養(yǎng)與發(fā)展空間想象能力的過程中起了關(guān)鍵作用.圖形的變換一般有三種類型：（1）圖形的運動與變式；（2）圖形的分解與組合；（3）平面圖形與空間圖形的對比、類比與轉(zhuǎn)換。

例1 如圖1，在四面體S-ABC中，∠SAB=∠SCB=∠ABC，∠SBC=∠SAC=∠ACB，∠SBA=∠SCA=∠BAC，求證：SA=BC，SB=AC，SC=AB.

解析

本題用常規(guī)方法非常困難.現(xiàn)將四面體S-ABC沿SA，SB，SC剪開后鋪到平面ABC上得△S1S2S3（如圖2）.由條件知，∠S2AB=∠ABC=∠BCS3，從而S2A∥BC，S3C∥AB.同理，S1A∥BC.這樣就有Sl，A，S2共線且A為S1S2的中點，同樣可得B，C分別為S2S3，S3Sl的中點.所以結(jié)論成立，即SA=BC，SB=AC，SC=AB.

例2 給出兩塊相同的正三角形紙片，要求用其中一塊剪拼成一個正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等.

（1）請設(shè)計一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖中，并作簡要說明；

（2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小.

二、利用以形助數(shù)，讓解題過程更豐富

數(shù)學(xué)是研究客觀世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué).有些數(shù)學(xué)問題，在代數(shù)范疇內(nèi)也可以解決.但是如果加入幾何因素，將“數(shù)”與“形”有機結(jié)合起來，往往能夠使解法更多樣，讓解題過程更豐富.華羅庚教授對此很準(zhǔn)確地進行了論述：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。”