多表面LED二次光學(xué)透鏡設(shè)計(jì)的偏折能力分配法

周士康，陳春根

(上海三思科技發(fā)展有限公司，上海 201100)

引言

LED透鏡都至少有兩個(gè)光學(xué)表面。但大多數(shù)LED透鏡的計(jì)算方法只能計(jì)算單個(gè)自由曲面的形狀。如偏微分方程法[1]、剪裁法[2]、間斷法[3]、連續(xù)法[4]，這些方法都是把其中一個(gè)表面做成球面的，這樣就只需設(shè)計(jì)一個(gè)表面了。這樣做的缺點(diǎn)是一個(gè)面的“負(fù)擔(dān)”太重了，光學(xué)設(shè)計(jì)質(zhì)量必然下降，有些設(shè)計(jì)任務(wù)則完成不了。光通量線方法提出了同時(shí)設(shè)計(jì)兩個(gè)表面的方法[5]，用分配每個(gè)面“負(fù)擔(dān)”的方法解決了這個(gè)問題。

這種方法還可以推廣到多透鏡即兩個(gè)以上透鏡的同時(shí)計(jì)算。

我們可能首先想到用多透鏡會使光線損失增加，對正入射光線來說，由于表面多了，損失是會變大，但對斜入射光線來說，多透鏡可能會反而減少光線的反射。我們知道，所有的光學(xué)表面都無法避免菲涅爾反射[6]，而且是入射角越大反射越多。在垂直入射時(shí)一般材料的表面反射率一般是4%左右，但入射角變大時(shí)，其反射率也變大。以材料折射率為1.5為例，射向透鏡的光線當(dāng)入射角為60°時(shí)反射率為10%。射離透鏡的光線反射比射向透鏡的反射更多，當(dāng)入射角為30°時(shí)反射率就達(dá)到10%了，大角度時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)全反射。這說明反射率是應(yīng)該考慮的重要問題，但已往的LED透鏡光學(xué)計(jì)算中很少注意這一問題。這也是優(yōu)秀的光學(xué)設(shè)計(jì)不采用大的入射角的原因。LED的透鏡一般都是單個(gè)透鏡，這樣在要求偏折光線比較大的情況下，透鏡的曲率變化就必須比較大，也就是說在透鏡的邊緣部分其入射角都會比較大。從菲涅爾反射定律知道，入射角度越大則反射越多。如果做成多透鏡，雖然反射面增加了，反射也增加了，但由于面多了，每個(gè)面“擔(dān)負(fù)”偏折光線的“責(zé)任”也小了。且這些面可以做成比較平坦，它們的菲涅爾反射也會在一定程度上減少。

另一方面，更重要的是，作為菲涅爾反射光學(xué)系統(tǒng)中雜散光的重要來源，菲涅爾反射的減少將降低雜散光的水平。

第三個(gè)好處是透鏡的總重量會比單透鏡大大減少。這在大口徑透鏡的情況下特別重要。一般可以減少重量40%。

第四個(gè)好處是減少注塑透鏡的變形。LED透鏡多數(shù)是注塑成形的，而大口徑LED透鏡不但重量大，而且中心和邊緣的透鏡厚度差也大，而零件厚度差大是注塑后變形的重要原因，這在大口徑LED透鏡中是一個(gè)嚴(yán)重問題。若使用多透鏡則透鏡的厚度差變小，變形也會變小。

多透鏡也有明顯的缺點(diǎn)，如正入射光線總反射多、結(jié)構(gòu)復(fù)雜等，但從以上這些分析知道，在某些情況下將LED的透鏡設(shè)計(jì)成多透鏡組是有好處的。這就要求設(shè)計(jì)者做出合適的選擇。

當(dāng)然，多透鏡另外一個(gè)缺點(diǎn)是在設(shè)計(jì)上將比單透鏡更困難，但本文的方法可解決這一問題。本方法稱為“偏折能力分配法”。簡單說就是把對光線進(jìn)行偏折的要求分配到每個(gè)表面。本方法還可以在不改變配光的情況下改變透鏡的形狀以適應(yīng)不同設(shè)計(jì)的需求。

1 光通量線方法計(jì)算透鏡形狀

習(xí)慣上偏折角這概念用得比折射角少，但在本文中用偏折角卻比較合適。偏折角被定義為光線的入射角和折射角之差。每個(gè)面都會引起光線偏折，各面引起的所有偏折角的和就是LED二次透鏡的總偏折角。

本文的計(jì)算是基于非成像光學(xué)逆向計(jì)算自由曲面形狀的光通量線方法[5]，其步驟可以結(jié)合圖1簡述如下：

圖1 光通量線方法示意Fig.1 Schematic diagram of light flux ray method

1)把LED的光強(qiáng)分布按能量等分為n份，分割線就是透鏡的n條入射線。n越大計(jì)算越精確，但這里簡化為n=8。圖1的左方給出LED的8條光通量線。它們是把LED的光通量分成相等的8份而求得的，代表的是方向。這8條入射線構(gòu)成一個(gè)n=8的角度數(shù)列。

2)把照明的要求轉(zhuǎn)換為能量在像面上的分布，不難求得透鏡的n條出射光線角度數(shù)列，與入射線的數(shù)列一一對應(yīng)。圖1是以平行光輸出為例的光通量線。

3)由上述n個(gè)“數(shù)列對”分別用折射定律求得n個(gè)“小面”。

4)連接這n個(gè)小面構(gòu)成透鏡表面。當(dāng)n很大時(shí)就是一個(gè)平滑的透鏡表面。

但是，以上的方法計(jì)算的是一個(gè)表面，這就相當(dāng)于一個(gè)實(shí)際透鏡的第2個(gè)面，而其第1面是必須是一個(gè)不對光線起偏折作用的球面。由于只有一個(gè)面，其偏折光的“負(fù)擔(dān)”重，光線的入射角度很大。下面介紹如何讓每一個(gè)面的“負(fù)擔(dān)”減輕。

在求得透鏡的入射線和出射線數(shù)列后，就求得了n個(gè)偏折角。把這n個(gè)偏折角按權(quán)重分隔成m份，m為透鏡的表面數(shù)目，這就得到了個(gè)角度，也就是每個(gè)面前后的入射角和出射角。然后用文獻(xiàn)[5]所述的光通量線方法可以一次性求得m×n個(gè)小面。當(dāng)n足夠大時(shí)就可得到平滑表面的透鏡。這里m=2,4,6，…，就對應(yīng)于單透鏡、雙透鏡、三透鏡等。下面還將看到，權(quán)重的給定方法還會影響透鏡的形狀。

下面以單透鏡(m=2)為例用圖形來簡單說明在平均分配的情況下的偏折能力分配法。圖2中左邊的放射狀線為從LED發(fā)出的光通量線，右方水平線為照明方的光通量線，本例中仍令n=8并以平行光出射為例。虛線與水平線的夾角就是偏折角，把這8個(gè)角再用8條點(diǎn)劃線等分，這就得到了第3個(gè)角度數(shù)列，這就是透鏡內(nèi)部光通量線的角度。

圖2 偏折角及偏折能力分配Fig. 2 Bending angle and distributing the bending light capacity

由這三個(gè)數(shù)列就可以按文獻(xiàn)[5]的方法同時(shí)求得兩個(gè)面n=8時(shí)的各8個(gè)小面的方向和位置，如圖3所示?？梢悦黠@地看到，其光線的入射角比圖1的小多了。

圖3 單透鏡的計(jì)算結(jié)果Fig.3 Calculating result of single lens

2 偏折能力分配法計(jì)算多透鏡表面形狀

偏折能力分配法設(shè)計(jì)多透鏡的關(guān)鍵步驟就是給定每一個(gè)表面的偏折能力的權(quán)重，權(quán)重越大，則經(jīng)過此面后的光線偏折越多。

2.1 雙面單透鏡的計(jì)算

令一個(gè)單透鏡的兩個(gè)表面的偏折能力的權(quán)重分別為C1和C2，兩個(gè)面把所有光線分成了三部分，每部分都有n條光線，它們的角度為

θ1i,θ2i,θ3i(i=1，…，n)

(1)

其中：θ1i(i=1，…，n)為從LED發(fā)出的n條光線，由第1節(jié)的方法已經(jīng)求得。θ(m+1)i(i=1，…，n)是最后一個(gè)面即第m面的出射的n條光線的出射角，也就是為滿足照度分布而計(jì)算出的光通量線角度，也是已知的。按照偏折能力權(quán)重的定義，我們有

(2)

對n個(gè)i都成立。這樣可以得到

(3)

這就得到了所有光通量線的角度。當(dāng)兩個(gè)面的權(quán)重相等時(shí)可得：

(4)

即等權(quán)重時(shí)θ2為總偏折角的角平分線。圖3的情況實(shí)際上就是單透鏡用等偏折角分配計(jì)算得到的例子。

2.2 多透鏡的計(jì)算

推廣到多透鏡的情況，設(shè)表面數(shù)為偶數(shù)m，令m個(gè)面的偏折力的權(quán)重分別為

C1,C2,C3，…，Cm

(5)

每兩個(gè)面之間的第i條光線角度為

θ1i,θ2i,θ3i，…，θ(m+1)i

(6)

其中，只有θ1i和θ(m+1)i為已知。由于本文的權(quán)重定義為對偏折角的權(quán)重，因此各面的單位權(quán)重引起的偏折角相同，即

(7)

式(7)對所有的i都成立。這樣可以得到

(j=2，…，m,i=1，…，n)

(8)

許多情況下我們可令各面的權(quán)重相等，此時(shí)，把偏折角平分到每個(gè)面，則式(8)可簡化為

(j=2，…，m,i=1，…，n)

(9)

多透鏡的公式包含了單透鏡，也就是當(dāng)m=2時(shí)，式(8)和式(9)分別變?yōu)槭?3)和式(4)。

計(jì)算m個(gè)表面形狀得到n×m個(gè)小面的方法與上述兩個(gè)表面時(shí)相同。

由于上述權(quán)重出現(xiàn)在比例式中，以上各面權(quán)重不需要?dú)w一。更有意思的是權(quán)重并不需要都是正數(shù)，也就是說允許“負(fù)”權(quán)重，其物理意義是光線反向偏折。下面第4節(jié)將介紹權(quán)重的大小和正負(fù)對透鏡形狀有很大影響，這種正負(fù)權(quán)重的設(shè)置方法也是偏折能力分配法的魅力所在。

3 無影燈雙透鏡的設(shè)計(jì)

LED的手術(shù)無影燈相比傳統(tǒng)的鹵素?zé)艋颦h(huán)形節(jié)能燈有許多優(yōu)點(diǎn)，越來越多的廠家開始生產(chǎn)LED的無影燈。由于無影燈要在一米遠(yuǎn)的位置形成一個(gè)最小半徑只有0.05 m的光斑，其半光束角只有3°，這對LED是很高的要求。先估算透鏡的大小，此時(shí)用一個(gè)超越幾何光學(xué)的原理的光學(xué)擴(kuò)展量(Etendue)來估計(jì)口徑是很合適的。按照Etendue原理，n2πR2sin2θ在光學(xué)系統(tǒng)中是一個(gè)不變量，其中n為折射率，R為半徑，θ為光束角。這意味著要達(dá)到的光束角越小則透鏡的口徑應(yīng)該越大，這是任何光學(xué)系統(tǒng)都不能違反的原則。對LED為Nichia219的光源，用Etendue原理估算可得其透鏡直徑應(yīng)該達(dá)到40 mm以上。

按前文的說明，對這樣的透鏡，做成雙透鏡是一個(gè)合適的選擇。令四個(gè)面的偏折能力相等，按照上述方法計(jì)算的雙面單透鏡結(jié)果如圖4所示。為了較清晰地顯示光線走向，計(jì)算時(shí)取較少的光通量線數(shù)目n=100。

圖4 無影燈雙透鏡計(jì)算結(jié)果Fig.4 Calculating result of double lenses of surgical luminaries

實(shí)際加工后的透鏡組見圖5。測量結(jié)果表明，雙透鏡的無影燈模塊的光斑照度的“飽滿度”、中心照度、光斑直徑、照明深度、無影度等都能很好地滿足國標(biāo)的要求[7]。

圖5 LED無影燈雙透鏡模組Fig.5 Double lenses module of LED surgical luminaries

透鏡總重量為12 g，與同樣照明要求時(shí)設(shè)計(jì)的單透鏡相比重量減少了40%。而且由于中心和邊緣的厚度差相對較小，其變形也比單透鏡小得多。而且由于入射角小了，雜散光也少，照度分布也比較“干凈”。雖然多了兩個(gè)面，其表面反射和安裝復(fù)雜性也會增加，但得到的光學(xué)性能的提高還是十分吸引人的。有關(guān)LED無影燈的設(shè)計(jì)方法見文獻(xiàn)[8-9]中的介紹。

我們還計(jì)算了同樣條件下的雙面單透鏡[圖6(a)]和六面三透鏡[圖6(b)]的結(jié)果，這里取n=20。單透鏡雖然簡單，但單面菲涅耳反射大，重量大，注塑變形大，而三透鏡雖然菲涅耳反射小，但總的小角度反射大，加工安裝復(fù)雜。也可以不用全部透射式的，而是設(shè)計(jì)成內(nèi)反射透鏡(TIR)，但結(jié)果是尺度、雜散光、重量和變形都較大。綜合考慮結(jié)果，我們還是采用了雙透鏡設(shè)計(jì)。

圖6 無影燈單透鏡和三透鏡的計(jì)算結(jié)果Fig. 6 Calculating result of single and triplet lenses of surgical luminaries

4 用偏折能力權(quán)重控制透鏡形狀

前面已經(jīng)提到，選擇透鏡兩個(gè)面不同的偏折力權(quán)重C1,C2可以改變兩個(gè)面的形狀。為簡單起見，以下還是以單透鏡為例。圖7以輸出平行光為例給出了六種不同偏折力權(quán)重的透鏡的計(jì)算結(jié)果，其中對應(yīng)的偏折力權(quán)重分別為

(a)C1=-1，C2=4；

(b)C1=0，C2=1；

(c)C1=1，C2=4；

(d)C1=1，C2=1；

(e)C1=1，C2=0；

(f)C1=4，C2=-1。

計(jì)算方法都相同，只要簡單地修改C1，C2的值就可以修改透鏡的形狀而不改變照明的要求。

圖7 用偏折能力權(quán)重控制透鏡形狀Fig.7 Control lens shape by change the weight of bending light capacity

例如，情形(d)是常用的等權(quán)重的結(jié)果。情形(b)是C1=0的計(jì)算結(jié)果，相當(dāng)于經(jīng)過第1面的光線不偏折，也就是第1面為球面。情形(e)是C2=0的計(jì)算結(jié)果，在本例的平行光輸出的要求下，得到的結(jié)果是第2面為平面。很有意思的是權(quán)重可以取負(fù)值，如情形(a)是入射面權(quán)重為負(fù)值，其結(jié)果是入射后的光線向反方向偏折。而情形(f)是出射面權(quán)重取負(fù)值，其結(jié)果是經(jīng)過該面后面的光線向相反方向偏折。

這樣，在同樣的照明要求下，針對不同的裝配要求，設(shè)計(jì)者有了更多的透鏡形狀的選擇余地。

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